«электромагнитные поля и волны»

7 ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Многие задачи электродинамики могут быть сведены к изучению электромагнитных явлении в изотропных линейных однородных средах. В этих средах без сторонних источников подчиняются уравнениям Максвелла. При решении первого или второго уравнения Максвелла целесообразно исключить одно из полей ( электрическое или магнитное) и перейти к линейному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка, содержащему либо вектор Е, либо вектор Н.

Возьмем первое уравнения Максвелла:

rotH = σE + ε_а∂E/∂t. (7.1.1)

Это уравнение содержит два неизвестных вектора т.е. для расчета поля необходимо добавить еще одно уравнение, но можно поступить по другому. Применим к уравнению операцию ротора, Вынесем параметры однородной среды за знак этой операции и используем оператор Лапласа получим:

rotrotH = qraddivH - ²H = σrotE + ε_arot ∂E/∂t. (7.1.2.)

Учитывая, что в однородной среде divH = 0 и что очередность операций дифференцирования по времени и по пространственным координатам безразлична (независимые переменные) , получаем :

- ²H = σrotE + ε_a∂/∂trotE. (7.1.3)

Подставив в (3) rotE из второго уравнения Максвелла и вынеся параметры линейной среды за знак производной по времени, приходим к дифференциальному уравнению второго порядка для H :

²Н – ε_аµ_а∂²Н/∂t² - µ_фσ∂H/∂t = 0. (7.1.3.а)

Исключая аналогичным образом из второго уравнения Максвелла вектор Н получаем такое же уравнения для вектора Е:

²Н – ε_aµ_a∂²E/ ∂t² - µ_aσ∂E / ∂t = 0. (7.1.3.б)

Уравнение (4) называют векторным обобщенным однородным волновым уравнением. В случае идеального диэлектрика (σ = 0) уравнение (4) примет вид:

²H- ε_aµ_a∂²H / ∂t² = 0 ²E – ε_aµ_a∂² E /∂t² (7.1.4)

И носит название векторного однородного волнового уравнения.

В cлучае монохрoматического процесса в изотропной линейной среде без сторонних источников первое и второе уравнения Максвелла принимают вид:

rot H = i ώ ε_ã E˙, rot E = - I ώ µ_a H . (7.1.5)

Если среда, кроме того, еще и однородна, то из (7.1.5) вытекают известные нам для такой среды соотношения:

divE = 0 divH = 0 (7.1.6)

в чем легко убедиться, применив к (7.1.5) операцию дивергенции и воспользовавшись тождеством оператора Лапласа.

Исключая из (7.1.5) , (7.1.6) описанным выше способом один из векторов электромагнитного поля, получаем:

²H + ώ²ε_̃µ_a H = 0 ²E ++ ώ²ε_̃aµ_a E = 0 (7.1.7)

Введем коэффицент к² ̃= ώ²ε̃_аµ_а которое называется комплексным волновым числом, теперь получим:

² H + k^̃2H = 0 ² E + k^̃2E = 0. (7.1.8)

Уравнение вида (7.1.8) однородным волновым уравнением Гельмгольца.

Платой за переход из системы уравнения к однородным заключается в повышении порядка дифференциального уравнения.
Если в некотором точке пространства имеется сторонний источник электромагнитного поля то первое уравнения Максвелла примет вид:

rotH = iώε_aE +J_cт (7.1.9)

уравнение (10) это неоднородное волновое уравнения. Применим к уравнению (7.1.9) те же операции что к однородным уравнением получим:

²Н + k̃²Н = - rotJ_ст (7.1.10)

Для любых формах изменении функции J_ст (х,у,z) уравнения (7.1.9) не имеет единственного решения.

Решить это уравнение удобно путем введения вспомогательных функций, называемых электродинамическими потенциалами.
Векторное поле А называется соленоидальным, если

А= rotС, (7.1.11)

Где функцию С именуют векторным потенциалом поля А.

Необходимым и достаточным условием соленоидальности поля А является равенство

DivA= 0 (7.1.12)

Условие соленоидальности векторного поля В(divB = 0 ), как указывалось выше равносильно соотношению

В = rotA. (7.1.13)

Введенную формулой (14) функцию А называют векторным потенциалом. Вектор магнитной индукции равен В = µ_а Н и подставим формулу (7.1.13) полдучим:

µ_aH = rot A H = 1/µ_a rot A. (7.1.14)

(7.1.14) подставим в (7.1.10) получим

²А + k²A = - µ_aJ_cm (7.1.15)

Уравнение (7.1.15) является неоднородным дифференциальным уравнением для векторного потенциала, неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение уравнение (7.1.15) широка известна.

А = µ_а/4π J_сте^ik̃r/rdv (7.1.16)

Уравнение (7.1.16) широко применяется при расчете полей различных антенн. Сначала определим из (7.1.16) А, затем из (7.1.14) Н, после вектор Е по уравнению Максвелла по известному вектору Н.

Решение волновых уравнений показывает, что они дают функции вектора поля с различными колебанием вектора как функции времени tи пространства (х,у,z). Такой характер изменении свойственна волновым процессам. Поэтому важнейшим выводом теории Максвелла пополнили другими учеными Гельмгольц, Герц и другие, что электромагнитное поле распространяется в пространстве виде электромагнитной волны с конечной скоростью.
Уравнения (7.1.8) и (7.1.10) называют также однородным и неоднородным уравнением Гельмгольца.