Elеmеntar hоdisalar fazоsi

Elеmеntar hоdisalar fazоsi. Elementar hodisalar fazosi, ehtimollik va statistika sohasida muhim bir konseptdir. Hodisalar fazosi, bir hodisaning har bir imkoniyatning o'rnatilgan ehtimollik bo'lgan to'plamida yuzaga kelishining o'zini ifodalaydi. Elementar hodisalar, odatda o'zaro to'xtashmaydigan va qo'shimcha shartlarni bajarish bilan aniqlanadigan hodisalardir. Bunday hodisalar odatda "A" va "B" kabi o'zaro bog'liq bo'lgan iki hodisa haqida gaplashishimizda foydalaniladi. Elementar hodisalar fazosini ifodalash uchun quyidagi formuladan foydalaniladi: P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) Bu formulda P(A) "A" hodisasining ehtimollik qiymati, P(B) "B" hodisasining ehtimollik qiymati va P(B|A) "A" hodisasiga qarab "B" hodisasining shartlangan ehtimollik qiymati bo'lgan. Hodisalar fazosini hisoblashga odatda Bayes formuladan foydalaniladi: P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B) Bu formulda P(A|B) "B" hodisasining berilgan shartida "A" hodisasining ehtimollik qiymati, P(B|A) "A" hodisasiga qarab "B" hodisasining shartlangan ehtimollik qiymati, P(A) "A" hodisasining o'zining ehtimollik qiymati va P(B) "B" hodisasining ehtimollik qiymati bo'lgan.	Tasоdifiy hodisalar va ehtimоlning turli ta`riflari. Tasodifiy hodisalar va ehtimollikning turli ta'riflari quyidagicha bo'lishi mumkin: 1. Tasodifiy Hodisalar (Random Events): - Tasodifiy hodisalar, natijalari boshqa faktorlardan bog'liq bo'lmagan va qayta takrorlanadigan hodisalardir. - Har bir imkoniyatning o'zini boshqa imkoniyatlar bilan teng ehtimollikka ega bo'lishi kerak. 2. Ehtimollik (Probability): - Ehtimollik, bir hodisaning yuzaga kelishining ehtimollik qiymatini ifodalaydi. - Ehtimollik sonlar yoki ularga nisbatan ko'p yoki kamlik bilan ifodalayiladi (masalan, 0, 0.25, 0.5, 1). - Ehtimollik qiymatlari 0 va 1 o'rtasida bo'lishi kerak va umumiy ehtimollik barcha imkoniyatlar yig'indisiga teng bo'lishi lozim. 3. Kuchli ehtimollik (Strong Probability): - Kuchli ehtimollik, bir hodisaning yuzaga kelishining ko'p ehtimol bo'lishi aniq bo'lgan hodisalardir. - Masalan, kuchli ehtimollik 0.9, 0.95 yoki 0.99 ga yaqin qiymatlardir. 4. Noqulay ehtimollik (Unlikely Probability): - Noqulay ehtimollik, bir hodisaning yuzaga kelishining kam ehtimol bo'lishi aniq bo'lgan hodisalardir. - Masalan, noqulay ehtimollik 0.1, 0.05 yoki 0.01 ga yaqin qiymatlardir. 5. Mos ehtimollik (Equally Likely Probability): - Mos ehtimollik, bir nechta muxim ehtimolliklarning bir xil qiymatga ega bo'lishi aniq bo'lgan hodisalardir. - Masalan, ikki imkoniyatning har biri 0.5 ga teng ehtimollikka ega bo'lsa, ular mos ehtimollikka ega hodisalar hisoblanadi. Bu ta'riflar tasodifiy hodisalar va ehtimollikning umumiy tushunchalarini ta'minlayadi.
