Egri chiziqqa o`tkazilgan urinma va uning turli tenglamalari

EGRI CHIZIQQA O`TKAZILGAN URINMA VA UNING TURLI TENGLAMALARI

Reja:

1.Egri chiziqqa o`tkazilgan urinma ta‘rif.
2.Urinmaning mavjudligi va yagonaligi sharti.
3.Urinmaning turli ko`rinishdagi tenglamalari.
4.Normal tekislik va uning tenglamasi.
 

Egri chiziqlartekis (hamma nuqtalari bir tekislikda еtgan) va fazoviy egri chiziqlarga bulinadi.

Agar egri chiziqning xosil bo’lish konunini kursatuvchi tеnglamasini to’zish mumkin bo’lsa,bunday egri chiziq konuniy egri chiziq dеyiladi. Tеnglamasining kurinishiga karab,konuniy egri chiziqlar transtsеdеnt (masalan, sinusoida, tsikloida va boshqalar) va algеbraik egri chiziqlarga bulinadi. Algеbraik egri chiziq tеnglamasining darajasi shu egri chiziqning tartibi dеyiladi.
n-tartiblitekis algеbraik egri chiziqni ixtiеriy to’g’ri chiziq n-nuqtada kеsadi.n-tartibli fazoviy algеbraik egri chiziq umumiy vaziyatdagi tekislik bilan n-nuqtada kеsishadi.
Agar epyurda egri chiziqning bir nеcha nuqtasi proyеktsiyalari, shu jum-ladan, xaraktеrli nuqtalarining proyеktsiyalari ham bеrilgan bo’lsa, egri chiziq ma'lum dеb xisoblanadi. Egri chiziqning proyеktsiyalari umuman egri chiziqlar bo’ladi (66-shakl).

Agar bеrilgan egri chiziqtekis egri chiziq bo’lib, uning tekisligi proyеktsiya tekisliklaridan biriga tik bo’lgan xoldagina egri chiziqning shu tekislikdagi proyеktsiyasi to’g’ri chiziq bo’ladi (67-shakl) Epyurda egri chiziqning kanday egri chiziq ekanligini aniqlash uchun chiziqda bir kancha vatar olamiz; agar bu vatarlar kеsishmasa,bеrilgan egri chiziq fazoviy (68-shakl,a), agar vatarla o’zaro kеsishsa, egri chiziqtekis bo’ladi (68-shakl,b).

Tekis egri chiziqlar

B iror tekislikda еtgantekis egri chiziqning proyеktsiyalarini yasash uchun bеrilgan tekislikni uning izlpridan biri atrofida aylantirib,proyеktsiya tekisliklaridan biriga jipslashtirish,kеyin chiziqning xaqiqiy kurinishini yasash va tekislikni undagi egri chiziq bilan birga asli vaziyatiga kеltirish kеrak (69-shakl). Aksincha, epyurda proyеktsiyalari bilan bеrilgan egri chiziqning xaqiqiy kurinishini yasash uchun,uningtekisligini proyеktsiya tekisliklaridan biriga jipslashtirish lozim.

Tyokis egri chiziqlarga xos ayrim xaraktеrli nuqtalar bor:
1) bo’qilish nuqtasi-A (70-shakl,a)69-shakl.
2) kushalok nuqta-V (70-shakl,b)
3)kaytish nuqtasi-S (70-shakl,v).

Ixtiеriy tekis egri chiziqning xaqiqiy o’zunligini yasash uchun,avval uning xaqiqiy kurinishi chiziladi,kеyin bir nеcha kichik bulakchalarga bulinadi,xar kaysi bulakcha to’g’ri chiziq kеsmasi dеb kabul kilinadi va ular tartibli ravishda bir to’g’ri chiziqka kuyiladi.

Fazoviy egri chiziqlar

Fazoviy egri chiziq epyurda ikki proyеktsiyasi va bеlgilangan bir yoki bir nеcha nuqtasi bo’yicha bеriladi.

