Ə. A. Quliyev
Download 10.77 Mb. Pdf ko'rish
|
|
C . Onda
( ) x x F 4 sin 4 3 = yəni
x x x x x 4 sin 4 3 sin 3 cos
cos 3 sin 3 3 = + . Elementar yolla bu nəticəni almaq üçün x 3 sin və
x 3 cos -in ifadələrini bilmək lazımdır. Bundan sonra isə o qədər də sadə olmayan səmərəsiz çevirmələr aparmaq lazımdır. Belə çevirmələrin isə əhəmiyyəti azdır. 84. Əvvəlcə ( )
x S
funksiyasını elə seçmək lazımdır ki, x-in hər hansı konkret qiymətində (məsələn x=1 olduqda) σ
alınsın, yəni ( )
σ = 1 S
alınsın. ( ) x S olaraq ( ) ( )
1 4 3 3 2 2 1 0 1 1 ...
4 3 2 1 + + − + + − + − = n n n n n n n n x n C x C x C x C x C x S
funksiyasını götürmək olar. İndi ( )
x S - i sadələşdirməyə çalışaq. İlk baxışda bunu necə etmək görünmür. Yenə törəməni sadələşdirmək olarmı? ( )
( ) x S x f ′ = funk- siyasına baxaq: ( ) ( )
n n n n n n n n x C x C x C x C C x f 1 ... 3 3 2 2 1 0 − + + − + − = . Aşkardır ki, ( ) ( )
x x f − = 1 . Beləliklə, ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ + + − − = − − − = − = +
n x x d x dx x x S n n n 1 1 1 1 1 1 , burada C - hər hansı sabitdir. 0 = x olduqda ( ) 1
1 1 0 + = + + =
n S C .
234
Beləliklə, ( )
( ) [ ] 1 1 1 1 1 + − − + =
x n x S . 1 = x olduqda 1 1
= n σ
alırıq. 85. Bəzən 83-84 məsələlərinin həllində tətbiq olunan priyomu bir deyil, bir neçə dəfə tətbiq etmək lazım gəlir. Ardıcıl olaraq ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 3 3 b a x b a x b a x b a x x F x f + + − + + − − − + − + + = ′ = ,
( ) ( ) (
) ( ) (
) ( )
a x b a x b a x b a x x f x + + − − + − − − + − + + = ′ = 6 6 6 6 ϕ tapaq.
Aşkardır ki, ( )
0 =
ϕ . Odur ki, ( ) ( )
∫ ∫ = ⋅ = = 1 0
dx dx x x f ϕ , yəni, ( )
1 C x f = , burada sabit C = 1 , ( )
ab f C 24 0 1 = = . İndi
( ) x F - ə baxaq. ( ) ( )
( ) ∫ ∫ = + = = = sabit c C abx abdx dx x f x F 24 24 . Aşkardır ki, ( ) 0
= = F C . Beləliklə, ( )
24 = . Elementar yolla bu nəticəni də almaq səmərəsizdir. 86. Fərz edək ki, verilmiş hər hansı f funksiyasının yazılışını sadələşdirmək tələb olunur. 83 məsələsinin həlli ilə əlaqədar baxılan iki eynigüclü (1) və (2) münasibətləri göstərir ki, f funksiyasının yazılışını sadələşdirmək üçün onun kifayət qədər sadə F ibtidai funksiyasına baxmaq münasibdir. Buradan alınır: Verilmiş f funksiyasının yazılışını sadələşdirmək çətin olan hallarda əvvəlcə onun F ibtidai funksiyasına baxmaq və sadələşdirmək faydalı ola bilər; sonra ( )
( ) x F x f ′ = eyniliyindən istifadə edərək ( )
funksiyasının daha sadə formasını almaq mümkün ola bilər. Baxılan eyniliyin sol tərəfini ( )
x f
ilə işarə edək. ( )
x f
funksiyasını necə sadələşdirmək ilk baxışda görünmür. Onun ibtidai funksiyasına baxaq. Ibtidai funksiyanı tapmaq və sadələşdirmək sadə ola bilər: ( ) ( )
− − − = + + + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x f x F 2 cos ln cos
ln 8 cos 8 sin
8 4 cos 4 sin
4 2 cos 2 sin
2 cos
sin
= + − = + ⋅ ⋅ ⋅ − = + − − C x x C x x x x x x x x C x x sin
16 16 sin ln 8 sin 2 16 sin 4 sin
2 8 sin 2 sin
2 4 sin sin 2 2 sin ln 8 cos ln 4 cos ln
C x x + + + − = 16 ln sin ln 16 sin ln
235
İndi isə
( ) x f
- i asanlıqla hesablamaq olar:
( ) ( )
ctgx x ctg x F x f + − = ′ = 16 16
Beləliklə, baxılan eynilik isbat olundu. 87.