Ehtimоllarni qo`shish va ko`paytirish teoremalari. Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari ehtimollik va statistika sohasida muhim formulalardir. Ularning o'rnini quyidagicha ta'riflashim mumkin: 1. Ehtimollarni qo'shish teoremasi (Addition Rule of Probability): Ehtimollarni qo'shish teoremasi, biror iqtisodiy yoki hodisaviy amalning ixtiyoriy bo'lishining ehtimollik qiymatini hisoblashda ishlatiladi. Agar A va B tasodifiy hodisalar bo'lsin, unda A yoki B hodisasining yuzaga kelish ehtimollik qiymati quyidagicha hisoblanadi: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Bu formulda P(A ∪ B) A yoki B hodisasining yuzaga kelishining ehtimollik qiymati, P(A) A hodisasining ehtimollik qiymati, P(B) B hodisasining ehtimollik qiymati va P(A ∩ B) A va B hodisalarining birgalikda yuzaga kelishining ehtimollik qiymati bo'lgan. 2. Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi (Multiplication Rule of Probability): Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi, biror amalning ikki yoki undan ko'p bosqichdagi iqtisodiy yoki hodisaviy bo'lishining ehtimollik qiymatini hisoblashda foydalaniladi. Agar A va B tasodifiy hodisalar bo'lsin, unda A va B hodisalarining birgalikda yuzaga kelishining ehtimollik qiymati quyidagicha hisoblanadi: P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) Bu formulda P(A ∩ B) A va B hodisalarining birgalikda yuzaga kelishining ehtimollik qiymati, P(A) A hodisasining ehtimollik qiymati va P(B|A) A hodisasiga qarab B hodisasining shartlangan ehtimollik qiymati bo'lgan. Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari, ehtimolliklarni amaliyotda hisoblashda va hodisaviy masalalarni yechishda keng qo'llaniladigan formulalardir. 5. To’la ehtimоllik. Bеyеs fоrmulalari. To'la ehtimollik (Conditional Probability), bir hodisaning boshqa bir hodisa shartida yuzaga kelishining ehtimollik qiymatini ifodalayadi. Bu, bir hodisaning berilgan shart ostida yuzaga kelishining ehtimollik qiymatini hisoblash uchun ishlatiladi. Agar A va B tasodifiy hodisalar bo'lsin, P(A|B) A hodisasining B hodisasida yuzaga kelishining shartlangan ehtimollik qiymatini ifodalayadi. Bu formul quyidagicha ifodalayiladi: P(A|B) = (P(A ∩ B)) / P(B) Bu formulda P(A|B) A hodisasining B hodisasida yuzaga kelishining shartlangan ehtimollik qiymati, P(A ∩ B) A va B hodisalarining birgalikda yuzaga kelishining ehtimollik qiymati va P(B) B hodisasining ehtimollik qiymati bo'lgan. Beyes formulalari (Bayes' Formulas), ehtimollik va statistika analizlarida foydalaniladigan bir qator formulalardir. Eng mashhur Beyes formulalari quyidagilardir: 1. Birlamchi Beyes formulasi (Bayes' Theorem): P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B) Bu formulda P(A|B) B hodisasining shart ostida A hodisasining ehtimollik qiymati, P(B|A) A hodisasida B hodisasining shartlangan ehtimollik qiymati, P(A) A hodisasining o'zining ehtimollik qiymati va P(B) B hodisasining ehtimollik qiymati bo'lgan. 2. Umumiy Beyes formulasi: P(Hi|E) = (P(E|Hi) * P(Hi)) / Σ(P(E|Hi) * P(Hi)) Bu formulda P(Hi|E) E hodisasida i-ta Hi hodisasining ehtimollik qiymati, P(E|Hi) Hi hodisasida E hodisasining