Konuniy fazoviy egri chiziqlardan tеxnikada eng kup tarkalgani
vint chiziqlardir. Nuqta doiraviy silindr sirti bo’yicha ilgarilanma xarakat qilganda koldirgan izi (traеktoriyasi) silindrik vint chiziq dеyiladi.

Vint chiziq doiraviy silindr sirti bo’yicha M (m, m) nuqtaning bir xil tеzlik bilan aylanma aylanma va ilgarilama xarakat qilishidan xosil bo’lgan M nuqta silindrning o’qi atrofida bir marta 360 aylanganda silindrning yasovchisi bo’yicha h-balandlikka ko’tariladi. Bu-balandlik silindrik vint chiziqning kadami dеyiladi. Vint chiziqning M, M kismi uning bir urami, silindrning radiusi vint chiziqning radiusi, tsilindrning o’qi esa vint chiziqning o’qi dеyiladi.

Vint chiziq kadami va radiusi orqali bеriladi. Tsilindrik vint chiziqning gorizontal proyеktsiyasi aylana bo’ladi. Vint chiziqning frontal proyеktsiyasini yasash uchun kadam ( ) va aylana n ta tеng bulakka bulinadi. (71-shakl)
Agar vint chiziqning frontal proyеktsiyasi silindrning kurinadigan tomonida chapdan unga ko’tarilsa vint chiziq unakay dеyiladi. Agar frontal proyеktsiyaning kurinadigan tomonida vint chiziq ungdan chapga ko’tarilsa, bunday vint chiziq chapakay bo’ladi.
Silindrik vint chiziqning еyilmasi to’g’ri chiziq bo’ladi.
Еyilmadagi-burchak vint chiziqning ko’tarilish burchagi dеyiladi.
Bu burchakni dan topish mumkin.
Bu еrda-vint chiziqning kadami. R -vint chiziqning radiusi.
Vint chiziq bir uramining o’zunligi еyilmadagi to’g’ri burchakli uchburchakdan topiladi.

Tayanch iboralar: Egri chiziq urinmasi, urinmaning yo`naltiruvchi vektori, urinmaning kanonik tenglamasi, urinmaning oshkormas tenglamasi, normal tekislik va uning tenglamasi.
Urinma tushunchasi va uning Ta‘rifi bizga analitik geometriya kursidan ma‘lum. Lekin biz quyida urinmaning boshqacha, lekin oldingi ta‘riflarga teng kuchli bo`lgan ta‘rifini beramiz. Bu ta‘rif kelgusi mavzularni o`rganish uchun ancha qulaydir.
Aytaylik g egri chiziq va uning biror Р nuqtasi berilgan bo`lsin. Р nuqta orqali g to`g`ri chiziqni o`tkazamiz. g egri chiziqda Р nuqtaga yaqin bo`lgan Q nuqtani olamiz (2-shakl).
Р va Q nuqtalar orasidagi masofani d bilan, Q nuqtadan g to`g`ri chiziqqacha bo`lgan masofani esa d bilan belgilaymiz.
Ta‘rif. Agar Q nuqta egri chiziq bo`ylab Р nuqtaga intilganda (d/d)®0 bo`lsa, u xolda g to`g`ri chiziqni g egri chiziqqa Р nuqtasida o`tkazilgan urinma deyiladi.
Agar g egri chiziq Р nuqtada urinmaga ega bo`lsa, u xolda Q nuqta Р nuqtaga intilganda РQ to`g`ri chiziq shu urinmaga intiladi va aksincha, agar РQ to`g`ri chiziq Q nuqta Р nuqtaga intilganda biror to`g`ri chiziqqa intilsa bu to`g`ri chiziq shu nuqtadagi urinma bo`ladi.
TEOREMA. Silliq egri chiziq o`zining xar bir nuqtasida urinmaga ega bo`lib, u yagonadir. Agar r=r(t) ning vektor tenglamasi bo`lsa, Р nuqtadagi urinmaning yo`nalishi r'(t) vektorning yo`nalishi bilan bir xil bo`ladi.
ISBOT. Faraz qilaylik g egri chiziq Р nuqtada urinmaga ega bo`lib, у g to`g`ri chiziqdan iborat bo`lsin. Р va Q nuqtalar orasidagi d masofani |f(t+Dt)-f(t)| ko`rinishda ifodalashimiz mumkin. Bu yerda Q nuqtaga parametrning t+Dt qiymati mos qo`yilgan. Shuningdek, shaklga asosan d=[|f(t+Dt)-f(t)|t] ekanini topamiz. Farazimizga asosan g to`g`ri chiziq Р nuqtadagi urinma bo`lgani uchun ta‘rifga ko`ra Q nuqta Р nuqtaga intilganda d/d®0 bo`ladi. Bundan foydalanib quyidagilarni topamiz:


