E. rasulov, U. Begimqulov
Download 11.27 Mb. Pdf ko'rish
|
|
ífflcíPx. Py. Pz, í f • dfí,dp^dR = y. z, tfd x d y d ( 11 . 22 ) (11.23) tenglikni hosil bo'lishini isbotlash mumkin. (11.23) ifodaning chap qismi zarra impulsini istalgan qiymatini topish ehtimolini, o'ngdagi ifoda esa fazoning istalgan nuqtasida zarra o'rnini topish ehtimolini xarakterlaydi. 11.6. Kvant nazariyaning xossalari To'Idirish prinsipi va o'lchash jarayonlarni Bor talqinidan kvant nazariyaning xossalari kelib chiqadi. i i è v i Л i K V A N T F I Z I K A S I 1. Kvant mexanika bir qiymatli javobni karomat qilmaydi, balki faqat u yoki bu natijaning ehtimolini ayta oladi. Tirqishli to'siqqa tu shayotgan zarraning holatini qancha aniq bilmaylik, to'siq ortiga qo'yilgan fotoplastinkani qaysi nuqtasiga uni kelib tushishini aytib berib bo'lmaydi. Bu noaniqlik klassik determinizmga ziddir. Per Laplas yaratgan determinizm nazariyasiga ko'ra barcha zarralarning koordina talari va impulslarini bilgan holda koinotning kelajagini oldindan aytib berish mumkin. Shunday bir qiymatli karomatni klassik elektrodi namika ham berishi mumkin. Kvant mexanikada barcha zarralarni koordinatalar va impulslarini berish mumkin emas. Faqat boshlang'ich momentda to'lqin funksiyani berish mumkin. Zarra holatini to'la tavsi flovchi funksiyadir. Koordinata va impuls bilan xarakterlanuvchi klas sik holat to'lqin funksiya bilan almashadi. Kvant mexanika keyingi istalgan momentdagr to'lqin funksiyani bir qiymatli aniqlaydi. Laplas sababiyati buziladi. Kvant mexanika nuqtayi nazaridan dinamik sa babiyat o'rinli bo'lib qoladi. Dastlabki holatni to'la aniqlash keyingi holatni bilishga xizmat qiladi. 2. Kvant mexanikaning eng muhim kashfiyoti - mikrodunyo qonunlarining ehtimollik xarakteridir. Kvant nazariyasining tasawuriga ko'ra hamma mikrozarralar xuddi to'lqin kabi birdaniga fazoning hamma nuqtalarida mavjud, lekin uning biror nuqtada qayd qiiinishi o 'z ehtimolligi bilan xarakterlanadi. Shuning uchun mikrozarralarni harakatini traektoriya tushunchasi bilan tavsiflash mumkin emas. 3. To'lqin funksiya - fizik maydon emas, balki axborot maydonidir, 4. Kvant mexanikada superpozitsiya prinsipi bajariladi. 5. To'lqin funksiya reduksiyalanadi. Har bir o'lchashdan so'ng to'lqin funksiya sakrab o'zgaradi. Reduksiya so'zi ko'p holatli zarran ing bitta aniq holatga kelishini anglatadi. 11.3-rasmdagi difraksion panjara misolida panjarani chap tomonidagi holati panjaraning o'ng tomonida yo'q qilinadi va yangi difraksion holat hosil bo'ladi; uning ko'rinishi dastlabki holat va asbob (difraksion panjara)ga bog'liq, Fotoplastinkada yana bitta o'zgarish yuz beradi; panjara va foto plastinkada keng sohani egallagan to'lqin funksiya fotoplastinkada qisilib, fotoemulsiya donachasi o'lchamigacha lokallashadi. Bu lo- kallashish emulsiyaning turli donachalarida bo'lishi mukmin, Fotoplas- tikaga tushguncha elektronning istalgan joyda bir xil ehtimol bilan topish mumkin