shartlangan ehtimollik qiymati, P(Hi) Hi hodisasining o'zining ehtimollik qiymati va Σ(P(E|Hi) * P(Hi)) barcha i larni hisoblashda E hodisasining ehtimollik qiymatining umumiy yig'indisi bo'lgan. Beyes formulalari, shart ostida yuzaga kelishning ehtimollik qiymatini aniqlash va ehtimolliklarni yangilash uchun qo'llaniladi. Bu formulalar, statistika, istiqbolli va ma'lumotni qayta ishlash, tadbirlar qo'ng'iroqlarini qanoatlantirish va boshqa amaliyotlar sohasida keng qo'llaniladi.	Shartli ehtimоllik. Hоdisalarning bog`liqsizligi. Shartli ehtimollik, bir hodisaning boshqa bir hodisa shartida yuzaga kelishining ehtimollik qiymatini ifodalayadi. Bu, bir hodisaning belgilangan shartning bo'lishi bilan bog'liq ehtimollikni ifodalayadi. Agar A va B tasodifiy hodisalar bo'lsin, P(A|B) A hodisasining B hodisasiga shartlangan ehtimollik qiymatini ifodalayadi. Bunda B hodisasi e'lon qilingan va A hodisasining B hodisasi ostida yuzaga kelishining ehtimollik qiymati hisoblanadi. Hodisalar bog'liqsizligi, o'zaro to'xtashmaydigan va boshqa faktorlardan bog'liq bo'lmagan hodisalar to'plami uchun ishlatiladi. Agar bir nechta hodisalar o'zaro to'xtashmaydigan bo'lsa, ularga "bog'liqsiz" deyiladi. Bu tushuncha, tasodifiy hodisalar va ulardan tashkil topgan hodisalar to'plamiga bog'liqdir. Agar bir hodisa boshqa hodisalar bilan bog'liq bo'lsa, ular "bog'liq" yoki "o'zaro bog'liq" deyiladi. Hodisalar bog'liqsizligi, ehtimollik va statistika analizlarida muhim bir prinsipdir. Uning bilanish bilan, o'zaro bog'liq hodisalar bo'yicha aniqlamalar va tahminlar chiqarish mumkin. 6. Bеrnulli sxemasi. Bernulli sxemasi, ehtimollik va statistika sohasida muhim bir konseptdir. Bu sxema bitta eksperimentning asosiy xususiyatlarini ifodalayadi va boshqa turlar bilan solishtiriladi. Bernulli sxemasi quyidagi xususiyatlarga ega: 1. Bitta eksperiment: Bernulli sxemasi bitta eksperimentni ifodalayadi, ya'ni bir marta amalga oshiriladigan har bir imkoniyat. 2. Ikki yokiqtizasiz natija: Bernulli sxemasi ikki yokiqtizasiz natijani ifodalayadi - muvaffaqiyat (masalan, "sodda") yoki muvaffaqiyatsizlik (masalan, "nayid") natijalarini. 3. O'zgaruvchan ehtimollik: Bernulli sxemasi ichidagi muvaffaqiyat va muvaffaqiyatsizlik ehtimollik qiymatlari boshqa imkoniyatlardan mustaqil ekanligi uchun o'zgaruvchan ehtimollik bilan bir xil bo'lishi lozim. Bernulli sxemasining misollaridan biri shart ostida siklga o'tkaziladigan o'yin hisoblanishi mumkin. Misol uchun, moneta orqali "yulduz" yoki "chirpinish" natijasini topishga harakat qilamiz. Har bir marta moneta ni tekshirish bitta eksperimentni ifodalayadi. "Yulduz" va "chirpinish" natijalari ikki yokiqtizasiz natijalar bo'lib, ularning ehtimollik qiymatlari p va (1-p) bo'lishi mumkin, aytgancha. Bernulli sxemasi, shart ostida ko'paytirilgan o'yinlar, marketing analizlari, risk va moliyaviy hisob-kitoblarda keng qo'llaniladi. U ehtimollikni to'g'ridan-to'g'ri o'zgartirish va boshqa sxemalarni tuzish uchun asosiy model sifatida xizmat qiladi.
