«электромагнитные поля и волны»

6.4.Теорема Пойнтинга– Умова для комплексных векторов ЭМП.


Физическую сущность гармонических процессов позволяют выявить средние за период значения энергетических характеристик. Подобно тому как в цепи переменного тока для вычисления полной комплексной мощности S = UI = Р + jQв теории ЭМП вводится в употребления комплексные мощности потерь и излучения. При этом, учитывается что характер мощности зависит от размерности фаз колебаний, а не от суммы фаз, второй множитель в скалярных произведениях берется комплексно сопряженной величиной. Например,


Е  Н = Е  Не^j(_E^{+ }_H⁾


Е  Н = Е  Не^j(_E^{- }_H⁾


Поэтому средняя плотность электрической и магнитной энергий ЭМП соответственно равны:






Средняя объемная плотность мощности потерь:
p_cpn = JE = EE =E²


Cредняя плотность мощности сторонних cил


где р_ст - комплексная объемная плотность мощности стороннихсил.


Комплексный вектор Пойнтинга определяется как произведение вида:


П = ЕН (6.4.1)


Поток комплексного вектора содержит активную и мнимуючасти. Среднее за период значение плотности потока энергии равно вещественной части комплексного вектора, т.е


p_{cpn ср} = RеП (6.4.2)


Мощность излучения из объема пространства, ограниченного поверхностью S определяется как интеграл вида:
Р_ = ∮_s (6.4.3)
В большинстве учебников по теории ЭМП в формуле (6.4.1) подразумеваются амплитудные значения векторов Е и Н, тогда равенство (6.4.2) пишут в виде
_Пср =
Е_Д = Е_m/2, Н_Д = /2, а ЕН = Е_m Н_m /2
Таким образом, для гармонического (монохроматического) поля вещественная часть уравнения баланса энергий (6.3.6) приобретает вид:


∮_SП_cрdS + ∫_V p_cpn dV = ∫ p_cpcmdV (6.4.4)
а уравнение (6.3.7):
div П_cр + р_срn = p_{cр ст} (6.4.5)


Уравнение (6.4.5) записано для вещественной части комплексного уравнения


divП + j2(_cpм +_срэ) + Р_прn = Р_срст +j_ст


Полученного из (6.3.7) путем подстановки комплексных значений параметров. Уравнения баланса для мнимой части записывается раздельно подобно уравнению (6.4.5).