Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari

Markaziy limit teorema

Markaziy limit teorema t.m.lar yig‘indisi taqsimoti va uning limiti – normal taqsimot orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. Bir xil taqsimlangan t.m.lar uchun markaziy limit teoremani keltiramiz.

Teorema. bog‘liqsiz, bir xil taqsimlangan, chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega bo‘lsin, u holda t.m.ning taqsimot qonuni da standart normal taqsimotga intiladi


. (5.3.1)

Demak, (5.3.1) ga ko‘ra yetarlicha katta n larda , yig‘indi esa quyidagi normal qonun bo‘yicha taqsimlangan bo‘ladi: . Bu holda t.m. asimptotik normal taqsimlangan deyiladi.

Agar X t.m. uchun bo‘lsa X t.m. markazlashtirilgan va normallashtirilgan(yoki standart) t.m. deyiladi. (5.3.1) formula yordamida yetarlicha katta n larda t.m.lar yig‘indisi bilan bog‘liq hodisalar ehtimolligini hisoblash mumkin. t.m.ni standartlashtirsak, yetarlicha katta n larda



yoki
. (5.3.2)

5.2-misol. bog‘liqsiz t.m.lar [0,1] oraliqda tekis taqsimlangan bo‘lsa, t.m.ning taqsimot qonunini toping va ehtimollikni hisoblang.

Markaziy limit teorema shartlari bajarilganligi uchun, Y t.m.ning zichlik funksiyasi bo‘ladi. Tekis taqsimot matematik kutilmasi va dispersiyasi formulasidan , bo‘ladi. U holda
, shuning uchun, . (5.3.2) formulaga ko‘ra,
Ehtimollar nazariyasi tarixi
Ehtimollar nazariyasining tarixi ko'plab o'ziga xos xususiyatlar bilan ajralib turadi. Birinchidan, taxminan bir vaqtning o'zida paydo bo'lgan (masalan, matematik tahlil yoki analitik geometriya) matematikaning boshqa sohalaridan farqli o'laroq, ehtimolliklar nazariyasida antik va o'rta asrlarga xos bo'lmagan predmetlar mavjud edi, bu mutlaqo Yangi vaqtni yaratish edi [1]. Uzoq vaqt davomida ehtimollik nazariyasi sof eksperimental fan sifatida qabul qilingan va "juda ham matematik emas" [2] [3], uning qat'iy asoslanishi faqat 1929 yilda ishlab chiqilgan, ya'ni hatto o'rnatilgan nazariya aksiomatikasidan ham kechroq (1922). Bugungi kunda ehtimollik nazariyasi amaliy fanlar sohasida o'zining qo'llanilish sohasi bo'yicha birinchi o'rinlardan birini egallaydi; "Ehtimoliy usullar bu yoki boshqa tarzda qo'llanilmaydigan tabiiy fanlar deyarli yo'q" [4].

Tarixchilar ehtimollik nazariyasining rivojlanishida bir necha davrlarni ajratib ko'rsatishgan [5] [6].

16-asrgacha, orqa fon. Qadimgi davrlarda va O'rta asrlarda tabiiy faylasuflar tasodifning paydo bo'lishi va uning tabiatdagi roli to'g'risida metafizik munozaralar bilan cheklanganlar [7]. Bu davrda matematiklar ehtimollik nazariyasi bilan bog'liq muammolarni ko'rib chiqdilar va ba'zan echishdi, ammo hali umumiy usullar va tematik tushunchalar paydo bo'lmagan. Bu davrning asosiy yutug'i keyinchalik ehtimollik nazariyasini yaratuvchilar uchun foydali bo'lgan kombinatorial usullarni ishlab chiqish deb hisoblash mumkin.

XVII asrning ikkinchi yarmida cheksiz ko'p sonli tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalari va usullari shakllanishining boshlanishi. Dastlab, rag'bat birinchi navbatda qimor o'yinlarida yuzaga keladigan muammolar edi, ammo demografik statistika, sug'urta va taxminiy hisob-kitoblar bo'yicha amaliy vazifalarni o'z ichiga olgan ehtimollik nazariyasi doirasi deyarli darhol kengaya boshladi. Ushbu bosqichda Paskal va Fermat yangi fan g'oyalariga muhim hissa qo'shdilar. Gyuygens ikkita fundamental tushunchani kiritdi: voqea ehtimolini raqamli o'lchovi, shuningdek tasodifiy o'zgaruvchini matematik kutish tushunchasi.

18-asrda ehtimolliklar nazariyasining tizimli ekspozitsiyasi bilan monografiyalar paydo bo'ldi. Ulardan birinchisi Yoqub Bernullining "Taxminlar san'ati" (1713) kitobi edi. Unda Bernoulli tasodifiy hodisa ehtimolining klassik ta'rifini taklif qildi, chunki ushbu hodisa bilan bog'liq bo'lgan ehtimoliy natijalar sonining umumiy natijalar soniga nisbati. Shuningdek, u murakkab hodisalar uchun ehtimollikni hisoblash qoidalarini bayon qildi va "katta sonlar qonuni" kalitining birinchi versiyasini berdi, nima uchun bir qator testlardagi voqealar chastotasi tasodifiy ravishda o'zgarmasligini, ammo ma'lum ma'noda uning yakuniy nazariy qiymatiga (ya'ni ehtimollik) ega ekanligini tushuntirdi.

Bernoulli g'oyalari 19-asr boshlarida Laplas, Gauss, Poisson tomonidan ancha rivojlangan. Amaliy statistikada ehtimoliy usullardan foydalanish sezilarli darajada kengaydi. Matematik tahlil usullaridan foydalanishga imkon beradigan doimiy tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ehtimollik tushunchasi ham aniqlangan. Fizikada ehtimollik nazariyasini qo'llashning birinchi urinishlari paydo bo'ladi. 19-asrning oxiriga kelib statistik fizika paydo bo'ldi, o'lchov xatolarining qat'iy nazariyasi, ehtimoliy usullar turli xil amaliy fanlarga kirib bordi.

Foydalanilgan adabiyotlar ro`yxati: