E. rasulov, U. Begimqulov
3 0 KV A N T F IZ IK A S I v „ U ) = 1 H
Download 11.27 Mb. Pdf ko'rish
|
|
3 3 0 KV A N T F IZ IK A S I v „ U ) = 1 H. ■Jñ ■ 2‘‘í¿ j _ = ^ ^ (Q :r 2nv b o ig a n i uchun Aii^mv u bunda “ T ~ h (15.61) (15.62) ni yozish mumkin. (15.62) ni e ’tiborga oigan holda (15.61) ni quyidagi ko'rinishga keltiramiz; 1 .■jX^ V„(x) = ß •H „(ßxK (15.63) [^¡ñ■2'' -ri, (15.63) ifodaga garmonik ossillatom ing n b o'yicha normallangan xususiy funksiyalari formulasi deyiladi. n = 0,1,2,... uchun H„(ßx) ni hisoblash uchun ermitning rekkurent formulasidan foydalanamiz. Rekkurent formula H „ ,,= 2 {ß x )H ^ -2 n H „ _ „ (15.64) Polonimlari H , = l H , = 2 ß x //, = A ß - x - - 1 / / 3 - %ß^x^ - \ 2 ß x H , = \6 ß ^x ^ - ß ^x ^ + \2 (15.65) I I d " d { ß x y Bu rekkurent formula larni o'zaro bog'laydi. Agar bir- inchi va ikkinchi polonimlar m a’lum bo'lsa, (15.64) rekkurent formula boshqa polonimlarni birin-ketin hisoblash imkonini beradi. 15.3-jadvalda kichik kvantlar sohasi uchun xususiy qiymatlarga mos kelgan normallangan xususiy funksiyalar va ehtimol zichliklari keltirilgan. 15.3-jadvaldagi n = 1,2,3,... kvant sonlariga mos kelgan holatlar 2 uchun ehtimollar zichligi V ning chizmasi 15.9-rasmda keltirilgan. KV A N T F IZ IK A S I Наг qanday nuqtada zarrani qayd qilinishi ehtim oli V V ga proport- sional. Rasmdan ko'ramizki, asosiy energetik sathda, y a’ni n = O bo'lgan holatda zarraning eng katta ehtimoli bilan ossillatorning o'rtasida topamiz. Bu hol potensial o ‘ra holi kabi uyg'ongan holatlar uchun ham ehtimol zichligi 15.9-rasmda n = 1,2,3 lar uchun tasvirlan gan. Bu hollarda ham kvant ossillatorda zarraning qayd qlinishi ehti- molining katta qiymati to'lqin funksiyaning maksimumlar sohasiga to 'g 'ri keladi. Kvant soni n ning katta qlymatlarida ehtimoüar zich- ligining egriligi klassik ossillatorni egriligiga yaqinlashadi va bunda ham Borning moslik prinsipi bajariladi. 15.3-iadval n Xususiy energiya qiymati E„ Normallangan xususiy to'lqin funksiya Normallangan ehtimol zichligi ¥ o = í l - U PV 1 2 3 £, = -ítv ' 2 V, = 1 У2л1п) 2ßxe к , " = 4 = 4 ß V e - '> '^ 2л/л = -A v ß | v , r = ^ { 4 ß V - 2 M - '“ = - h v " 2 КГ = ^ ( 8 ß V - 12 ßxfe-'’“'- n pv Я„е 1 Г . 2 " n! Bunda ß = 4n^iw Xususiy to'lqin funksiya va ehtimol zichligining grafigi. Chiziqii garmonik ossillator uchun U{x) potensial funksiyaning grafigi paraboladan iborat b o ‘lib, uning chizmasi 15.9- va 15.10- rasmlarda keltirilgan. 15.9-rasmda kvant soni n ning kichik qiymatlari (0,1,2,3) ga mos kelgan energetik sathlar va ularning xususiy funksiya lari keltirilgan. 15.10-rasmda esa shu kvant sonlari uchun ehtimol zichhgini X o'q i bo'yicha egriligi keltirilgan. Birinchi qaraganda -A3? KV A N T F I Z I K A S I parabolik potensial o ‘ra zarra ichidagi zarraning xatti-harakati deyarli potensial o ‘ra ichidagi zarra harakatidan farq qiladi. -L E>L L -klassik fizika man etgaii soha 15.9-rasm. Ossillator uchun potensial energiya va xususiy funksiyalar grafigi. 