7. Muavr-Laplasning lоkal va intеgral formulalari. Muavr-Laplasning lokal va integral formulalari, Muavr-Laplasning normal (gaussian) yiqilishning ehtimollik funksiyasini ifodalayuvchi formulalardir. Bu formulalar ehtimollik va statistika analizlarida keng qo'llaniladi. 1. Muavr-Laplasning lokal formulasi: Bu formula bir muammoga oid ehtimollikni ifodalaydi. Agar X normal (gaussian) o'zgaruvchisi bo'lsa, uning Muavr-Laplasning lokal formulasi quyidagicha ifodalayiladi: f(x) = (1 / sqrt(2πσ²)) * exp(-((x - μ)² / (2σ²))) Bu formulda f(x) X o'zgaruvchining ehtimollik funksiyasi, μ o'rtacha qiymat, σ² o'zgaruvchining dispersiyasi, π esa Pi (3.14159...) ni ifodalayadi. 2. Muavr-Laplasning integral formulasi: Bu formula normal (gaussian) ehtimollik funksiyasining muvofiqlashtirilgan integralini ifodalaydi. Agar X normal (gaussian) o'zgaruvchisi bo'lsa, uning Muavr-Laplasning integral formulasi quyidagicha ifodalayiladi: P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] (1 / sqrt(2πσ²)) * exp(-((x - μ)² / (2σ²))) dx Bu formulda P(a ≤ X ≤ b) X o'zgaruvchisinin a va b orasida yotishi ehtimollik qiymati, μ o'rtacha qiymat, σ² o'zgaruvchining dispersiyasi, π esa Pi (3.14159...) ni ifodalayadi, ∫[a, b] esa a va b oralig'ida integral hisoblashni ifodalaydi. Muavr-Laplasning lokal va integral formulalari normal (gaussian) ehtimollikni ifodalashda keng qo'llaniladi. Bu formulalar statistik analizlarda, hipotez sinovlarida, interval tahlillarida, risk va moliyaviy hisob-kitoblarda va boshqa amaliyotlarda ehtimolliklarni hisoblashda va qiymatlariga ko'ra hisoblashda foydalaniladi. 9. Tasоdifiy miqdоrlar. Taqsimоt qоnuni. Tasodifiy miqdorlar, bitta o'zgaruvchining aniqlanmagan va tasodifiy qiymatlarini ifodalayuvchi statistik kavramdir. Bu miqdorlar, qonuni taqsimotning birining o'zgaruvchanlarini ifodalayadi va ma'lum bir qiymatni olish uchun o'zgaruvchanlarga bog'liq bo'lishi mumkin. Tasodifiy miqdorlar, bitta o'zgaruvchining qiymatlari ko'p sonli bo'lgan holatlarda foydalaniladi. Bu qiymatlar qator (n) elementdan iborat bo'lishi mumkin. Tasodifiy miqdorlar shakllanishi uchun tashkilotlarda, tahlil va tadqiqotlarda, o'quv sohasida va boshqa statistik analizlar uchun ma'lumiyatni to'plashda foydalaniladi. Taqsimot qonuni (Normal Distribution), statistikada katta ahamiyatga ega bo'lgan qonundir. Uning shakli bellidir va quyidagi xususiyatlarga ega: 1. Simmetriya: Taqsimot qonuni, muqobil tomondagi simmetriyasiga ega bo'lgan shaklda chiziladi. O'rtacha qiymat o'rnida simmetriklik mavjud bo'ladi. 2. O'rtacha qiymat: Taqsimot qonuni o'rtacha qiymati (mean) μ bilan aniqlanadi. Uning o'rtacha qiymati alohida bir belg'ilangan nuqtadan o'tkazilgan bo'lishi mumkin. 3. Dispersion: Taqsimot qonuni dispersioni (variance) σ² bilan ifodalangan. Dispersion qonuni o'zgaruvchanlarining qiymatlarning qanchalik kengayishini ifodalaydi. 4. Zonalar va probabilistikliklar: Taqsimot qonuni orqali zonalarni (interval) belgilash mumkin. Masalan, 68-95-99.7 qonuni, bir, ikki va uch sigmalar oralig'idagi zonalarni ifodalaydi. Taqsimot qonuni, statistik analizlar, model qurish, inferensiyal statistika, istiqbolli hisob-kitob, risk va moliyaviy hisob-kitob, sifatli baho berish va boshqa ko'plab sohalarda intensiv tarzda foydalaniladi. U ehtimolliklarni hisoblashda va normalga yaqinlikning aniqlanishida keng qo'llaniladi.	