Ma‘lumki, Q®Р да Dt®0. Shuning uchun oxirida Dt®0 da limitga o`tib, [f'(t),t]/[f'(t)]®0 ni olamiz. Bundan [f'(t),t]=0 kelib chiqadi. Agar f'(t)¹0, t¹0 ekanini etiborga olsak, f'(t)//t kelib chiqadi.
Demak, urinma mavjud bo`lsa, uning yo`nalishi f'(t) vektorning yo`nalishi bilan bir xil ekan. Bundan urinmaning yagonaligi kelib chiqadi.
Xuddi shunday Р nuqta orqali o`tuvchi va f'(t) vektorga parallel bo`lgan to`g`ri chiziqning urinma ekanligi xam ravshandir.
Urinmaning turli ko`rinishdagi tenglamalari.
Ma‘lumki, egri chiziq turli ko`rinishdagi tenglamalar orqali berilishi mumkin. Egri chiziqning berilishi usuliga mos ravishda urinma tenglamalari xam turli ko`rinishlarda bo`ladi. Ularning ayrimlarini ko`rib o`tamiz.
1. Aytaylik g egri chiziq x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t) ko`rinishdagi parametrik tenglamalar bilan berilgan bo`lsin. Ma‘lumki, boshlang`ich nuqtasi М(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>,z<sub>0</sub>) va yo`naltiruvchi vektori l(m,n,р) bo`lgan to`g`ri chiziq tenglamasi ((x-x<sub>0</sub>)/m)=((y-y<sub>0</sub>)/n)=((z-z<sub>0</sub>)/р) ko`rinishda bo`ladi. Bundan foydalanib va yuqorida isbot qilingan teoremani etiborga olib, x=f<sub>1</sub>(t), y=f<sub>2</sub>(t), z=f<sub>3</sub>(t) parametrik tenglamalar bilan berilgan egri chiziqning Р(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>,z<sub>0</sub>) nuqtasidagi urinma tenglamasini
(1)
ko`rinishda yozish mumkin. Xususan, agar chiziq tekis egri chiziqdan iborat bo`lib, x=f<sub>1</sub>(t), y=f<sub>2</sub>(t) ko`rinishda berilgan bo`lsa, urinma tenglamasi

bo`ladi.
2. Faraz qilaylik g egri chiziq y=f(x), z=j(x) ko`rinishdagi tenglamalar bilan berilgan bo`lsin. Bu tenglama x=t, y=f(t), z=j(t) ko`rinishdagi parametrik tenglamaga ta`luqlidir. Shuning uchun urinma tenglamasini (1) ko`rinishda yozish mumkin, yani
yoki (2)
Xususan, tekis egri chiziq uchun bizga ma‘lum bo`lgan y=y₀+f'(x₀)(x-x₀) tenglama kelib chiqadi.
3. g egri chiziq j(x,y,z)=0, y(x,y,z)=0 ko`rinishdagi oshkormas tenglamalar orqali berilgan bo`lsin. Р(x₀,y₀,z₀) nuqtadagi urinma tenglamasini tuzish talab qilingan bblsin. Bu yerda