edi; emulsiya donachasi qoraygandan so'ng elektron holatining noaniqligi juda ham qisqa vaqtda sakrab o'zgaradi va don- cha o'lchami bilan xarakterlanadi. Bu holni to'lqin funksiya reduksiyasi yoki to'lqin-paket reduksiyasi deyiladi. Shunday qilib, mikroolamda zarra turli qiyofada yashashi mumkin; goh yassi to'lqin, goh murakkab difraktsion holatda, gohida fotoemulsiya donchasi ko'rinishida bo'ladi. O'lchash jarayonida eski holat o'rniga yangi holat paydo bo'ladi va bu o'zgarish statistik, ehtimolyat qonuniga bo'ysunadi. Hech qanday fizi kaviy maydon bunday xususiyatga ega emas, To'lqin funksiyaning 236 K V A N T F I Z I K A S I sakrab o'zgarishi - qo'shimcha shartni boshqacha tanlash boiib, bizning misolimizda to iq in funksiyani doncha qorayishi shartida qid- irayapmiz. Klassik fizikada bunga quyidagi o'xshatishni olish mumkin. Agar teleskopning holatini bir yulduzdan ikkinchi yulduzga tezda 0 ‘zgartirsak, kuzatish joyini tanlash o'zgaradi, xalos, teleskop bu holda yulduzlarga hech qanday fizikaviy ta’sir ko'rsatmaydi. 6 . O'lchov asbobi bilan va tajriba o'tkazilayotgan obyekt orasidagi o'zaro ta’ sir tekshiriluvchi obyektga ta’ sir qiladi va o'zaro ta’ sir nati jasida mikrozarra boshqa kvant holatiga o'tadi. SAVOLLAR > Nima uchun to'lqin-paket yoyilib ketadi? > Nima uchun zarrani to'lqin-paket bilan aynanlashtirish mum kin emas? > Zarralar to'plamini to'lqin deb qarash mumkinmi? > To'lqin funksiyaning statistik talqinini ta’ riflang. > De-Broyl toiqinining statik izohini kim va qachon bergan? > To'lqin funksiyaning statistik talqini mikrozarra strukturasiga bog'liqmi? > Ehtimol intensivligi deganda nimani tushunasiz? > Yorug'lik difraksiyasi bilan mikrozarra difraksiyasini o'xshash deb atasa bo'ladimi? > Ehtimol zichligini ta’riflang? > Nima uchun ayrim fiziklar individual mikrozarraning to'lqin xususiyatini inkor qiladilar? > Qaysi eksperiment Bomning statistik talqini bilan individual elektronning to'lqin xususiyatga ega ekanligini tasdiqladi? > 11 . 2 -banddagi 11.3-rasmdagi eksperimentdagi korpuskulyar xususiyati bilan to'lqin xususiyat farqini tushuntiring? > Intensivligi juda kichik bo'lgan elektronlar bilan qilingan taj riba natijasi 11.4-rasmda tasvirlangan. Uni izohlang. > Sanog'ichga kelib tushgan elektronlar uchun ehtimol formu lasini yozing va tushuntiring, > Bornning to'lqin funksiyani statistik talqiniga ko'ra elektronni qanday tasawur qilish mumkin? > Superpozitsiya prinsipini ta’riflang va mohiyatini tushuntiring. > Kvant fizikadagi superpozitsiya prinsipi klassik fizikadagi su perpozitsiya prinsipidan farq qiladimi? > Superpozitsiya prinsipini holatlar uchun yozib ko'rsating. > Uzluksiz o'zgaruvchi parametrga bog'liq bo'lgan holatlar uchun superpozitsiya prinsipi qanday yoziladi? > Eksperimentda superpozitsiya prinsipi qanday amalga oshiri- ladi? l í l . J- i r " K V A N T F I Z I K A S I > To'lqin funksiya kvant fizikada qanday belgilanadi? > Zarra o'rnini qayd qilinishi ehtimoli uchun Bomning statistik talqinini qanday qo'llash mumkin? > Elementar ehtimol va ehtimol zichligi formulasini yozing. > Nima uchun to'lqin funksiya normalanadi? > Mikrozarra impulsi klassik va kvant fizikada qanday o'Icha- nadi? > Devisson va Jermer eksperimenti misolida superpozitsiya prin sipi va impuls ehtimolini topishni tushuntiring. > Impuls ehtimoli qanday formula bilan ifodalanadi? 