Е. В. Воробьева

ЭНТРОПИЯ СИСТЕМЫ

T
_ ^B Q

Изменение энтропии
S  _
A

Формула Больцмана S  k


Вопросы
 На каком участке в изотермическом процессе наблюдается сжатие газа? Т – термодинамическая температура, S – эн- тропия.


 Тепловая машина работает по циклу: две изобары 1-2 и 3-4 и две изохоры 2-3 и 4-1. Как изменяется за цикл энтропия системы?

 На рисунке изображен цикл Карно. На ка- ком участке подводится тепло? Т – термодина- мическая температура, S – энтропия.

 Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно (две изотермы 1-2 и 3-4) и две адиа- баты (2-3 и 4-1). Как изменяется энтропия на участке 1-2? За цикл?


Примеры решения задач

1. 
   Найти изменение энтропии при нагревании воды массой 100 г от
   

температуры
t₁  0 С до температуры
t₁  100 С и последующем пре-

вращении воды в пар той же температуры.

Дано:	Решение:
t1  0 С t2  100 С   2,310^6 Дж/кг m  0,1кг c  4200 ^Дж/(кг∙К)	Полное изменение энтропии складывается из изменения энтропии при нагревании воды S ^и изменения энтропии при превращении воды в пар S^ S  S^ S ^. Как известно S  S  S  ^^Q 2 1  T
S ?

При нагревании воды Q  c m dT .


^T2 dT
Тогда S  _ c m
 c m

1
_T T T₁
Во время превращения воды в пар температура не изменяется , по- этому
_{ } 1 ² Q  m


S  _{T }Q  _T  _T .
2 1 2 2
Таким образом, S  c m n ^T2  ^{ m}

T₁ T₂
S  4200  0,1

 736 Дж/кг.

273 373
Ответ: S  736 Дж/кг.

2. 
   Определите изменение энтропии при изотермическом расшире- ^{нии кислорода массой 10 г от объема} V₁  25 л ^{до объема} V₂ 100 л ^.
   

Дано:	Решение:
m  0,01 кг V2  0,1^м3 V1  0,025 ^м3  0, 032 кг/моль	Так как процесс изотермический, то   2 ^^Q ^12   ^Q^S^T T ^^QT 1 1 По первому закону термодинамики Q  U  A . Так как T  const , то внутренняя энергия не изменяется U  0 , а работа
S ?

A  ^m RT 

n ^V2 .
V₁

Тогда ^{S  m }

RT  ^V V₁

2

n
T


 ^m R 



^{n V2} .
V₁

Вычисляя, получим S  ^0,01 8,31 n ^0,1
 3,6 Дж/К

0,032 0,025
Ответ: S  3,6 Дж/К


ЗАДАЧИ для самостоятельного решения
^{ В результате изохорного нагревания водорода массой} т 1^{г давле-} ние увеличилось в два раза. Определить изменение энтропии газа.
^{ Кислород массой} т  2 ^{кг увеличил свой объем в пять раз один раз} изотермически, другой – адиабатно. Найти изменения энтропии в каж- дом из указанных процессов.
^{ Водород массой} т 100 ^{г был изобарно нагрет так, что объем его}
увеличился в 3 раза, затем водород был изохорно охлажден так, что дав- ление его уменьшилось в три раза. Найти изменение энтропии в ходе указанных процессов.
 Кислород массой т  0, 4 кг нагревают при постоянном давлении

от температуры энтропии газа.
t₁  17 С до температуры
t₂  97
С. Найти изменение

 Во сколько раз следует изотермически увеличить объем идеально-
го газа в количестве 5 моль, чтобы приращение энтропии составило
S  45,65 Дж/К?