15.10-iasm. Ossillator uchun potensial energiya va ehtimol zichliklari. Asosiy holatni ifodalovchi birinchi xususiy to iq in funksiya n = 0 ga to ‘g ‘ri keladi, X = ±°o dan boshqa hamma nuqtada bu to iq in funksiyaning qiymati nolga teng emas, Boshqacha aytganda, o ‘ra ichida to iq in funksiyaning tuguni y o‘q, Bu holat uchun zarraning qayd qiiinishi ehtim oli 15,10-rasmda ko'rsatilgan, Rasmdan ko'ramizki, n = 0 holatda potensial o'ra ichida zarraning qayd qilinish ehtimoli hamma nuqtlarda mavjud, lekin eng katta ehtimol ossillatom ing o'rtasi ( x = 0 ga to 'g 'ri keladi). Boshqa so'z bilan aytganda to'lqin funksi yaning maksimumi x = 0 (15.9-rasm) ga to 'g 'ri keladi. Ikkkinchi xususiy to'lq in funksiya n = 1 ga to 'g 'ri keladi. Bu to'lq in funksiya o'ra ichida X o'qini 0 nuqtada kesadi. Bundan chiqadiki, \|/(x) funksi yaning bitta tuguni mavjud (v(x) funksiyaning nolga teng bo'lgan nu- qtasi tuffun nuqta deyiladi. Tuguniar soni to'lq in funksiyaning tartibi, y a’ni J l ga teng .) ossillatoming o'rtasida, y a’ni x = 0 da zarraning qayd qiiinishi ehtimoli nolga teng va ehtimol maksimumi x = ga 2 to 'g 'ri keladi. Uchinchi xususiy to'lqin funksiya hosil qilgan tugunlar ikkita, ya’ni n = 2 - Bu to'lqin funksiyaning eng katta qiymatlari i Í: Í KV A N T F IZ IK A S I X = ± L ga to 'g 'ri keladi. Kvant soni ^ ning katta qiymatida kvant ossillatoridan bo'ladigan jarayon klassik ossillatorga o'xshab ketadi va bu hol uchun ham Borning moslik prinsipi bajariladi. Endi asosiy e ’tibom i parabolada olingan n = 0 uchun A va \ nuqtalar, / 7= 1 uchun B va 5 , va h.k. chekka nuqtalarga jalb qilamiz. 15.9-rasmdagi A va A nuqtada zarraning holatini ko'raylik. Bu hol uchun keltirilgan mulohaza boshqa chekka nuqtalar uchun ham o'rinli bo'ladi. Dastlab klassik iizika nuqtayi nazaridan mulohaza yuritamiz. Parabolaning A va nuqtalarida turgan zarraning kinetik energiyasi nolgi teng. Chunki bu nuqtalarda tezlik nolga teng ( A va A nuqtalar eng katta og'ishish nuqtalari). Shuning uchun bu nuqta larda zarraning potensial energiyasi eng katta bo'ladi, y a ’ni 1 1 P U = —kx^^ = —kÚ- Bu holda zarraning to'la energiyasi faqat poten sial energiyaga teng bo'ladi va zarra A va A^ nuqtalardan tashqanga o'tib keta olmaydi. Klassik fizika nuqtayi nazaridan zarraning A nu- qtadan tashqariga chiqishi man etilgan bo'lib, uni ossillator devori orqasida ko'rish ehtimoli nolga teng. Endi bu masalani kvant nazariya nuqtayi nazaridan ko'raylik. Kvant nazariyaga ko'ra, zarra to'lqin xususiyatga ega. Shuning uchun uning ossillator ichidagi xatti- harakati Shryodinger tenglamasiga bo'ysunadi. Uning yechimi 15.9- va 15.10-rasmlarda keltirilgan. Rasmlarga diqqat bilan razm soling. A va nuqtalarda to'lqin funksiyaning, shuningdek, ehtimol zichligining qiymati ham nolga teng emas, balki kichik bo'lsa ham biror chekli qiymatga ega. Esingizda bo'lsa, potensial o'ra masalasida bu nuqtalar uchun to'lqin funksiyaning qiymati nolga teng edi, ya’ni zarraning potensial devori nuqtalarida bo'lish ehtimoli nolga teng. Biz qarayot- gan parabolik ossillatorda vaziyat boshqacha. Bunda zarraning to'lqin funksiyasi faqatgina chekka nuqtalardagina emas, shu bilan birga o s sillator devorining orqa tomonida ham chekU qiymatga egadir. Bu d e gan so'z zarraning devor orqasiga o'tib qolishi mumkinligi kelib chiqadi. Demak, kvant ossillator masalasida zariani potensial devori orqasida kuzatish ehtimoli mavjuddir. Bu natija potensial to'siq masal- asini chuqur o'rganishga majbur qildi. Bu esa o ‘z navbatida, tunnel effekt degan hodisaning ochilishiga olib keldi. Quyida shu masala b i lan chuqurroq tanishamiz. 