11.5-rasmda ko'rsatilgan Faradey silindri qanday fazifani ba- > jaradi? > > > > Kvant nazariyaning eng muhim xossalarini ayting. To'lqin funksiyani nima uchun axborot maydoni deb atashadi? To'lqin funksiya fizik ma’ noga egami? To'lqin funksiya reduksiyasi deganda nimani tushunasiz? Mikrozarralaming fazoning turli nuqtalarida bo'lish ehtimolini qanday asboblar yordamida o'rganish mumkin? > Ehtimol to'lqinining boshqa to'lqinlardan farqi nimada? > Shu bobni o'qiganingizdan so'ng sizda qanday tasawur hosil bo'ldi? MASALALAR > Zarra bir vaqtning o'zida p, va p 2 impuls bilan qarama-qarshi yo'nalishda harakat qilyapti. Bu hoi uchun superpozitsiya prinsipini yozing. Bu zarra impulsining qiymati qanday topiladi? 11 . 1 -masala shartida Cp^ = ~ ga teng bo'lsa if ‘ V 3 Pj va P 2 impulslar nimaga teng? > y/{x,t) = A c o s { k x - o x ) formula bilan tavsiflanuvchi to'lqin funksiyaning superpozitsiya prinsipi va to'lqin funksiya ehtimol to'lqiniga teng emasligini ko'rsating. > De-Broyl to'lqini ehtimol zichligini xarakterlash uchun uni qanday ko'rinishda yozish kerak bo'ladi? > Superponirlash holatida mikrozarra uchun ehtimol formulasini yozing. 'I A V formula bi- > 11.5-masala yechimida AP^ = Cy Ian ifodalanadi. Shu ehtimolning ma’ nosini tushuntiring. 238 K V A N T F I Z I K A S I > 11.5-masala yechimidagi AP ,2 ehtimol interferensiyasini izoh- lang. > Nima uchun hadni interferension had deyiladi? > Koordinataga bog'liq bo'lmagan hol uchun ikkita de-Broyl to'lqinini yozing. Shuningdek, interferension hadni ko'rinishini yozing. > Mavzudagi 11.3-rasmda maksimumlar orasidagi masofa L„ zarraning to'lqin uzunligi X bo'lsa difraksiya burchagini toping. > Kogerent va kogerent bo'lmagan superpozitsiyalarning farqi nimada? 1 j” '1 U.6-rasm. > 11.6-rasmda ikkita tirqishh to'siq tasvirlangan. T tirqishli ek- randan aniq impulsga ega bo'lgan zarraning o'tishi tasvirlangan. Ularning intensivligi har sekundda bitta zarraga teng bo'Isin. T ekran orqasida yana 5 ta tirqishli to'siqlar joylashtirilgan. Sanog'ichning har gal bevosita tirqishlardan biriga qo'yib undan oqayotgan zarralar oqimini kuzataylik. Berilgan tirqish uchun 1 sekundda o'tgan zarralar soni r ga teng bo'lsa, biz T tirqishdan o'tayotgan zarra ehtimoü R ga proporsional deymiz. Zarralarning to'lqin uzunligi X tirqish kengligiga nisbatan katta bo'Isin; hamma tirqishlar o'lchami bir xil. Bu holda tirqishda to'lqinning kompleks amplitudasi haqida so'zlasa bo'ladi. Shu tirqishlarda o'tish amplitudasi deganda nimani tushunasiz? Ras mda tasvirlangan tirqishlardagi o'tish amplitudalarini belgilang va ularni izohlang. > 11 . 