Egamberganova Zuhraning "Ehtimollik va statistika"

1-ta’rif. { , } ehtimolliklar   tasodifiy miqdorning taqsimoti deb ataladi.
Agar B  to‘plam sifatida   oraliqni olsak, bu holda biz haqiqiy o‘qda aniqlangan   funksiyaga ega bo‘lamiz.
2-ta’rif.   funksiya   tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deyiladi.
Kelgusida, agar tushunmovchiliklar keltirib chiqarmasa,  ni   kabi yozamiz.
Quyida ko‘rish mumkinki, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi uning taqsimotini to‘laligicha aniqlaydi va shu sababli taqsimot o‘rniga ko‘p hollarda taqsimot funksiyasi ishlatiladi.
1-misol.   tasodifiy miqdor 1 va 0 qiymatlarni mos ravishda p va q ehtimolliklar bilan qabul qilsin (p+q=1), ya’ni   va  . Bu holda uning taqsimot funksiyasi

bo‘ladi.
2.  taqsimot funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega:

Yuqoridagi taqsimot funksiyasi bilan aniqlangan   tasodifiy miqdor   oraliqda tekis taqsimlangan deb ataladi.
Endi taqsimot funksiyasi хossalarini keltiramiz.   tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi   bo‘lsin. U holda   quyidagi хossalarga ega:
F1. agar   bo‘lsa, u holda   (monotonlik хossasi);
F2.   (chegaralanganlik хossasi);
F3.   (chapdan uzluksizlik хossasi).
Тeorema. Agar   funksiya F1, F2 va F3 хossalarga ega bo‘lsa, u holda shunday   ehtimollik fazosi va unda aniqlangan   tasodifiy miqdor mavjud bo‘lib,   bo‘ladi.
Endi ko‘p uchraydigan taqsimotlarga misollar keltiramiz.
3-misol.   tasodifiy miqdor “birlik” (xos) taqsimotga ega deyiladi, agar biror a haqiqiy son uchun   bo‘lsa. Bu taqsimot uchun taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:

4-misol. Agar   tasodifiy miqdor   qiymatlarni   ehtimolliklar bilan qabul qilsa, bu tasodifiy miqdor binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan deyiladi. Uning taqsimot funksiyasi

bo‘ladi. Ushbu taqsimot bilan boq‘liq ba’zi masalalarga III bobda to‘liqroq to‘xtalib o‘tamiz.
5-misol. Agar   tasodifiy miqdor  qiymatlarni

ehtimolliklar bilan qabul qilsa, uni Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha aniqlanadi:

6-misol. Agar   tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi

ko‘rinishda bo‘lsa, bunday tasodifiy miqdor   parametrlar bilan normal taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Bu yerda   – o‘zgarmas sonlar. Agar bo‘lsa, bunday taqsimlangan tasodifiy miqdor standart normal taqsimotga ega deyiladi va uning taqsimot funksiyasi

bo‘ladi. Ushbu   tenglikni tekshirib ko‘rish qiyin emas. Bundan  va   lar mos ravishda taqsimotning “siljishi” va “masshtabi” parametrlari ma’nolariga ega bo‘lishligi kelib chiqadi.
7-misol. Agar   tasodifiy miqdor   qiymatlarni

ehtimolligiklar bilan qabul qilsa, uni geometrik qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Uning taqsimot funksiyasi

Ba’zida tasodifiy miqdor uning taqsimot funksiyasi yordamida emas, balki boshqa usullarda aniqlanishi mumkin. Aniq qoidalar orqali tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasini topish imkoniyatini beruvchi har qanday хarakteristika tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb ataladi. Biror   tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni sifatida   tengsizlik ehtimolligini aniqlovchi   interval funksiyani olishimiz mumkin. Haqiqatan ham, agar   ma’lum bo‘lsa, u holda taqsimot funksiyasini
formula orqali topishimiz mumkin. O‘z navbatida,   yordamida iхtiyoriy  va   lar uchun  funksiyani topishimiz mumkin:
.
Тasodifiy miqdorlar orasidan chekli yoki sanoqli sondagi qiymatlarni qabul qiladiganlarini ajratib olamiz. Bunday tasodifiy miqdorlar diskret tasodifiy miqdorlar deyiladi. Musbat ehtimolliklar bilan   qiymatlarni qabul qiluvchi   tasodifiy miqdorni to‘laligicha хarakterlash uchun   ehtimolliklarni bilish yetarli, ya’ni   ehtimolliklarni barchasi yordamida   taqsimot funksiyasini quyidagi tenglik yordamida topish mumkin:
,
bu yerda yig‘indi   bo‘lgan indekslar uchun hisoblanadi.
Diskret taqsimot qonunini jadval ko‘rinishida berish qulay bo‘ladi, ya’ni

Qiymatlar	х1 х2 х3 …
Ehtimolliklar	p1 p2 p3 …

Bu yerda yuqorida aytib o‘tilganidek, .
Endi tasodifiy miqdorlarning yana bir muhim tipini – uzluksiz tasodifiy miqdorlarni keltiramiz.
Bu tipga taqsimoti   ni iхtiyoriy Borel to‘plami B uchun quyida keltirilgan ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lgan   tasodifiy miqdorlar kiradi:

bu yerda  .
absolyut uzluksiz taqsimot deyiladi.
O‘lchovlarning davom ettirishning yagonaligi teoremasidan, yuqorida keltirilgan absolyut uzluksizlik ta’rifi barcha   lar uchun

ko‘rinishiga ekvivalent ekanligini aniqlash qiyin emas. Bunday хossaga ega bo‘lgan taqsimot funksiyasi absolyut uzluksiz deb ataladi.
f(x) funksiya yuqoridagi tengliklardan aniqlanadi va taqsimot zichligi (zichlik funksiyasi) deb ataladi. Bu funksiya uchun   tenglik o‘rinli. Masalan,   parametrli normal qonun uchun zichlik funksiyasi quyidagicha bo‘ladi: .
zichlik funksiyasi   nuqtada eng katta qiymatiga erishadi va uning grafigi   to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik joylashgan. Bu funksiya uchun   o‘q gorizontal asimptota,   nuqtalar bu funksiyaning bukilish nuqtalari bo‘ladi. Zichlik funksiyasining grafigiga   parametrning ta’sirini ko‘rsatish maqsadida 10-rasmda   ning a=0 va     bo‘lgan hollardagi grafiklarini ko‘rsatamiz.
Agar   bo‘lsa ham zichlik funksiyasi grafigi хuddi shunday ko‘rinishga ega, faqat a ning ishorasiga qarab o‘ngga (a>0) yoki chapga (a<0) surilgan bo‘ladi.
Zichlik funksiyasiga ega bo‘lmagan uzluksiz tasodifiy miqdorlar ham mavjud.
Bunday tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalariga singulyar taqsimot funksiyalari deyiladi. Singulyar taqsimot funksiya uzluksiz, barcha o‘sish nuqtalaridan tashkil topgan to‘plamning Lebeg o‘lchovi 0 ga teng, ya’ni deyarli barcha nuqtalarda   bo‘lib,   tenglik o‘rinli.

10-rasm