Elektronika va avtomatika” fakulteti

O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi

islom karimov nomidagi toshkent davlat texnika universiteti

“elektronika va avtomatika” fakulteti

“ishlab chiqarish jarayonlarni avtomatlashtirish” kafedrasi

“Avtomatik Boshqarish Nazariyasi” fanidan

“Pontryaginning maksimal printsipi” mavzuda

MUSTAQIL ISH

Bajardi: 2-kurs Talabasi
Gr: 11S-21 TJA
Xamrayev Sohib Abduxamidovich

Qabul qildi: ………………………………………………..

Toshkent - 2022

Pontryaginning maksimal printsipi

Maksimal printsipni shakllantirish. Maksimal printsip - optimal boshqarish muammolari uchun maxsus ishlab chiqilgan optimallashtirish usuli bo'lib, unda boshqaruv harakatlari cheklangan va bo'lak-bo'lak uzluksiz funktsiyalar bilan tavsiflanadi. Maksimal printsip akademik L.S.Pontryagin boshchiligidagi bir guruh olimlar tomonidan ishlab chiqilgan. 1956 yilda. Bu usul chiziqli bo'lmagan tizimlar uchun zaruriy optimallik sharti va chiziqli bo'lganlar uchun zarur va etarli shart sifatida asoslanadi. Vazifa quyidagicha tuzilgan.
CO tenglamalar sistemasi bilan tavsiflansin
x&i = fi (x1 , x2 ,..., xn ,u1 ,u2 ,...,ur ) , (7.45)
yoki vektor ko'rinishida x& = f (x, u), bu erda xT = [x ,..., x n ] - o'zgaruvchilar vektori
tizim holati, uT = [u ,...,u 1
r ] - boshqaruv harakatlarining vektori.
bitta
Boshqaruv u(t) chegaralangan yopiq domenga tegishli U r-choralar
boshqaruv fazosi va x(t) koordinatalari bo'lsa ham tegishli
n-o'lchovli holat fazosining cheklangan, ammo ochiq hududi X, ya'ni. u(t) nU , x(t) n X .
U domeniga tegishli boʻlak-boʻlak uzluksiz boshqaruvlar sinfidan (ruxsat berilgan boshqaruv elementlari) tarjima qiladigan boshqaruvni tanlash talab qilinadi.
boshqaruv ob'ekti berilgan boshlang'ich holati xi (t0 ) dan oxirgi holatga xi (t1)
(i = 1,..., n) va funksionalni minimallashtiradi
t1
J (x, u) = ò f0 (x, u)dt . (7,46)
t0
Biz fi (x, u) funktsiyalari aniqlangan va jami uzluksiz deb faraz qilamiz
x, u o'zgaruvchilari ularning qisman hosilalari bilan birga ¶fi . Qulaylik uchun

