Ekonometrik modellarni aniqlashda «eng kichik kvadratlar usuli» da foydalanish uslubiyati

Asosiy sarlavhalar
Ekonometrik modellarni aniqlashda «eng kichik kvadratlar usuli» da foydalanish uslubiyati
Mutlaq qiymatdagi raqam qanchalik kichik bo'lsa, to'g'ri chiziq (2) shunchalik yaxshi tanlanadi. To'g'ri chiziqni (2) tanlashning aniqligi xarakteristikasi sifatida biz kvadratlar yig'indisini olishimiz mumkin.
S uchun minimal shartlar bo'ladi

	(6)
	(7)

(6) va (7) tenglamalarni quyidagi shaklda yozish mumkin:

	(8)
	(9)

(8) va (9) tenglamalardan x i va y i tajriba qiymatlaridan a va b ni topish oson. (8) va (9) tenglamalar bilan aniqlangan (2) chiziq eng kichik kvadratlar usuli bilan olingan chiziq deb ataladi (bu nom S kvadratlar yig'indisi minimalga ega ekanligini ta'kidlaydi). (2) to'g'ri chiziq aniqlanadigan (8) va (9) tenglamalar normal tenglamalar deyiladi.
Oddiy tenglamalarni tuzishning oddiy va umumiy usulini ko'rsatish mumkin. Tajriba nuqtalari (1) va tenglama (2) yordamida a va b tenglamalar tizimini yozishimiz mumkin.

y 1 \u003d ax 1 +b,
y 2 \u003dax 2 +b, ...		(10)
yn=axn+b,

Ushbu tenglamalarning har birining chap va o'ng qismlarini birinchi noma'lum a (ya'ni x 1 , x 2 , ..., x n)dagi koeffitsientga ko'paytiring va hosil bo'lgan tenglamalarni qo'shing, natijada birinchi normal tenglama (8) hosil bo'ladi.
Ushbu tenglamalarning har birining chap va o'ng tomonlarini ikkinchi noma'lum b koeffitsientiga ko'paytiramiz, ya'ni. 1 ga, va hosil bo'lgan tenglamalarni qo'shing, natijada ikkinchi normal tenglama (9) hosil bo'ladi.
Oddiy tenglamalarni olishning bu usuli umumiydir: u, masalan, funktsiya uchun mos keladi
doimiy qiymat bo'lib, u eksperimental ma'lumotlardan aniqlanishi kerak (1).
k uchun tenglamalar tizimini yozish mumkin:
Eng kichik kvadratlar usuli yordamida (2) chiziqni toping.
Yechim. Biz topamiz:
x i =21, y i =46,3, x i 2 =91, x i y i =179,1.
Biz (8) va (9) tenglamalarni yozamiz.
Bu erdan topamiz
Eng kichik kvadratlar usulining aniqligini baholash
(2) tenglama sodir bo'lganda chiziqli holat uchun usulning aniqligini baholaylik.
Eksperimental qiymatlar x i aniq bo'lsin va tajriba qiymatlari y i barcha i uchun bir xil dispersiyaga ega tasodifiy xatolarga ega bo'lsin.
Biz belgini kiritamiz

(16)

U holda (8) va (9) tenglamalarning yechimlari quyidagicha ifodalanishi mumkin

	(17)
	(18)
Qayerda
	(19)
(17) tenglamadan topamiz
	(20)
Xuddi shunday (18) tenglamadan ham olamiz
	(21)
Chunki
	(22)
(21) va (22) tenglamalardan topamiz
	(23)

(20) va (23) tenglamalar (8) va (9) tenglamalar bilan aniqlangan koeffitsientlarning to'g'riligiga baho beradi.
a va b koeffitsientlari o'zaro bog'liq. Oddiy transformatsiyalar orqali biz ularning korrelyatsiya momentini topamiz.
Bu erdan topamiz
x=1 va 6 da 0,072,
x=3,5 da 0,041.
Chiziqli ekonometrik modelning parametrlarini eng kichik kvadratlar usuli yordamida baholash tartibini batafsil ko‘rib chiqamiz. Bunday model umumiy shaklda (1.2) tenglama bilan ifodalanishi mumkin:
y t = a 0 + a 1 x 1 t +...+ a n x nt + e t.
a 0, a 1,..., a n parametrlarini baholashda dastlabki ma'lumotlar qaram o'zgaruvchining qiymatlari vektoridir. y= (y 1 , y 2 , ... , y T)" va mustaqil o'zgaruvchilar qiymatlari matritasi
Eng kichik kvadratlar usuli o'z nomini asosiy printsipga asoslanib oldi, uning asosida olingan parametr baholari quyidagilarga javob berishi kerak: model xatosining kvadratlari yig'indisi minimal bo'lishi kerak.
Muammolarni eng kichik kvadratlar usuli bilan yechishga misollar