8. Puassоn teoremasi. Puasson teoremasi, nadir hodisalar to'plamining yaqinlayuvchi ehtimollik funksiyasini ifodalayuvchi bir teorema hisoblanadi. U, yuqori sonli va katta ehtimollik bilan sodda hodisalar to'plamining Puasson o'zgaruvchisi bilan taqdim etilishi bilan bog'liq bo'lgan. Puasson teoremasi quyidagi xususiyatlarga ega: 1. Nadir hodisalar to'plami: Hodisalarning yuqori soni katta bo'lishi kerak, ya'ni har bir hodisa yuzaga kelishi ehtimollik qiymati juda kichik bo'lishi kerak. 2. Ba'zilar o'zaro bog'liqli emaslik: Hodisalar o'zaro bog'liq bo'lmagan, ya'ni bitta hodisa yuzaga kelishi boshqasi yuzaga kelishini ta'sir etmaydi. 3. O'zgaruvchan ehtimollik: Hodisalar yuzaga kelishi ehtimollik qiymatining x kuchiyani bilan sodda binodalikning to'plamiga nisbatan juda kichik bo'lishi kerak. Puasson teoremasiga ko'ra, agar λ hodisalarni to'plamining oraliq soni bo'lsa, bu to'plamning ehtimollik funksiyasi muqobil Puasson o'zgaruvchisi bilan sodda hodisalar yiqilishini yaqinlayadi. U quyidagicha ifodalayiladi: P(X = k) ≈ (e^(-λ) * λ^k) / k! Bu formulda P(X = k) k hodisalar sonining yuzaga kelishining ehtimollik qiymati, e e konstanta (2.71828...), λ oraliq hodisalar soni, k hodisalar soni va k! faktorialni ifodalayadi. Puasson teoremasi, nadir hodisalar to'plamlari uchun qisqa va ishonchli ta'riflar beradi. U statistika, sanoat, marketing, hisob-kitob va boshqa sohalarda nadir hodisalar yuzaga kelishining ehtimolliklarini hisoblash va taxmin qilishda foydalaniladi. 10. Taqsimоt funksiyasi va uning хоssalari. Taqsimot funksiyasi, statistikada keng qo'llaniladigan bir matematik funksiya bo'lib, normal (gaussian) taqsimotning va boshqa taqsimotlarining ehtimollikni ifodalash uchun ishlatiladi. Taqsimot funksiyasi, xususiyatlari bilan taninadi. Normal (gaussian) taqsimot uchun Taqsimot funksiyasi (Probability Density Function, PDF) quyidagicha ifodalayiladi: f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-((x - μ)² / (2σ²))) Bu formulda f(x) taqsimot funksiyasi, x esa muayyan bir qiymat, μ o'rtacha qiymat (mean), σ² o'zgaruvchanlarning dispersiyasi (variance), π esa Pi (3.14159...) ni ifodalayadi. Taqsimot funksiyasining xususiyatlari: 1. Simmetriya: Taqsimot funksiyasi, normal taqsimotda muqobil tomondagi simmetriyasiga ega bo'lgan shaklda chiziladi. 2. Integrlash: Taqsimot funksiyasi, ehtimollikni ifodalash uchun normalizatsiya qilinadi, ya'ni PDF ning yuzasi 1 ga teng bo'ladi. Bunda funksiya ostida integral hisoblanadi. 3. Qiymatlar: Taqsimot funksiyasi, negativsiz qiymatlarni qabul qiladi. Qo'shimcha shartlar ostida qiymatlari normallashtirilishi mumkin. 4. Ehtimollik: Taqsimot funksiyasining qiymatlari, ma'lum bir qiymatning yotishi ehtimollikni ifodalayadi. PDF ning qiymatlari taqsimotning grafikini hosil qiladi. Taqsimot funksiyasi statistika, ehtimollik analizi, hipotez sinovlari, inferensiyal statistika, masofaviy ta'riflar, integral ta'riflar, risk va moliyaviy hisob-kitob va boshqa ko'plab sohalarda keng qo'llaniladi. U ehtimolliklarni hisoblash, normalga yaqinlikni aniqlash, tahlil va model qurishda foydalaniladi.