6 -rasmdagi o'tish amplitudalarini bilgan holda, ular uchun o'tish ehtimollarini yozing. Nechta o'tish ehtimoli mayjud? Amplitu- dani A harfi bilan, ehtimolni R harfi bilan belgilab, ehtimolni har bir tirqishda amplituda orqali ifodalang va izohlang. 239 i K V A N T F I Z I K A S I > 11.6-rasmdagi tirqishlarning barchasi ochiq. T tirqishdan o'tgan zarrani D tirqishga kelishdagi ehtimoli R nimaga teng (kvant mexanika nuqtayi nazaridan)? > 11.14-masala klassik fizika nuqtayi nazaridan qarab ehti molning formulasini yozing. > O'tish amphtudalari noma’ lum, ehtimollar ma’ lum bo'lsa r ni qanday topish mumkin? > Nima uchun- 11.15-masaladagi R ni topish formulasini xato deymiz? Xato nimada? > 11.7-a rasmda tajriba chizmasi ko'rsatilgan T tirqish bilan 1’ tirqish oralig'iga to'lqin íazoni to'xtatuvchi qurilma qo'yilgan. Fazani tutib qolganida amplituda A, faqat A,e'® amplitudaga almashtiriladi. r(6) ni toping. e* <■ a) 11.7-rasm. b) > 11.7-b rasmda quyidagi astaob ko'rsatilgan 1’ va 2’ tirqishlarni yorituvchi ikkita sohada 1 va 2 manba ko'rsatilgan. Ikkita manbaning intensivligi bir xil. T to'siqdan o'tgan zarra D tirqishdan o'tish ehti moli r, ni toping. > Kogerent bo'lmagan ikkita manba uchun kogerent bo'lmagan superpozitsiya umumiy qoidasini aniqlang. > 11.8-rasmda interferensiya manzaralari ko'rsatilgan. Ulami tu shuntiring. > To'lqin uzunligi X =50 nm bo'lgan yorug'lik nuri tirqishlar or- alig'i 0,lmm bo'lgan to'siqqa tushmoqda. Ekran to'siqdan 1,2 m uzo- qlikda o'rnatilgan. Ekranda hosil bo'lgan interferensiyada polosalar qanday joylashgan? 240 K V A N T F I Z I K A S I а) b) 11.8-rasm. d) Ekran 1=1.2м íl.9-rasm. 241 KVANT F IZ IK A SI XII BOB Mavzu: KVANT FIZIKANING MATEMATIK APPAKATI Reja: 12.1. Koordinata va impulsning o‘rtacha qiymatini topish. Ope ratorlar. 12.2. Operatorlar va ularning xossalari. Chiziqli va ermit opera torlar. Dirak qavslari. 12.3. Kommutativ va nokommutativ operatorlar. 12.4. Fizikaviy kattalikning o‘rtacha qiymati va o‘rtacha kvad- ratik og‘ishini hisoblash. 12.5 Xususiy qiymat va xususiy funksiya. Operatorlaming disk ret va tutash spektri. 12.6. Operatomi xususiy qiymatlari va xususiy funksiyaiarining xossalari. 12.7. 0 ‘lchash natijalarining ehtimolini hisoblashning umumiy kvant-mexanik metodi. 12.8. Turli mexanik kattaliklarni bir vaqtda o‘lchash sharti. 12.9. Koordinata va impulsning operatorlari. 12.10. Energiya operatori. 12.11. Harakat miqdori momenti operatori. ADABIYOTLAR > Д.И.Блохинцев. Основы квантовой механики. М., 1961. > А .А .С О К О Л О В , Ю.М.Аоскутов, И.М.Тернов. Квантовая меха ника. М., 1962, > А.Р.Ландау, Е.М.