Economic Growth Second Edition

Figure 2.4
Numerical estimates of the speed of convergence in the Ramsey model. The exact speed of convergence
(displayed on the vertical axis) is a decreasing function of the distance from the steady state, ˆk
/ˆk
∗
(shown on the
horizontal axis). The analysis assumes a Cobb–Douglas production function, with results reported for two values
of the capital share,
α = 0.30 and α = 0.75. The change in the convergence speed during the transition is more
pronounced for the smaller capital share. The value of the convergence speed,
β, at the steady state (ˆk/ˆk
∗
= 1) is
the value that we found analytically with a log-linear approximation around the steady state (equation [2.41]).

---

116
Chapter 2
of the initial gap from ˆk
∗
. Panel a of figure 2.5 shows how the gap between ˆk and ˆk
∗
is
eliminated over time if the economy begins with ˆk
/ˆk
∗
= 0.1 and if α = 0.3 or 0.75. As
an example, if
α = 0.75, it takes 38 years to close 50 percent of the gap, compared with
45 years from the linear approximation.
Panel b in figure 2.5 displays the level of consumption, expressed as ˆc
/ˆc
∗
; panel c the
level of output, ˆy
/ ˆy
∗
; and panel d the level of gross investment, ˆı
/ˆı
∗
. Note that for
α = 0.75,
the paths of ˆc
/ˆc
∗
and ˆy
/ ˆy
∗
are similar, because the gross saving rate and, hence, ˆc
/ ˆy change
only by small amounts in this case (discussed later).
Panel e shows
γ
ˆy
, the growth rate of ˆy. For
α = 0.3, the model has the counterfactual
implication that the initial value of
γ
ˆy
(corresponding to ˆk
/ˆk
∗
= 0.1) is implausibly large,
about 15 percent per year, which means that
γ
y
is about 17 percent per year. This kind
of result led King and Rebelo (1993) to dismiss the transitional behavior of the Ramsey
model as a reasonable approximation to actual growth experiences. We see, however, that
for
α = 0.75, the model predicts more reasonably that γ
ˆy
would begin at about 3.5 percent
per year, so that
γ
y
would be about 5.5 percent per year.
Panel f shows the gross saving rate, s
(t). We know from our previous analytical results
for the Cobb–Douglas case, given the assumed values of the other parameters, that s
(t)
falls monotonically when
α = 0.3 and rises monotonically when α = 0.75. For α = 0.3, the
results are counterfactual in that the model predicts a fall in s
(t) from 0.28 at ˆk/ˆk
∗
= 0.1 to
0.22 at ˆk
/ˆk
∗
= 0.5 and 0.18 at ˆk/ˆk
∗
= 1. The predicted levels of the saving rate are also
unrealistically low for a broad concept of capital. In contrast, for
α = 0.75, the moderate
rise in the saving rate as the economy develops fits well with the data. The saving rate rises
in this case from 0.41 at ˆk
/ˆk
∗
= 0.1 to 0.44 at ˆk/ˆk
∗
= 0.5 and 0.46 at ˆk/ˆk
∗
= 1. The predicted
level of the saving rate is also reasonable if we take a broad view of capital.
Panel g displays the behavior of the interest rate, r . Note that the steady-state interest rate is
r
∗
= ρ + θx = 0.08, and the corresponding marginal product is f

(ˆk
∗
) = r
∗
+ δ = 0.13. If
we consider the initial position ˆk
(0)/ˆk
∗
= 0.1, as in figure 2.5, the Cobb–Douglas production
function implies
f

[ˆk
(0)]/f

(ˆk
∗
) = [ˆk(0)/ˆk
∗
]
α−1
= (10)
1
−α
Hence, for
α = 0.3, we get f

[ˆk
(0)] = 5 · f

(ˆk
∗
) = 0.55. In other words, with a capital-
share coefficient of around 0.3, the initial interest rate (at ˆk[0]
/ˆk
∗
= 0.1) would take on the
unrealistically high value of 60 percent. This counterfactual prediction about interest rates
was another consideration that led King and Rebelo (1993) to reject the transitional dynamics
of the Ramsey model. However, if we assume our preferred capital-share coefficient,
α =
0
.75, we get f

[ˆk
(0)] = 1.8 · f

(ˆk
∗
) = 0.23, so that r(0) takes on the more reasonable
value of 18 percent.

---

Growth Models with Consumer Optimization
117
 
 0.75
 
 0.3
(a)  kˆ
kˆ
kˆ
*
0
1
0.5
0
50
100
150
Years
200
250
300
0
50
100
150
200
250
300
0
50
100
150
200
250
300
0
50
100
150
200
250
300
0
50
100
150
200
250
300
0
50
100
150
200
250
300
0
50
100
150
200
250
300
0
50
100
150
200
250
300
(e)  Growth rate of yˆ

yˆ
0.1
0.05
0
Years
(f )  Saving rate
(g)  Interest rate
s
0.5
0.3
0.4
0.1
0.2
Years
(b)  cˆ
cˆ
cˆ 
*
1
0.5
0
Years
(c)  yˆ
yˆ
yˆ 
*
1
0.5
0
Years
(d)  iˆ
iˆ
iˆ 
*
1.5
1
0.5
0
Years
r
0.6
0.4
0
0.2
Years
(h)  Capital
Output ratio
(kˆ
yˆ
)
(kˆ
*
yˆ
*
)
1
0.8
0.2
0.4
0.6
Years