Ehtimollar nazariyasining predmeti Tasodifiy hodisalar, ularning klassifikatsiyasi

2 Tasodifiy hodisalar, ularning klassifikatsiyasi

Dastlab ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri “tasodifiy hodisa” tushunchasini keltiramiz. Natijasini oldindan aytib bo‘lmaydigan tajriba o‘tkazilayotgan bo‘lsin. Bunday tajribalar ehtimollar nazariyasida tasodifiy deb ataladi.

• 
  Tasodifiy hodisa(yoki hodisa) deb, tasodifiy tajriba natijasida ro‘y berishi oldindan aniq bo‘lmagan hodisaga aytiladi.
  

Hodisalar, odatda, lotin alifbosining bosh harflari …lar bilan belgilanadi.

• 
  Tajribaning har qanday natijasi elementar hodisa deyiladi va orqali belgilanadi.
  
• 
  Tajribaning natijasida ro‘y berishi mumkin bo‘lgan barcha elementar
  

hodisalar to‘plami elementar hodisalar fazosi deyiladi va orqali belgilanadi.
1-misol. Tajriba nomerlangan kub(o‘yin soqqasi)ni tashlashdan iborat bo‘lsin. U holda tajriba 6 elementar hodisadan hodisalar lardan iborat bo‘ladi. hodisa tajriba natijasida ochko tushishini bildiradi. Bunda elementar hodisalar fazosi: .

• 
  Tajriba natijasida albatta ro‘y beradigan hodisaga muqarrar hodisa deyiladi.
  

Elementar hodisalar fazosi muqarrar hodisaga misol bo‘la oladi.
Aksincha, umuman ro‘y bermaydigan hodisaga mumkin bo‘lmagan hodisa deyiladi va u orqali belgilanadi.
1.1-misolda keltirilgan tajriba uchun quyidagi hodisalarni kiritamiz:
A={5 raqam tushishi};
B={juft raqam tushishi};
C={7 raqam tushishi};
D={butun raqam tushishi};
Bu yerda va hodisalar tasodifiy, hodisa mumkin bo‘lmagan va D hodisa muqarrar hodisalar bo‘ladi.

3 Hodisalar ustida amallar

Tasodifiy hodisalar orasidagi munosabatlarni keltiramiz:

• 
  va hodisalar yig‘indisi deb, va hodisalarning kamida bittasi(ya’ni yoki , yoki , yoki va birgalikda) ro‘y berishidan iborat ( ) hodisaga aytiladi.
  

va hodisalar ko‘paytmasi deb, va hodisalar ikkilasi ham(ya’ni va birgalikda)ro‘y berishidan iborat ( )hodisaga aytiladi.
hodisadan hodisaning ayirmasi deb, hodisa ro‘y berib, hodisa ro‘y bermasligidan iborat ( ) hodisaga aytiladi.

• 
  hodisaga qarama-qarshi hodisa faqat va faqat hodisa ro‘y bermaganda ro‘y beradi(ya’ni hodisa A hodisa ro‘y bermaganda ro‘y beradi). ni uchun teskari hodisa deb ham ataladi.
  
• 
  Agar hodisa ro‘y berishidan hodisaning ham ro‘y berishi kelib chiqsa hodisa hodisani ergashtiradi deyiladi va ko‘rinishida yoziladi.
  
• 
  Agar va bo‘lsa, u holda va hodisalar teng(teng kuchli) hodisalar deyiladi va ko‘rinishida yoziladi.
  

1.2-misol. va -ixtiyoriy hodisalar bo‘lsin. Bu hodisalar orqali quyidagi hodisalarni ifodalang: D={uchchala hodisa ro‘y berdi}; E={bu hodisalarning kamida bittasi ro‘y berdi}; F={bu hodisalarning birortasi ham ro‘y bermadi}; G={bu hodisalarning faqat bittasi ro‘y berdi}.
Hodisalar ustidagi amallardan foydalanamiz: ;
; ; .
Demak hodisalarni to‘plamlar kabi ham talqin etish mumkin ekan.

Belgilash	To‘plamlar nazariyasidagi talqini	Ehtimollar nazariyasidagi talqini
	Fazo (asosiy to‘plam)	Elementar hodisalar fazosi, muqarrar hodisa
	fazo elementlari	elementar hodisa
	A to‘plam	A hodisa
,	va to‘plamlarning yig‘indisi, birlashmasi	va hodisalar yig‘indisi ( va ning kamida biri ro‘y berishidan iborat hodisa)
,	va to‘plamlarning kesishmasi	va hodisalar ko‘paytmasi ( va ning birgalikda ro‘y berishidan iborat hodisa)
,	to‘plamdan to‘plamning ayirmasi	hodisadan hodisaning ayirmasi( ning ro‘y berishi, ning ro‘y bermasligidan iborat hodisa)
	Bo‘sh to‘plam	Mumkin bo‘lmagan hodisa
	to‘plamga to‘ldiruvchi	hodisaga teskari hodisa( ning ri’y bermasligidan iborat)
,	va to‘plamlar kesishmaydi	va hodisalar birgalikda emas
	to‘plam ning qismi	hodisa ni ergashtiradi
	va to‘plamlar ustma-ust tushadi	va hodisalar teng kuchli

Hodisalar va ular ustidagi amallarni Eyler-Venn diarammalari yordamida tushuntirish(tasavvur qilish) qulay. Hodisalar ustidagi amallarni 1-5 rasmlardagi shakllar kabi tasvirlash mumkin.

A-B

1-rasm. 2-rasm.


AB

AB

BAB

3-rasm. 4-rasm.




5-rasm.

Hodisalar ustidagi amallar quyidagi xossalarga ega:

• 
  ;
  
• 
  ;
  
• 
  ;
  
• 
  ;
  
• 
  ;
  
• 
  ;
  
• 
  , ;
  
• 
  ;
  
• 
  va - de Morgan ikkilamchilik prinsipi.
  

1.3-misol.

a) ifodani soddalashtiring.
Yuqoridagi xossalardan foydalanamiz:
Demak, ekan.
b) formulani isbotlang.

.