334 KV A N T F IZ IK A S I K vant ossillator m asalasining aham iyati Kvant ossillator masalasidagi natija, ya’ni eng kichik holat uchun {71 = O ) nolinchi tebranishning mavjudligi va uning qiymati E = —h\f 2 teng b o iish in i tajribada tasdiqlanishi kvant nazariya va uning rivojlan- ishi uchun juda katta ahamiyatga ega. Kvant ossillatom ing bu ajoyib xususiyatini tajriba tasdiqladi. Qattiq jismda tovush tebranishlarini kvant ossillatorilarning majmuasidan iborat deb qarasak, u holda abso lut temperaturada qattiq jismning atomlari q o ‘zg‘almas degan {hara- katda), y a’ni nolinchi tebranishlarga ega degan xulosaga kelamiz. Bu natija o ‘ta past temperaturalarda rentgen nurlarini kristall atomiarida sochilishi tajribalarida t o ia tasdiqlangan. Xuddi shuningdek, b o ‘sh fazoda elektrom agnit toiqinlarin i ham ossillatorlar majmuasi deb q a rasak, u holda zarralar ham, kvantlar ham b o im ag an b o ‘shliqda elek tromagnit toiq inlarin in g nolinchi tebranishlari mavjud degan yakunga kelamiz. Bu tebranishlar ham tajribada t o ia kuzatilgan. Shunday qilib, kvant ossillatori klassik ossillatordan farq qilib, eng kichik energetik holatida ham harakat to'xtab qolmaydi. Ossillatoming koordinata va impulslarining o'rtacha qiymati nolga teng, ammo koordinata kvad- ratining o'rtacha qiymati va impuls kvadratining o ‘rtacha qiymati noldan farqli. Shu sababdan ham nolinchi tebranishlar mavjuddir. Kvant ossillatom ing muhim natijalari nazariy fizikaning yangi b o iim i, kvant elektrodinamikasi fanini paydo b o iish ig a olib keldi. Bu fan elektronlarning bir-biri bilan b oiad igan va elektrom agnit maydon bilan b o iad ig an o ‘zaro ta ’sirini juda katta aniqlik bilan tavsiflab beradi. Bu sohada Dirak, Feynman, Tomonaga, Shvinger, Dayson kabi fiziklarning xizmati juda ham kattadir. 15.3. P oten sial to ‘siq. Tunell effekt Zarraning bir o ich o v li harakatini muhim holidan yana biri uning potensial to'siqdan o'tishidir. Bu masala garmonik ossillator masal- ’ asining yechim idan bevosita kelib chiqadi. Yuqorida ko'rdikki, gar- i monik ossillator masalasida to'lqin funksiyaning qiymati potensial o'ra tashqarisida ham noldan farq qiladi. Bu degani klassik chegara tash- » qarisida, y a’ni potensial o'ra ortida ham zarrani qayd qilinish ehtimoli mavjud bo'lib, u chekli qiymatga ega. 15.9-rasmda to'lqin funksiya potensial devorning Av& V nuqtalaridan ichkarisiga o'tib tezda nolga aylanishi tasvirlangran. A v& V nuqtalarda to'lqin funksiya chekli qiy matga ega bo'lishi mumkin. Keyin nima bo'ladi? bu savolga javob ¿ topish uchun yupqa potensial devor - potensial to'siqm ko'raylik. , 15.11-rasm da U > E uchun potensial to'siq tasvirlangan. Rasmdan ko'rinadiki, to'lqin funksiyaning birinchi sakrashi X = O nuqtada, ikkinchisi esa X — O. nuqtada ro 'y beradi. Natijada, X o 'q i uchta sohaga bo'linadi: 335 K V A N T F IZ IK A S I U {x ) = 0,agar x < O b o ‘ lsa Ug,agar 0 < X < \ bo' Isa 0,agar x > \ b o ‘'lsa I soha U¡—0 II soha U,i=Uo^ I soha V„i=0 (15.66) 15.11-rasmda garmonik ossillatorning energetik sathlardan biri tasvirlangan. 15.