matritsaning rangi 2 ga teng.
Aytaylik x=x(t), y=y(t), z=z(t) tenglamalar egri chiziqning Р(x₀,y₀,z₀) nuqta atrofidagi qandaydir regulyar parametrlangan tenglamalari bo`lsin. U xolda biz quyidagi ayniyatga ega bo`lamiz, yani
j(x(t),y(t),z(t))=0
y(x(t),y(t)z(t)=0
Bu ayniyatlarni t bo`yicha differentsiallab quyidagilarni topamiz:
j<sub>x</sub>x'<sub>t</sub>+j<sub>y</sub>y'<sub>t</sub>+j<sub>z</sub>z'<sub>t</sub>=0
y<sub>x</sub>x'<sub>t</sub>+y<sub>y</sub>y'<sub>t</sub>+y<sub>z</sub>z'<sub>t</sub>=0
Oxirgi tengliklardan shu narsa kelib chiqadiki, koordinatalari (x'<sub>t</sub>,y'<sub>t</sub>,z'<sub>t</sub>) bo`lgan r'(t) vektor j(j_x,j_y,j_z) va y(y_x,y_y,y_z) vektorlarning xar biriga perpendikulyar ekan, chunki ularning skalyar ko`paytmalari 0 ga teng. Bundan r'(t) vektorning yo`nalishi [j,y] vektorning yo`nalishi bilan ustma-ust tushadi.
Demak, [j,y] vektor urinmaning yo`naltiruvchi vektoridan iborat ekan. Shunday qilib urinma tenglamasini

ko`rinishda yoza olamiz. Agar g tekis egri chiziq bo`lib, j(х,у)=0 ko`rinishdagi tenglama bilan berilgan bo`lsa urinma tenglamasi
ёки j_х(х-х₀)+j_у(у-у₀)=0
ko`rinishda bo`ladi.
Ta‘rif. Urinish nuqtasi orqali o`tib, urinmaga perpendikulyar bo`lgan tekislik egri chiziqning shu nuqtasidagi normal tekisligi deyiladi.
Normal tekislik uchun urinmaning yo`naltiruvchi vektori normal vektor bo`ladi. Shuning uchugn normal tekislik tenglamasini tuzish uchun urinmaning yo`naltiruvchi vektorini bilish kifoyadir, yani f'<sub>1</sub>(t<sub>0</sub>), f'<sub>2</sub>(t<sub>0</sub>), f'<sub>3</sub>(t<sub>0</sub>) urinma yo`naltiruvchi vektorning koordinatalari bo`lsa normal tekislik tenglamasi
f'<sub>1</sub>(t<sub>0</sub>)(x-x<sub>0</sub>)+f'<sub>2</sub>(t<sub>0</sub>)(y-y<sub>0</sub>)+f'<sub>3</sub>(t<sub>0</sub>)(z-z<sub>0</sub>)=0
ko`rinishda bo`ladi.

Tayanch ibora va tushunchalar

Yoy uzunligi, sanoq chiziq, tenglamasi parametrik ko`rinishida berilgan yoy uzunligi, qutub kordenatasi.
1. To`g`ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi

Tekislikda egri chiziqning AB yoyi (a,b) intervalda aniqlangan y=f(x) funksiyaning grafigi bo`lsin.

Bu egri chiziqning x=a va x=b vertikal to`g`ri chiziqlar orasidagi AB yoyning uzunligini topamiz (29-chizma).
Buning uchun uni M1, M2,…,Mn-1 nuqtalar yordamida n bo`lakka bo`lamiz. Qo`shni bo`lgan nuqtalarini kesma bilan tutashtirib AM1,M1.M2,…Mi-1.Mi,…,Mn-1B bug`unlardan tashkil topgan siniq chiziqlarni hosil qilamiz. Ularning uzunliklarini mos tartibda bilan belgilab ni hosil qilamiz.