¶xi
Muammoni hal qilish uchun qo'shimcha x0 o'zgaruvchisi kiritiladi, shunda

129
x&0 = f0 (x,u) va x0 (t0 ) = 0 . (7,47)
Bu yerda f0(x,u) funksional (7.46) integralidir. Dastlabki (7.45) tenglamalar tizimiga (7.47) qoʻshib, n+1 tenglamalar sistemasiga ega boʻlamiz.
x&i = fi (x1, x2 ,..., xn ; u1, u2 ,...,un ) , i = 0,1,2,…, n, (7.48)
to'g'ri qismlari x0 ga bog'liq bo'lmagan.
(7.47) ni hisobga olgan holda J funktsional x0 o'zgaruvchining yakuniy qiymati sifatida qaralishi mumkin:
t1
J (x, u) = ò x&0dt =x0 (t1) , (7.49)
t0
va yuqorida tuzilgan masala x0 koordinatasining yakuniy qiymatining ekstremumiga erishish masalasiga keltiriladi.
Maksimal printsipni shakllantirishga o'tishdan oldin, tizim tomonidan aniqlanadigan Y0 (t), Y1 (t),..., Yn (t) yordamchi o'zgaruvchilar tushunchasini kiritamiz.
mening chiziqli bir hil tenglamalarim:
& n ¶f j (x,u)
Yi (t) = - å Yj (t) , i = 0,1,...,n. (7,50)
j =0 ¶xi
(7.48) va (7.50) tenglamalar tizimlarini yordamchi funktsiyani kiritish orqali bir belgida birlashtirish mumkin.
n
H (Y, x,u) = åYi (t) fi (x,u) . (7,51)
i=0
H funktsiyasining Yi va xi ga nisbatan qisman hosilalarini aniqlab, (7.48),
(7.50) va (7.51) biz buni topamiz
dxi = ¶H , i = 0,1,...,n. (7,52)
¶Y
dt
i
dYi = - ¶H , i = 0,1,...,n. (7,53)
dt ¶xi
X(t) va Y(t) vektor funksiyalari uzluksiz va uzluksiz hosilalarga ega va x(t) va Y(t) ning belgilangan qiymatlari uchun H funksiya funksiyaga aylanadi.
130
u faqat sizni boshqaradi. (7.52) va (7.53) ko'rinishdagi tenglamalar kanonik konjugat deb ataladi va nazariy mexanikadan ma'lum bo'lgan kanonik Gamilton tenglamalari bilan shaklga mos keladi. Shu munosabat bilan H funktsiyasi chaqiriladi
Gamilton funksiyasi yoki Gamilton funksiyasi.
Maksimal printsip shuni ko'rsatadiki, tizimning optimalligi uchun, ya'ni. J (7.46) funktsional minimalini olish uchun nolga teng bo'lmagan uzluksiz Y0 (t), Y1 (t),...,Yn (t) funktsiyalarga ega bo'lish kerak, shundayki har qanday t n[t0 ,t1 ] , H funksiyasi u1, u2 ,...,ur o‘zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari oralig‘ida funksiyasi sifatida
maksimal darajaga etadi, ya'ni. H (Y, x,u) = max H, Y0 (t) va max H esa doimiydir
uOU uOU
vaqt ichida va Y0 (t) £ 0, maksimal H = 0.
uOU
Shunday qilib, optimal jarayonni olish uchun istalgan vaqtda t n[t0 ,t1] shunday boshqaruvni tanlash kerakki, H qiymati maksimal bo'ladi.
maksimal va optimal nazorat qilishning butun vaqti davomida max H = 0,
ueU
va Y0 (t) o'zgaruvchisi kattaligi bo'yicha doimiy va ijobiy emas.
Maksimal printsipning o'ziga xos xususiyati shundaki, u(t) ni boshqarishni aniqlashning variatsion muammosi, funktsional J ni minimallashtirish, H (u) yordamchi funktsiyani maksimal darajaga keltiradigan u parametrini aniqlashning matematik tahlili muammosi bilan almashtiriladi. Usulning nomi, maksimal printsipi shu erdan keladi.
7.3.2. Maksimal printsipdan foydalangan holda optimal boshqaruvni hisoblash algoritmi.
1-qadam. Zavod tenglamalari qo'shimcha koordinata uchun (7.47) tenglamani hisobga olgan holda birinchi tartibli differensial tenglamalar tizimi (7.45) sifatida ifodalanadi.
x&i = fi (x, u), i = 0,1,...,n .
2-qadam. H funksiyasi quyidagilardan iborat:
n
H= åYi (t) fi (x, u).
i=0
3-qadam. H funktsiyasini maksimal darajaga keltiradigan u qiymati tenglamalar tizimidan aniqlanadi
¶H = 0, j =1,2,...,r . (7,54)
¶u j
Ba'zi hollarda, bu tenglik nolga teng bo'lmagan Y(t) funktsiyasi uchun qondirilmaydi, keyin ruxsat etilgan nazorat maydoni chegarasida maksimal H ga erishiladi.
131
4-bosqich. Yi (t) ni aniqlash uchun tenglamalar tuziladi:
dYi = - ¶H , i = 0,1,..., n .
dt ¶xi
Masalani yechishda n +1 funksiyalarni topish kerak xi (t) , n +1 funksiya Yi (t) va
r funksiyalari u j (t) , jami 2n + 2 + r noma’lum. Ularni aniqlash uchun mavjud
tenglamalar (7.54), asl sistemaning n +1 tenglamalari va Yi (t) funksiyasi uchun n +1 tenglamalar . Sanab o'tilgan 2n + 2 + r tenglamalarning birgalikdagi yechimidan topiladi
optimal nazorat hisoblanadi.
7.5-misol. Boshqarish ob'ekti x& = 1 (ku - x) tenglama bilan tavsiflanadi.
T
t1
Funktsional J = ò xdt ni minimallashtiruvchi boshqaruv algoritmini aniqlang,
0
agar ob'ektning boshlang'ich va oxirgi holatlari ma'lum bo'lsa va boshqarish harakati u cheklangan bo'lsa, ya'ni u £U max.
1-qadam. Qo'shimcha o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar tizimi shaklga ega
ìx& o = x,
i
í 1 (ku - x).
x& =

î T
2-qadam. H = Y x + Y 1 funksiyasini tuzing (ku - x) .

0 1 T
3-qadam. H ni minimallashtiruvchi u boshqaruvni aniqlang. Buning uchun qisman hosilani nolga tenglashtiramiz.
¶H k
¶u = T Y1(t) = 0 .
Bu shart faqat Y1 (t) = 0 bo'lganda bajariladi. Biroq, maksimal printsipni shakllantirish nolga teng bo'lmagan funktsiyaning mavjudligini talab qiladi Y1 (t) . Bu yerdan
bundan kelib chiqadiki, chegaralarda H ni maksimallashtiradigan u qiymatini olish kerak, ya'ni. u = +U max yoki u = -U max. Ko'rinib turibdiki, Y1 (t) > 0 uchun u = +U max, Y1 (t) < 0 uchun u = -U max ni olish kerak. Bu nazorat qonunini quyidagicha yozish mumkin
quyidagi tarzda:
u* =Umax×SignY1(t) .
132
Belgi belgisi belgini o'zgartirish operatsiyasini anglatadi, ya'ni. o'rni almashtirish
turi
m+1, Y > 0 uchun, S