Í 1-rasm. Potensial to'siq. Sathning to'la energiyasi, masalan, to'siq balandligidan kichik bo'lsin. Bu sathda to'siqning maksimal potensial energiyasi zarraning to'la energiyasidan katta bo'lgan holda ham to'lqin funksiya bu sathda chekli qiymatga ega bo'ladi (15.9-rasm). Boshqacha aytganda zarran ing qayd qilinishi mumkinligi kelib chiqadi. T o'lqin funksiyaning chekli amplitudasi 15.11-rasmda III sohada tasvirlangan. Bu masalani yechish uchun I, II, III sohalardagi to'lqin funksiya- larni 'V i,V 2'¥3 deb belgilaymiz va har bir soha uchun Shryo- dingerning statsionar tenglamasini quyidagi ko'rinishda yozamiz: '>2 chunki U, = 0 I soha, — + UaWi = ^ ¥ 2 ' chunki = Uo II soha, 2m d x ■ — = ßyu chunki U¡„ = 0 III soha. 2m (15.6?) 336 K V A N T F IZ IK A S I Quyidagi belgilashlar kiritamiz h ‘ va (15.67) ni quyidagi shaklga keltiramiz: - + = 0 . I soha, (15.68) dx- dW , dx^ dW-i dx^ + CrVs = 0 r II soha, III soha. (15.69) I soha, II soha, (15.70) Bu tengliklarning yechimlari quyidagi funksiyalar boiad i: Mi. = + ß -'“*, V j = Fe-P" + G i \ X|/ 3 = C e '“ + De— , m soha, bunda A,B,C,F,F,G - har bir toiqinga mos keluvchi amplitudalar. Bu amplitudalarni quyidagicha ta’riflash mumkin: A - to ‘siqqa chap to mondan tushayotgan toiq in amplituda; B - 1 sohadan qaytgan toiq in amplitudasi; F - II sohaga o ig a n toiq in amplitudasi; G - II sohada A nuqta sirtidan qaytgan toiq in amplitudasi; C - III sohaga o ig a n toiq in amplitudasi; D - III sohadan qaytgan toiq in (mayjud boim agan) amplitudasi. 15.11-rasmda uchala sohada toiq in funksiyani uzluksiz ko'ri- nishda chizdik, bundan chiqadiki, u X o ‘qining istalgan nuqtasida toiq in funksiya uzluksiz va bir qiymatlidir. Bu shartlami bajarish nati- jasida, tenglamani yechgan holda turh amplitudalarni zarraning ener giyasi, to'siqning balandligi va qalinligi orqali b ogiash mumkin. Toiqin funksiya bilan bogiangan ehtimol zichligi ushbu funksiya am- plitudasining kvadratiga proporsional b oigan i to'siq uchun o ü s h koeffitsiyenti yoki to'siqning shaffofligini aniqlash mumkin. C X = 0 nuqtada to'siq sirtidan qaytish koeffitsiyent esa (15.71) (15.72) formula bilan aniqlanadi. U > E hol uchun o ü s h koeffitsiyenti \ 337 KV A N T F IZ IK A S I D = 16- exi (15.73) / - to'siqning fazoviy qalinligi. (15.73) dan quyidagi xulosani chiqarish mumkin. T o 'la energiya E bo'lgan mikrozarra yupqa energetik to'siqqa tushayotgan bo'lsa va to'siqning potensiali E dan katta bo'lsa ham zarraning to'siqdan o'tish ehtimoli mavjudligi kelib chiqadi. Zarraning potensial to'siqdan o'tishiga tunell effekt deyiladi. Tunnel effekt hodisasi kvant hodisasi b o iib , uning klassik mexanikada o ‘rni yo'qdir. Ixtiyoriy shakldagi potensial to'siqdan o'tish koeffitsiyentini qu- 5 ddagi ko'rinishda yozish mumkin: D = exp y 2 m { u { x ) - E ) c k (15.74) Bu masalani yechishda zarra potensial to'siqdan o'tishida o'z en ergiyasini yo'qotm aydi deb hisoblaymiz va to'siqdan o'tishda vaqt o'tayotgan zarralarning soni kamayadi. Bu hodisaga tunnel effekt deb nom berilishiga sabab, zarra to'siqdan o'tishi uchun uning cho'qqisiga o'tmaydi, balki u to'siq orqali xuddi tunneldan o'tgan singari o'tadi. Misol. Balandligi 4 e V ga teng bo'lgan potensial to'siqdan energi yasi 1 e V bo'lgan elektronning o'tish ehtimolini hisoblang. To'siqning kengligi 2 , 0 10 “* sm deb hisoblang. Yechish. r = 16 