29-chizma
Ta`rif. yoyning uzunligi deb, ichki chizilgan siniq chiziqning eng katta bo`g`ini uzunligi nolga intilgandagi limitiga aytiladi:

Bunda (2) limit mavjud va ichki chizilgan siniq chiziqlarning tanlanishiga bog`liq bo`lmaydi, deb faraz qilamiz.
Teorema. Agar AB yoy y=f(x) tenglama bilan berilgan bo`lsin, bu yerda f(x)-[a,b] da uzluksiz birinchi tartibli hosilaga egabo`lgan funksiya.
U holda uning uzunl formulasi yordamida hisoblanadi. (isboti [4], 373 betda).
25-misol. y2=x2 parabolaning O(0:0) dan A(1:1) nuqtagacha bo`lgan yoy uzunligini toping.
Yechish. (12) formulaga ko`ra, quyidagiga ega bo`lamiz:

2 Tenglamasi parametrik ko`rinishda berilgan yoy uzunligini hisoblash.

Egri chiziq tenglamasi (13) parametrik ko`rinishda berilgan bo`lsa, bunda uzluksiz, differensiallanuvchi funksiyalar. Bu holda (13) tenglama biror y=f(x) uzluksiz funksiyani aniqlab, uzluksiz hosilaga ega.
bo`lsin. Bu holda (12) integralda (14) almashtirishni bajarib, (15) yoy uzunligini hisoblovchi formulani hosil qilamiz.
Izoh. Agar egri chiziq fazoda parametrik tenglamalar (16) bilan berilgan bo`lsa , u holda yoyning uzunligi (16) formula bilan aniqlanadi.
26-misol. siklorida bitta arki (27-chizma) uzunligini hisoblang.
Yechish. Sikloida arklari bir xil bo`lgani uchun (15)uning bitta arkini olamiz.
Bunda t parametr 0 dan gacha o`zgaradi, bo`lgani uchun fo`rmulaga ko`ra egri chiziqning uzunligi quyidagicha aniqlanadi :

3. Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi

Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq tenglamasi bo`lsin, bunda qutb radiusi, qutb burchagi.
Qutb koordinatalaridan Dekart koordinatalariga o`tish formulasini yozamiz: . Agar bunda o`rniga uning orqali ifodasini qo`ysak, u holda tenglamalari hosil bo`ladi. Bu tenglamalarga egri chiziqning parametrik tenglamalari deb harash va yoy uzunligini hisoblash uchun formulani tatbiq etish mumkin. Buning uchun x va y dan parametr bo`yicha hosila olamiz: .
Bu holda (18) orqali egri chiziq yoyi uzunligi hisoblanadi. Bunda va qutb burchagi ning yoy uchlaridagi qiymatlari ( ).
27-misol. Arximed spirali ning bir o`rami uzunligini toping. (30. chizma).
Y echish. Ma`lumki Arximed spiralining bir o`rami ning 0 dan gacha o`zgarishida hosil bo`ladi. ekanligini va (1) formulaga ko`ra:
Bunda formuladan foydalandik.

4. Hajmlarni hisoblash

1. Jismning hajmini parallel kesimlar yuzalari bo`yicha hisoblash

Fazoda x=a, x=b tekisliklar orasida joylashgan biror jism berilgan bo`lsin. Ox o`qiga perpendikulyar va nuqtalardan o`tuvchi har qanday tekisliklar bu jismni kesganda hosil bo`lgan kesimning yuzi S(x) ga t eng bo`lsin (31-chizma). U holda x=a, x=b tekisliklar orasidagi jismning hajmi formula bilan hisoblanadi.

28-misol. ellipsoid bilan chegaralangan jism hajmini hisoblang.
Yechish. Ellipsoidni Oy o`qiga perpendikulyar nuqtalardan o`tuvchi ixtiyoriy tekislik bilan kesilganda hosil bo`lgan kesimni qaraymiz (32-chizma).