 Кусок меди массой
т₁  300 ^{г при температуре t1  97}
С поместили

в калориметр, где находится вода массой
т₂ 100 ^{г при температуре}

t₂  7
С. Найти приращение энтропии системы к моменту выравнивания

температур. Теплоемкость калориметра пренебрежимо мала. Удельные ^{теплоемкости меди} с₁  385 ^{Дж/(кг∙К), воды} с₂  4200 ^{Дж/(кг∙К).}
 Найти приращение энтропии алюминиевого бруска массой т  3
кг при его нагревании от Т₁  300 К до Т₂  600 К, если в этом интерва- ле температур удельная теплоемкость алюминия изменяется по закону ^с_уд ^{ а  bT} , где a  770 Дж/(кг∙К), b  0, 46 Дж/(кг∙К²).

^{ Объем} V₁ 1^{м3 воздуха, находившегося при температуре t1  0 С}

и давлении
р₁  98^{кПа, изотермически расширяется до объема}

V₂  2 ^{м3. Найти изменение энтропии в этом процессе.}
 Найти изменение энтропии при изотермическом расширении мас-

сы 6 г водорода от давления
р₁ 100 ^{кПа до давления}
р₂  50 ^кПа.

 Гелий массой
т  1,7 г адиабатически расширился в
n  3 ^{раза, а}

затем был изобарически сжат до первоначального объема. Найти при- ращение энтропии в этом процессе.
 Найти изменение энтропии при переходе водорода массой от объема 20 л под давлением 150 кПа к объему 60 л под давлением 100 кПа.
 Найти приращение энтропии 2 молей идеального газа с показа-
телем адиабаты   1,3 , если в результате некоторого процесса объем
газа увеличился в два раза, а давление умень- шилось в три раза.
 Идеальный газ совершает цикл 1-2-3-1, в пределах которого абсолютная температура изменяется в n раз. Цикл имеет вид, показан- ный на рисунке, где ^Т – температура, а S – энтропия. Найти КПД этого цикла.

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса):
 _² _a 

_ p 

_{2 } ^ ^{Vm  b} ^{ RT ,}

V
m 

а, b – постоянные Ван-дер-Ваальса, рассчитанные для одного моль газа, ^Vm ^{– молярный объём, р – давление.}


Связь критических параметров объёма, давления и температуры газа с постоянными Ван-дер-Ваальса:

m
V  3b ,
кр
^pкр
_ a
27  b^{2
, T}кр
8a 27  Rb
, a 
27 T ² R²

кр
64  p_кр
, b 
T_кр R _.
8  p_кр

Если ввести приведенные величины:  ^T
Tкр
, 
р ^ркр
,  ^V ,
^Vкр

то уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля примет вид:
^{   3  } ^{3 1} ^{ 8 .}
 _2 
 
Внутренняя энергия реального газа: U  ^{m } C T  ^{a } .
_ ^ V _V ^
 m 

Вопросы

 Как записывается уравнение Ва-дер-Ваальса для произвольной массы газа?
 Какая температура называется критической?
 Каков физический смысл поправок в уравнении Ван-дер-Ваальса? Как они вычисляются: а) из молекулярно-кинетической теории; б) через параметры критического состояния?
 Что называется насыщенным паром?
 Почему давление насыщенного пара зависит от температуры?
Объяснить на основе молекулярно-кинетической теории.
 Что называется фазой системы? Фазовым переходом? Нарисуйте и объясните фазовую диаграмму воды.
 Критическая температура углекислого газа 304 К. При каких тем- пературах происходит постоянный переход из жидкой фазы в газовую и наоборот?

 Получить для Ван-дер-Ваальсовского газа уравнение адиабаты в переменных V ,T . Сравнить полученное выражение с аналогичным для идеального газа.
 Получите выражение для критических параметров через констан- ты уравнения состояния, предложенного Бертло для описания поведения
^{реальных газов: P  a }^{V  b} ^{ RT .
} ^{T V 2 }
 Найти изменение внутренней энергии одного моля реального га- за в процессах: изобарическом, изохорическом, изотермическом, адиа- батическом?
 Выразить разность температур в опыте Джоуля-Томсона через
V₁, T₁ ^.
 Какие участки на изотерме Ван-дер-Ваальса соответствуют ме- тастабильным состояниям? Укажите на чертеже.
 Что называется скрытой теплотой?
 Получите формулу для плотности газа в критическом состоянии.