( ) x ϕ
funksiyasını triqonometrik düsturun tətbiqi ilə sadələşdirmək müəyyən qədər çətindir. ( )
ϕ ′ ifad
əsini də sadələşdirmək asan deyil. Əvvəlcə ibtidai funksiyanı tapmaq sadə ola bilər: ( )
( ) ( ) ∫ = + + − − − − = = Φ C x x x dx x x 3 cos ln 3 cos ln cos
ln π ϕ
( ) C x C x x x C x x C x x x + − − = + − + − = = + + − = + + − − = 4 1 ln 3 cos
ln cos
4 1 cos 3 cos
4 1 ln 3 2 cos 2 cos
cos 2 1 ln 3 cos 3 cos
cos ln π π π
( )
x C x x x + − − = + − + − = 4 1 ln 3 cos ln cos
4 1 cos 3 cos
4 1 ln Odur ki, ( ) ( )
x tg x x 3 3 = Φ′ = ϕ . Beləliklə, aldıq ki, x tg x tg x tg tgx 3 3 3 3 = + + − + π π eyniliyi doğrudur. 88.
1 =
olduqda göstərilən düstur ( )
x + = + 1 1 1
şəkildə olur və aşkardır ki, bu doğrudur. Fərz edək ki, k n = olduqda baxılan düstur doğrudur: ( ) k k k p p k p p k k k k k x C x C x C x C x C C x + + + + + + + = + − − ... ...
1 1 1 2 2 1 0 (1)
İsbat edək ki, bu şərt olduqda verilən bərabərlik 1 + = k n olduqda da doğrudur. Bu məqsədlə (1) eyniliyini 0-dan x-ə sərhəd olmaqla inteqrallayaq: ( ) ∫
∫ ∫ ∫ + + + + = + − −
k k k x p p k x k x k x k dt t C dt t C tdt C dt C dt t 0 0 1 1 0 1 0 0 0 ...
1 1 ; ( ) x k k k x p p k x k x k x k k t C p t C t C t C k t 0 1 0 1 0 2 1 0 0 0 1 1 ...
... 2 1 1 + + + + + ⋅ + = + + + − +
236
İnteqrallama sərhədlərini yerinə yazdıqdan sonra ( ) 1 1 2 1 0 1 1 1 ... 1 ...
2 1 1 1 1 1 + − + + + + + + + + + + + + = + k k k p p k k k k x C k k x C p k x C k x C k x
alırıq. Lakin ( ) , 1 1 1 0 + = + k k C C k
( ) ,...
2 1 2 1 2 1 1 + = + = + k k C k k C k
( ) ( ) (
) ( ) p k p k C p p p k k k k C p k 1 1 1 ...
2 1 2 ... 1 1 1 + − = − ⋅ ⋅ + − − + = + ;
( ) 1 ,..., 2 , 1 + = k p
Buradan alınır ki, ( ) 1 1 + + k x - i belə yazmaq olar: ( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 ... ...
1 1 + + + + + + + + + + + + ⋅ + = + k k k p p k k k k x C x C x C x C x
Beləliklə, k n = olduqda verilmiş düsturun doğruluğundan alınır ki, 0 1
= k n
üçün də doğrudur. Tam riyazi induksiya prinsipinə əsasən verilmiş düstur bütün natural n ədədləri üçün dorudur. 89. 1) Əvvəlcə ( )
< ≤ ≤ x x x 0 sin bərabərsizliyin hər tərəfini 0- dan x- ə qədər sərhəddə inteqrallayaq. 1 teoreminə əsasən ∫ ∫
x x tdt tdt 0 0 sin
və ya x x t t 0 2 0 2 1 cos ≤ − və ya
2 1 cos 2 x x ≤ + −
buradan 2 1 cos 2 x x − ≥ alınır. 2) 1) bərabərsizliyindən istifadə etməklə həmin 1 teoreminə görə ∫ ∫ − ≥ x x dt t tdt 0 2 0 2 1 1 cos
alırıq, buradan isə tələb olunan alınır. 3) 2) halından ∫ ∫ − ≥ x x dt t t tdt 0 3 0 6 1 sin
və ya 24 2 1 cos 4 2 x x x − ≥ Download 10.77 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|