Лифшиц. Квантовая механика, нереляти- вическая теория. М., 1963. > Дж. Мак-Коннел. Квантовая механика частиц. М., 1962. Masalaning qo‘yilishi: Bu bobda biz kvant fizikaning matematik apparati - kvant mexanika haqida qisqacha to‘xtalamlz. Mikroolam jarayonlarini tasvirlovchi kattaliklar - o'rtacha qiymat, xususiy funk siya, xususiy qiymat va ularning operatorlari haqida so‘z boradi. Kvant mexanikada faqat chiziqli va ermit bo'lgan operatorlarni ishlatilishi va ularning xossalari haqida ma’lumot beriladi. Shuningdek, mikrozarra koordinatasi, impulsi, impuls momenti, kinetik energiyasi va to‘la en ergiya operatorlari haqida qiqacha ma’lumotlar keltiriladi. Kommutativ va antikommutativ operatorlar va mikroolamda ayni bir vaqt momen tida ikkita fizikaviy kattalikni qiymatini aniq o‘lchash shartlari beriladi. 242 KVANT F IZ IK A SI XII bob. KVANT MEXANIKANING MATEMATIK APPARATI 12.1. Koordinata va impulsning o‘rtacha qiymatini topish. Operatorlar Kvant nazariyaning hozirgi zamon matematika apparatiga kvant mexanika deyiladi. Kvant mexanika ohy darajada matematikalashtiril- gan fan bo'lib, bundan keyingi boblardagi materiallarni yaxshi o ‘z- lashtirish uchun u haqda juda bo'lmaganda umumiy ma’lumotga ega bo'lishimiz lozim. Biz bu bobda kvant fizikaning matematik apparati haqida zarur bo'lgan tushunchalarni beramiz. Bir vaqtning o'zida zarraning koordinata va impulsi aniq qiymatga ega bo'lgan holatlar kvant sohada mavjud emas. Bu holat o'zini aksini nazariyada - matematik apparatda ham o'z ifodasini topgan. Kvant mexanikaning matematik apparati klassik mexanikaning apparatidan tubdan farq qiladi. Biz aw algi bobda zarrani o'mini qayd qilinishi (topish) ehtimoli va shu holatda bo'lgan zarraning impulsining ehti molini antqlash yo 'li bilan tanishdik. (11.4) va (11.21) formulalar bizga istalgan funksiyani f[x ,y ,z ) va Py, p j larga nisbatan o'rtacha qiymatini topishga imkon beradi. Endi fizikaviy kattaliklarni o'rtacha qiymatini topish bilan shug'ullanamiz. Kvant mexanika mohiyati jihatdan statistik xususiyatiga ega bo 'l gani uchun fizikaviy kattaliklarni qiymatini topish juda katta aha miyatga ega. Fizikaviy kattahklarni o'rtacha qiymatini topish uchun aw algi bobda keltirilgan ikkita fundamental ifodalardan foydalanamiz. Bornning statistik izohiga binoan: dp (x, y , z, t) = |\|/(x, y, z, t f d V (12.1) M p . ' Py . P . , t ) = \c{Px, p y , p , , t f d p ^ d p y d p ^ (12.2) va ehtimollik nazariyasidan {r)= jrd {(x,y,z,t)- (12.3) Bu formulularga tayanib, aw al y, z, () funksiya bilan xarak- terlanuvchi zarra holatining x - koordinatasining o'rtacha qiymatini topamiz: (x) = X df(x, y,z,t)=^ j x |\|/(x, y, z, dxdydz= = f (x, y, z, i)^ ¥ U , y, z, t)dxdydz- (12-4) 243 KVANT F IZ IK A SI {12.5) ( 12 . 6 ) (12.4) formulani umumlashtirib, zarraning istalgan umumiy f{x, y, z) koordinatasi uchun ( f(x, y, z)) = j /(x, y, z)j\i/(x, y, z, t f dxdydz- = fw (x, y, Z, t)/(x, y, z)ii/(x, у z, t)dxdydz- Endi - impulsni o‘rtacha qiymatini topamiz: (Px) = Í Px di(Pxt Py Pz. f) = Í Px KPx. Py Pz. t f dPx^PydPz = = , C (p,, Py, p^, t)p^ c(p,, Py, p,, t)dp,dpydp^ ■ Xuddi shu kabi erkli ф(р^, Py, p^) funksiyaning o'rtacha qiymati (ф(Рх. Py Pz)) = J c ‘ (Px. Py Рг' Ы р .