Elektrostatik maydon. Elektr potensiyal gradiyenti. Puason va Laplas tenglamalari

Elektrostatik maydon. Elektr potensiyal gradiyenti. Puason va Laplas tenglamalari.

Statsionar elektr maydoni vaqt bo‘yicha o‘zgarmaydigan va qo‘zg‘almas elektr zaradlarning maydoni bo‘lib, u elektrostatik maydon deb ataladi.

Elektrostatik maydon – elektromagnit maydonning xususiy ko‘rinishidir. Zaradlangan kondensator elektrodlari orasidagi elektr maydoni elektrostatik maydonga misol bo‘la oladi. Bunda magnit maydoni hosil bo‘lmaydi, deb qabul qilinadi. Aslida esa, modda tarkibidagi elementar zarad (elektron va proton)larning uzluksiz harakati natijasida elektromagnit maydon hosil bo‘ladi. Bu maydondagi magnit maydonining ulushi juda kam bo‘lganligi sababli, u hisobga olinmaydi.
Elektrostatik maydonni o‘rganishda nuqtaviy zarad yoki zaradlarning elektr maydoni bir jinsli va izotrop(barcha yo‘nalishlar bo‘yicha bir xil xossaga ega bo‘lgan) muhitda yuzaga keladi deb hisoblanadi.
Agar q zarad hajmi fazoda taqsimlangan bo‘lsa, u holda zaradning hajmiy zichligi va zarad bilan aniqlanadi.
Agar q zarad S yuzali sirt bo‘ylab taqsimlangan bo‘lsa, u holda zaradning sirt bo‘yicha zichligi va zarad bilan aniqlanadi.
Agar zarad l uzunlikdagi liniya bo‘ylab taqsimlangan bo‘lsa, u holda zaradning liniya bo‘ylab zichligi va zarad bilan aniqlanadi.
Bizga fizika kursidan ma’lumki, agar zaradlangan jism o‘lchamlari u joylashgan joydan maydon o‘rganilayotgan nuqtagacha bo‘lgan masofadan juda kichik bo‘lsa, u holda bunday jism zaradi nuqtaviy zarad deb ataladi. Tabiiyki, nuqtaviy zarad zichligi cheksiz katta bo‘ladi.
Elektrostatik maydonni o‘rganishda Kulon qonunini bilish muhim ahamiyatga ega. Unga ko‘ra «Vakuumdagi ikkita nuqtaviy q₁ va q₂ zaradlar bir-biri bilan shu zaradlarning ko‘paytmasiga to‘g‘ri

8.1 – rasm

proporsional va ular orasidagi masofaning kvadratiga teskari proporsional bo‘lgan kuch bilan o‘zaro ta’sir qiladi» (8.1 – rasm):

bu yerda - zaradlar, R – ular orasidagi masofa, - elektr doimiysi, с – yorug‘lik tezligi.
Shuni esda tutish lozimki, Kulon qonuni faqat nuqtaviy zaradlar uchun o‘rinli. Zaradlar nuqtaviy bo‘lmaganda zaradlangan jismlar shakli o‘zaro ta’sir kuchi kattaligini o‘zgarishiga olib keladi.
Agar zaradlangan zarrachalar vakuumda emas, balki bir jinsli, izotrop va elektr tokini o‘tkazmaydigan muhitda joylashgan bo‘lsa, u holda ular o‘rtasidagi o‘zaro ta’sir kuchi vakuumdagiga nisbatan  marta kichik bo‘ladi, ya’ni:

bu yerda  - zaradlangan zarrachalar joylashgan muhitning nisbiy dielektrik singdiruvchanligi.
Kulon kuchining yo‘nalishi q₁ va q₂ zaradlarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yo‘nalgan bo‘lib, zaradlar ishorasi bir xil bo‘lganda ular bir-biridan itariladi, aks holda esa – tortiladi.
O‘zaro ta’sir kuchi vektor ko‘rinishda quyidagicha yoziladi:

bu yerda zarad joylashgan nuqtadan zarad joylashgan nuqtaga yo‘nalgan birlik vektor.
Elektr maydoni, shu jumladan elektrostatik maydon ham maydon kuchlanganligi bilan tavsiflanadi. U zaradga maydon tomonidan ta’sir etayotgan kuchning shu zarad miqdoriga nisbati bilan aniqlanadi:



Nuqtaviy zarad elektr maydoni kuchlanganligining ifodasini Kulon qonuni yordamida quyidagicha yozish mumkin:

Maydon kuchlanganligi – vektor kattalik va maydonning kuch xarakteristikasidir.
Elektrostatik maydon kuchlanganligi vektor ko‘rinishida quyidagicha aniqlanadi:

Shuning uchun ham elektrostatik maydon kuchlanganlik vektorining maydoni sifatida qaralishi mumkin.
Agar elektr maydoni bir nechta zaradlar hisobiga hosil qilinsa, u holda natijaviy kuchlanganlik har bir zarad maydoni kuchlanganlik vektorining yig‘indisiga teng (8.2 – rasm), ya’ni:


(8.1)

8.2 – rasm
Agar fazoda zaradlarning taqsimlanishi ma’lum bo‘lsa, u holda (8.1) formula yordamida maydon kuchlanganligini qaralayotgan nuqtada aniqlash mumkin bo‘ladi. (8.1) tenglama elektrostatik maydonni hisoblashda ustma-ustlash prinsipini qo‘llash mumkinligini bildiradi.
Elektrostatik maydon xossalarini to‘liq aniqlash uchun uning har bir nuqtasi uchun kuchlanganlik vektori kattaligini topish (hisoblash) kerak bo‘ladi.
Agar elektr maydoniga q nuqtaviy zarad kiritilsa, u holda maydon tomonidan zaradga kuch ta’sir qilishi natijasida zarad maydon bo‘ylab siljiydi. Bunda bajarilgan ish (8.3 – rasm):

8.3 – rasm

Elektrostatik maydon quyidagi xossaga ega: «Berk kontur bo‘ylab maydon bajargan ish nolga teng». Elektrostatik maydon uchun quyidagi munosabatlarni isbotsiz keltiramiz:

Stoks teoremasiga ko‘ra:

, ya’ni maydon kuchlanganligi vektorining sirkulatsiyasi nolga teng bo‘lganligi sabali (8.2)
Rotor – maydonning ko‘rilayotgan nuqtasida uyurma hosil bo‘lish qobiliyatini tavsiflaydigan funksiyadir.
(8.2) munosabat elektrostatik maydonning uyurmasiz maydon ekanligini ifodalaydi.
Maydon nazariyasida skalyar funksiyaning gradiyenti deb, eng katta o‘sish yo‘nalishi bo‘yicha olingan shu funksiyaning tezligiga aytiladi. (8.2) munosabat o‘rinli bo‘lgan maydon uchun shunday skalyar funksiyani topish mumkinki,