11. Diskrеt tasоdifiy miqdоr tushunchasi. Diskret tasodifiy miqdor, statistikada foydalaniladigan bir tushunchadir. U tasodifiy qiymatlardan iborat bo'lgan va o'zgaruvchanlarining faqat aylanuvchi qiymatlardan iborat bo'lgan miqdorlarni ifodalaydi. Diskret tasodifiy miqdorlar, qator (n) elementdan iborat bo'lishi mumkin, va har bir element uchun faqat bitta qiymat mavjud bo'ladi. Ular butun sonlar, hisobotlar, raqamlar, toifalar, kategoriyalar, tartiblanmagan ro'yhatlar va boshqalar bo'lishi mumkin. Diskret tasodifiy miqdorlar quyidagi xususiyatlarga ega: 1. Tugalliklar: Diskret tasodifiy miqdorlar biror biror qiymatlar bilan chegaralangan va hech qaysi qiymatlar orasida o'zgarishlari yo'q. 2. Qimmatli interval: Diskret tasodifiy miqdorlar orasida o'zgarishlar qimmatli intervalga kiritilmaydi, ya'ni miqdorlar qadamli o'zgarishlar ko'rsatadi. 3. Raqamli qiymatlar: Diskret tasodifiy miqdorlar raqamlar yoki butun sonlar sifatida ifodalangan. Misol uchun, 1, 2, 3, 4, ... kabi. Diskret tasodifiy miqdorlar, statistik analiz, hisobotlar tuzish, baho berish, kategoriya hisob-kitobi, hisob-kitob, kompyuterli hisob-kitob, model qurish, o'quv sohasi va boshqa sohalarda keng qo'llaniladi. Ular haqida ma'lumotlar to'plamining sanashda va ma'lumiyatlarni ifodalashda foydalaniladi. 13. Uzluksiz tasоdifiy miqdоrlar. Uzluksiz tasodifiy miqdorlar, bir o'zgaruvchining qiymatlari to'plamining uzluksiz tartibda bo'lgan va har bir qiymatning o'zgaruvchanlardan ajratilmasi mumkin bo'lgan miqdorlarni ifodalayadi. Uzluksiz tasodifiy miqdorlar kontinental tasodifiy miqdorlar yoki o'zgaruvchanlar bilan ifodalangan. Uzluksiz tasodifiy miqdorlar quyidagi xususiyatlarga ega: 1. Tartib: Uzluksiz tasodifiy miqdorlar tartiblanib, bir nechta qiymatlarni o'z ichiga oladi. Tartib bilan berilgan qiymatlar orasida qadamli o'zgarishlar mavjud bo'ladi. 2. Qimmatlar oraliği: Uzluksiz tasodifiy miqdorlar orasida har bir qiymatning qiymatlar oraliği belgilanadi. Misol uchun, uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun tartiblanayotgan 0 dan 1 gacha bo'lgan tartib. 3. Ayiruvchi nuqtalar: Uzluksiz tasodifiy miqdorlar o'zgaruvchanlarni ajratuvchi nuqtalar bilan ifodalangan. Ular orqali qiymatlar bo'lishi mumkin, va qiymatlar o'rtasidagi masofalar niqobli hisoblanishi mumkin. Uzluksiz tasodifiy miqdorlar, statistik analiz, integral ta'riflar, differensial ta'riflar, model qurish, tahlil, fizika, matematika, moliyaviy hisob-kitob va boshqa sohalarda intensiv tarzda foydalaniladi. Ular haqida ma'lumotlar to'plamining sanashda va ma'lumiyatlarni ifodalashda foydalaniladi.	12. Taqsimоt qоnuni. Taqsimоt funksiyasi tushunchasi. Taqsimot qonuni (Normal Distribution) bir statistik taqsimot turidir, deb ham nomlanadi. U statistika va ehtimollikning katta ahamiyatga ega bo'lgan qonunlaridan biridir. Taqsimot qonuni, bellidir va quyidagi xususiyatlarga ega: 1. Simmetriya: Taqsimot qonuni, muqobil tomondagi simmetriyasiga ega bo'lgan shaklda chiziladi. O'rtacha qiymat o'rnida simmetriklik mavjud bo'ladi. 2. O'rtacha qiymat: Taqsimot qonuni o'rtacha qiymati (mean) μ bilan aniqlanadi. Uning o'rtacha qiymati alohida bir belg'ilangan nuqtadan o'tkazilgan bo'lishi mumkin. 3. Dispersion: Taqsimot qonuni dispersioni (variance) σ² bilan ifodalangan. Dispersion qonuni o'zgaruvchanlarining qiymatlarning qanchalik kengayishini ifodalaydi. 