< Py P z H p .' Py Pz. t)dp,dpydp, (12.7) (12.5) va (12.7) formulalar ko‘rinish jihatdan bir-biriga juda o'xshash, ammo struktura 'jihatdan ular aslo bir-biriga teng emas. f(x, y, z) funksiyaning o'rtacha qiymati berilgan Ti U funk siya orqali bevosita topiladi. Lekin impulsning o'rtacha qiymati ^ф(р^, Py, pJl ni topish uchun \}i(x, y, Z, t) ni de-Broyl to'lqinlari bo'yicha yoyilganda hosil bo'lgan c{p^, Py, p^, t) koeffitsientlarni bilishga to'g'ri keladi. Zarra impulsini ifodalovchi funksiyaning o'rtacha qiymatini to'g'ridan-to'g'ri v to'lqin funksiyaning o'zidan topish mumkin emasmikin? Bu savolga ijobiy javob mavjud. Pure integrallari haqidagi teoremaga asoslanib, isbot qilib o'tirmasdan quyidagi almashtirishni bajaramiz: (ф(Рх. Py. p j) = J \^{x,y,z,t)dxdydz ( 12 . 8 ) (12.8) ifodadan ko'ramizki, ф(р^, Py, p,) - impulsning o'rtacha qi ymati \|/(x, y, Z, f) orqali bevosita topish uchun, ф ning argumentlarini A A differensiallarga almashtirib, so'ng ularni (— iñ ) ga dx' dy' dz ko'paytirib qo'yish kerak. Bu holda (12.8) formuladagi integral osti- dagi ifodada differensial olish amali ф dan keyin v|/ - funksiya uchun amalga oshiriladi. Masalan, impulsning x - o'qiga nisbatan o'rtacha qiymati quyi- Э ^ щ{х. у, z, t)d.xdydz= 244 KVANT F IZ IK A SI = -ih. J \)/ y- Zr t) dxdydz- (12.9) CfJi Ko'rib turibsizki, endi (12.5) va (12.9) formulalarga bir xil ko'rinish berish mumkin. Buning uchun, impuls proeksiyalarini faqat differensial operatorlar yordamida yozish kifoya. Agar „ 2.101 operator kirgizsak, u holda (Í2.8) ni \\ f t f ^ ^ \ / (cp(px. Py Pzl) = J (x y, Z, fW p^, Py, p, y\f{x, y, z, tjdxdyd: (12.11) V / ko'rinishda yozsak bo'ladi. Shundy qilib, biz muhim bir xulosaga kelamiz: zarra impulsiga bog'liq bo'lgan cp(p^, p^, p^) - erkli funksiyani o'rtacha qiymati y, z, t) ~ holat funksiyasi orqali topish misollarini yechish uchun ^(Px< Py Pz) ' funksiyani p^ ko'rinishdagi operator funksi- V / yaga almashtirish kerak. Bu natijani umumlashtirib kvant mexanikadagi istalgan fizikaviy kattalikni o'rtacha qiymatini topish formulasini yozsa bo'ladi. Istalgan i fizikaviy kattalikning (koordinata, harakat miqdori mo menti, energiya va bu kattaliklar uchun berilgan istalgan funksiya) o'rtacha qiymati (L) = I V' (^. y< z, t)L\\f{x, y, z, t)dxdydz ■ (12.12) Bunda, \i/(x, y, z, t) - kvant sistemani holatini xarakterlovchi to'lqin funksiya; I - fizikaviy kattalikni xarakterlovchi operator; { l} j - L kattalikning o'rtacha qiymati. (12.12) formulaga ko'ra, har qanday mexanik kattalikni o'rtacha qiymatini topish uchun, shu kattalikni ope ratorini bilish kerak degan juda muhim natijaga kelamiz, (12.12) for mula kvant mexanikaning eng asosiy formulalaridan biridir. Operator lar kvant mexanikada fundamental ahamiyatga ega bo'lib, bu tushun cha 1926-yilda Maks Born va Norbert Viner tomonidan kiritilgan. Download 11.27 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|