Economic Growth Second Edition

2.7.4
Results under Isoelastic Utility
In the standard analysis, where
φ(t −τ) = 0 for all t, consumption is not a constant fraction
of wealth unless
θ = 1. However, we know, for any value of θ, that the first-order condition
for consumption growth at time
τ is given from equation (2.11) by
˙c
c
(τ) = (1/θ) · [r(τ) − ρ]
(2.72)
A reasonable conjecture is that the form of equation (2.72) would still hold when
φ(t −τ) =
0 but that the constant
ρ would be replaced by some other constant that represented the
effective rate of time preference. This conjecture is incorrect. The reason is that the effective
rate of time preference at time
τ involves an interaction of the path of the future values of
φ

(t − τ) with future interest rates and turns out not to be constant when interest rates are
changing except when
θ = 1.
Although the transitional dynamics is complicated, it is straightforward to work out the
characteristics of the steady state. The key point is that, in a steady state, an increase in
household assets would be used to raise consumption uniformly in future periods. This
property makes it easy to compute propensities to consume for future periods with respect
to current assets and, therefore, makes it easy to find the first-order optimization condition
for current consumption. Only the results are presented here.
In the steady state, the interest rate is given by
r
∗
= x + n + 1/
(2.73)

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Growth Models with Consumer Optimization
131
where the integral
 is now defined by
 ≡

∞
0
e
−{[ρ−x·(1−θ)−n]·v+φ(v)}
d
v
(2.74)
Thus, if
φ(v) = 0, we get the standard result
r
∗
= ρ + θx
For the case of Laibson’s quasi-hyperbolic utility function in equation (2.64), the result
turns out to be
r
∗
≈
ρ
β
− n ·
(1 − β)
β
+ x ·
(β + θ − 1)
β
(2.75)
where recall that 0
< β < 1. Thus, for the case considered before of log utility (θ = 1), the
effect of x on r
∗
is one-to-one. More generally, the effect of x on r
∗
is more or less than
one-to-one depending on whether
θ is greater or less than 1.
For the transitional dynamics, Barro (1999) shows that consumption growth at any date
τ satisfies the condition
˙c
c
(τ) = (1/θ) · [r(τ) − λ(τ)]
(2.76)
The term
λ(τ) is the effective rate of time preference and is given by
λ(τ) =
∞
τ
ω(t, τ) · [ρ + φ

(t − τ)] dt
∞
τ
ω(t, τ) dt
(2.77)
where
ω(t, τ) > 0. Thus, λ(τ) is again a weighted average of future instantaneous rates of
time preference,
ρ + φ

(t − τ). The difference from equation (2.62) is that the weighting
factor,
ω(t, τ), is time varying unless θ = 1.
Barro (1999) shows that, if
θ > 1, ω(t, τ) declines with the average of interest rates
between dates
τ and t. If the economy begins with a capital intensity below its steady-state
value, r
(τ) starts high and then falls toward its steady-state value. The weights ω(t, τ) are
then particularly low for dates t far in the future. Since these dates are also the ones with
relatively low values of
ρ + φ

(t − τ), λ(τ) is high initially. However, as interest rates fall,
the weights,
ω(t, τ), become more even, and λ(τ) declines. This descending path of λ(τ)
means that households effectively become more patient over time. However, the effects
are all reversed if
θ < 1. The case θ = 1, which we worked out before, is the intermediate
one in which the weights stay constant during the transition. Hence, in this case, the effective
rate of time preference does not change during the transition.

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Chapter 2