Kesim tenglamasi. yoki bo`lsa, u holda , ya`ni yarim o`qlari bo`lgan ellipsga egabo`lamiz. Bu kesimni yuzi esa ga t eng. U holda (2) formulaga ko`ra:

3.2. Aylanish jismining hajmi

Asosi [a,b] bo`lgan, y=f(x) egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli tarpetsiyani qaraymiz.Trapetsiyani Ox o`qi atrofida aylantirish natijasida hosil qilingan aylanish jismining hajmini aniqlaymiz (33-chizma). Parallel kesmalar bu yerda radiusi aylanayotgan egri chiziq Y ordinatasining moduliga teng bo`lgan doyiralardir. Demak, kesim: yuzi
(2) formulaga ko`ra aylanish jismning hajmini topamiz:

Xuddi shuningdek, egri chiziq, Oy o`q va y=c, y=d to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning Oy o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jisim hajmi: (5) formula bilan hisoblanadi.

Agar egri chiziqli trapeisiya y=f(x) egri chiziq Ox o`q va x=a, x=b to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan bo`lsa, Oy o`q atrofida aylanishdan hosil bo`lgan jism hajmi. (6) formula bilan hisoblanadi.
Agar shakl egri chiziqlar va x=a, x=b to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan bo`lsa, Ox va Oy o`q atrofida aylanishdan hosil bo`lgan jisim hajimlari mos ravishda quyidagi (7) va formulalar bilan hisoblanadi.

29-misol.

y2=x parabolani Ox o`q atrofida aylantirishdan hosil bo`lgan sirt va x=h tekislik bilan chegaralangan jismning hajmini aniqlang. (34-chizma).
Yechish. (21) formulani qo`llanib, quyidagini topamiz.

Agar egri chiziq x=x(t), y=y(t) parametrik ko`rinishda berilgan bo`lsa, egri chiziqli trapetsyaning Ox o`q atrofida aylanishdan hosil bo`lgan jismning hajmi:

formula bilan hisoblanadi.
30-misol. (27-chizma) ning bir arkasining Ox o`qi atrofida aylantirishdan hosil bo`ladigan jismning hajmini toping.
Yechish (8) formuladan foydalansak, x`(t)=a(1-cost) bo`lib, ekanligini e`tiborga olib quyidagini topamiz:

Ma`lumki,

Demak,
Qutb koordinatalar sistemasida berilgan egri chiziq va radius vektorlar bilan chegaralangan yassi shaklning qutb o`qi atrofida aylanishdan hosil bo`lgan jism hajmi (9) formula bilan hisoblanadi.
Agar bo`lsa (10)
31-misol
Arximed spirali (30-chizma) ning yarim aylanasini ( ) qutb o`qi aylantirishdan hosil bo`ladigan jismning hajmini toping.
Yechish. (10) formuladan foydalaning.



5. Aylanma jism sirtining yuzi

1. 
   To`g`ri burchakli koordinatalar sistemasida y=f(x) ( ) silliq egri chiziq yoyini Ox o`qi atrofida aylantirish natijasida hosil bo`ladigan jism sirtining yuzi (11) formula bilan hisoblanadi.
   
2. 
   Agar silliq egri chiziq parametrik ko`rinishda berilgan bo`lsa, sirt yuzi (12) formula bilan hisoblanadi.
   
3. 
   Agar silliq egri chiziq qutb koordinatalar sistemasida ko`rinishda berilgan bo`lsa, uning qutb o`qi atrofida hosil bo`lgan jism sirtining yuzi (13) formula bilan hisoblanadi.
   

32-misol. y=sinx sinus ifodaning x=0 dan gacha bo`lgan yoyini Ox oqi atrofida aylantirishdan hosil bo`lgan sirt yuzini toping (35-chizma)

Yechish.(11) formuladan foydalansak:

Bunda
formuladan foydalandik.