IßeV 1 - IfleV {4,0eV A 4,0eK exp 1 e V energiyaga ega bo'lgan 100 ta elektrondan faqat 8 tasi to'siqdan o'ta oladi. Tunnel effekti yordamida yadroning a - yemirilishi 1928-yilda Gamov, 1929-yilda Kondon va Garnilar tushun- tirib berishgan. Masalan, uran yadrosining nuklonlari neytron va pro- tonlardan iborat. Bu zarralar yadro ichida klaster deb atalgan birikma- lar hosil qiladi. Bu klasterlar ikkita proton va ikkita neytrondan tashkil topgan bo'lib, yashash vaqti qisqa. Odatda, ularni (X - klaster deb ata- shadi. Tunnel effekt nazariyasi asosida hisoblashlar shuni ko'rsatadiki, yadro kuchlari tufayli hosil bo'lgan potensial to'siq a - zarrani ich- karidan tashqariga chiqish ehtimoli 10 * zarralardan faqat bittasigagina bo'lishi mumkin, Zarraning yadrodan bu chiqishini a - yemirilish dey iladi. Diametri 10 '''m yadrodan o'tayotgan (X - zarraning tezligi 10’ ~ s 338 KV A N T F IZ IK A S I b o‘lsa, u holda har sekundda to'siq bilan 10 ^‘ to'qnashishlar sodir bo'lishi mumkin. Oddiy hisoblashlar shuni ko'rsatadiki. 10 ^* 10"' 5 -' = 10” 5= 3-10V /7. Bu degani yadrodan a - zarrani chiqishi uchun 310® yll kerak bo'ladi. shuning uchun ham uran yadrosining yarim yemirilish davri taxminan milliard yilga teng. Poloniy yadrosi uchun potensial to'siq balandhgi urannikiga nisbatan kichik bo'lganligi sababli to'siq bilan 1 0 ‘’ to'qnashishda bitta a - zarraning chiqish ehtimoli mayjud. To'q- nashishlar soni 1 0 ^’s"' desak, u holda har lO 'S da poloniydan bitta ^ -zarra uchib chiqib ketadi. Savollar 1. Potensial o'ra deganda, nimarri tushunasiz? 2. Potensial va to'lqin funksiya uchun chegaraviy shartlar qanday qo'yiladi? 3. Potensial o'ra uchun Shryodinger tenglamasi va uning yechimini yozing. 4. To'lqin funksiyaning normallash shartini ko'rsating. 5. Potensial o'ra uchun energiyaning xususiy qiymatlari qanday topiladi? • 6 . Energetik sathlar deganda, nimani tushunasiz? 7. Impulsning xususiy qiymatlari qanday topiladi? Bu holda no aniqlik prinsipi qanday o'rin tutadi? 8 . Normallangan xususiy funksiyalarni yozing. 9. Xususiy funksiyalar va qiymatlar jadvalini tuzing va ularning fizik ma’nosini tushuntiring. 10. Ehtimol zichhgini n = 1,2,3 hollar uchun tushuntiring. 11. Garmonik ossillator deganda, nimani tushunasiz? 12. Klassik garmonik ossillator bilan kvant garmonik ossillator orasidagi farq nimadan iborat? 13. Garmonik ossillator masalasida klassik mexanikani kvant m ex anikaning xususiy xoli deb qarash mumkinmi? 14. Garmonik ossillator uchun potensial energiya qanday yoziladi? 15. Garmonik ossillator uchun Shryodinger tenglamasi qanday to piladi? 16. Garmonik ossillator uchun energiyaning xususiy qiymati qan day yoziladi? 17. Garmonik ossillator uchun xususiy funksiyalar qanday yozi ladi? 18. Xususiy funksiyalarni aniqlashda qanday polinomlardan foy- dalaniladi? I KV A N T F ÍZ IK A S Í 19. T oiq in funksiyani potensial o ‘ra devori ortida yotishini qanday izohlaysiz? 20. Potensial o ‘ra uchun garmonik ossillator uchun yozilgan to iq in funksiyalari bir-biridan qanday farqlanadi? 21. Garmonik ossillatorni toiq in funksiyasi qanday normallanadi? 22. 15.10-rasmdagi grafikdagi ehtimol zichligini /i = 1,2,3 hollar uchun tushuntiring? Download 11.27 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|