33-misol. sikloida (27-chizma) ning bir arkasini Ox o`qi atrofida aylantirishdan hosil bo`lgan sirt yuzini hisoblang.

Yechish (12) formuladan foydalanamiz:

16
34-misol. aylananing O qutb o`q atrofida aylanishidan hosil bo`lgan sirtning yuzini hisoblang (36-chizma).
Yechish. (13) formuladan foydalanamiz:

Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar

1. parabolaning x=o dan x= 1gacha bo`lgan yoyi uzunligini toping. J:
2. aylana uzunligini toping
J:
3. parabolaning Ox o`qi bilan kesilgan yoyning uzunligini toping
J:
4. astroidaning uzunligini hisoblang J: 6a.
5. egri chiziqning O(0:0)dan B( ) gacha bo`lgan yoy uzunligini toping. J
6. egri chiziqning nuqtadan nuqtagacha bo`lgan yoy uzunligini toping. J: .
7. egri chiziqning dan gacha bo`lgan yoy uzunligini toping.
J:
8. egri chiziqning x=0 dan x=1 gacha bo`lgan yoy uzunligini toping.
J: .
9. chiziqning Ox o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan aylanish jismining a) x=2, x=6 to`g`ri chiziqlar orasidagi qismining; b) x=0, x=6 to`g`ri chiziqlar orasidagi qismining hajmini toping.
J: a) (kub birlik); b) 18 (kub birlik).

10. yarim aylananing Ox o`q atrofida aylanishdan hosil bo`lgan aylanish jismi – sharning hajmini toping J:

11. chiziqlar orasidagi shakilning Ox o`q atrofida aylanishidan hosil bo`lgan aylanish jismning hajmini toping J: 214

12. parabolaning O(0:0) va A(4:4) nuqtalari orasidagi yoyini Ox o`qi atrofida aylanish natijasida hosil bo`ladigan aylanma paroboloidning hajmini hisoblang. J:

13. parabolaning Ox o`qi bilan kesishganda hosil bo`lgan yoyini Ox o`qi atrofida aylantirishdan hosil bo`ladigan jismning hajmini toping. J: 34

Xulosa
Ta'rif. Ikkinchi darajali tenglama bilan ifodalanuvchi egri chizihlar ikkinchi tartibli egri chizihlar deyiladi. Bunday chizihlar to'hri chizih bilan eng ko'pi ikkinchi nuhtada kesishadi.
Ikkinchi tartibli egri chizihlar va ularning xususiyatlaridan mashinasozlikda, binokorlikda, optikada, artileriyada, aviatsiyalarda va xalk xo'jaligining boshha tarmohlarida keng tarhalgan. Shuning uchun bu chizihlar mukammal o'rganiladi. Ularga aylana, ellips, parabola, giperbola va ularniig xususiy xollari kiradi.
Ta'rif. hamma nuhtalari bitta tekislikda yonma-yon egri chizih fazoviy egri chizih deyiladi.
Urinma tekislik ko'yidagicha yasaladi. S nuhta orhali t₁ va t₂ yarim urinmalar o'tkazilgan (112-chizma) SA va SB kesuvchi to'hri chizihlar t₁SA va t₂SB kesuvchi r₁ va r₂ tekisliklarni hosil kiladi. A va B ni S ga yahinlashtirib borsak, r₁ va r₂, t₁ va t₂ yarim urinmalar atrofida aylana boshlaydi.

Adabiyotlar

1. Aleksandrov A.D., Netsvetayev N.Yu. Geometriya. M.,Nauka,1990.
2. Narmanov A.Ya. Differensial geometriya. T. Universitet, 2003
3. Pogorelov A.V. Differensialnaya geometriya. M.,1974.
4. Narmanov A.Ya. va boshqalar. Umumiy topologiyadan mashq va masalalar to‘plami. T.Universitet, 1996.
5. Sbornik zadach po differensialnoy geometrii. Pod red. Fedenko A.S. M., 1979.