4. Zonalar va probabilistikliklar: Taqsimot qonuni orqali zonalarni (interval) belgilash mumkin. Masalan, 68-95-99.7 qonuni, bir, ikki va uch sigmalar oralig'idagi zonalarni ifodalayadi. Taqsimot funksiyasi (Probability Density Function, PDF), taqsimot qonunini ifodalayuvchi matematik funksiyadir. Bu funksiya normal taqsimotning ehtimollikni ifodalash uchun ishlatiladi. Taqsimot funksiyasi, bir qiymatning yotishi ehtimollik qiymatini ifodalayadi. Taqsimot funksiyasi normal taqsimot uchun quyidagicha ifodalayiladi: f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-((x - μ)² / (2σ²))) Bu formulda f(x) taqsimot funksiyasi, x esa muayyan bir qiymat, μ o'rtacha qiymat (mean), σ² o'zgaruvchanlarning dispersiyasi (variance), π esa Pi (3.14159...) ni ifodalayadi. Taqsimot qonuni va taqsimot funksiyasi statistika, ehtimollik analizi, hipotez sinovlari, inferensiyal statistika, masofaviy ta'riflar, integral ta'riflar, risk va moliyaviy hisob-kitob, sifatli baho berish va boshqa ko'plab sohalarda intensiv tarzda foydalaniladi. U ehtimolliklarni hisoblash, normalga yaqinlikni aniqlash, tahlil va model qurishda foydalaniladi. 14. Taqsimotning zichlik funksiyasi va uning xossalari. Taqsimotning zichlik funksiyasi, normal taqsimotning ehtimollikni ifodalashda ishlatiladigan bir matematik funksiya bo'lib, Normal Distribution Function yoki Probability Density Function (PDF) deb ham nomlanadi. Bu funksiya normal taqsimotning grafikini hosil qiladi va yotishning ehtimollikni ifodalayadi. Taqsimotning zichlik funksiyasi (PDF) normal taqsimot uchun quyidagicha ifodalayiladi: f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-((x - μ)² / (2σ²))) Bu formulda f(x) taqsimotning zichlik funksiyasi, x esa muayyan bir qiymatni ifodalayadi, μ o'rtacha qiymat (mean), σ² o'zgaruvchanlarning dispersiyasi (variance), π esa Pi (3.14159...) ni ifodalayadi. Taqsimotning zichlik funksiyasining xususiyatlari: 1. Qiymatlar: Taqsimotning zichlik funksiyasi, normal taqsimotning qiymatlari bo'lgan qiymatlar orasida mavjud bo'ladi. Uning qiymatlari taqsimotning grafikini hosil qiladi va ehtimollikni ifodalayadi. 2. Simmetriya: Taqsimotning zichlik funksiyasi, muqobil tomondagi simmetriyasiga ega bo'lgan shaklda chiziladi. Bu simmetriya o'rtacha qiymatda (μ) ifodalangan. 3. Maxsusliklar: Taqsimotning zichlik funksiyasi, maxsusliklarga ega bo'lishi mumkin, masalan, uzunlik, yuqori nuqtalar, kismlar, zona oraliqlari va boshqalar. 4. Integral hisoblash: Taqsimotning zichlik funksiyasi ostida integral hisoblanishi mumkin. Bu integral orqali ehtimollik, zonalarning yuzasi va boshqalar hisoblanishi mumkin. Taqsimotning zichlik funksiyasi, ehtimollik analizi, hipotez sinovlari, inferensiyal statistika, masofaviy ta'riflar, integral ta'riflar, risk va moliyaviy hisob-kitob va boshqa ko'plab sohalarda keng qo'llaniladi. U ehtimolliklarni hisoblash, normalga yaqinlikni aniqlash, tahlil va model qurishda foydalaniladi.
15. Tasоdifiy miqdоrlarning sоnli хaraktеristikalari. matеmatik kutilish, Dispеrsiya va o`rtacha kvadratik chetlanish tushunchalari. Tasodifiy miqdorlarning sоnli хaraktеristikalari, miqdorlar to'plamining tarkibdagi qiymatlarning statistikiy xususiyatlarini ifodalayadi. Bu хaraktеristikalarning bа'zi tushunchalari mаtemаtik kutilish, dispеrsiyа vа o'rtаchа kvаdrаtik chetlanishdir. 1. Mаtemаtik kutilish (Mean): Mаtemаtik kutilish (yoki o'rtаchа qiymаt) bеrilmish bir sоnli miqdоr to'plаmning hаr bir еlеmеntining qiymаtlаrining yig'indisi bo'lib, miqdorlаrning o'rtаchа vаrdiyаsini ifоdаlаydi. Mаtemаtik kutilish μ (mu) bilan ifodаlаnаdi. Mаtemаtik kutilish quyidagi formulа bilan hisоblаnаdi: μ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n Bu yerda x₁, x₂, ..., xₙ miqdorlarning bеrilmish qiymatlаri, n esa miqdоrlаr tо'plаmidаgi еlеmеntlаrning sоnli sаyi. Mаtemаtik kutilish miqdorlar to'plamidagi qiymatlarining o'rta qiymatini ifodalayadi. 2. Dispеrsiyа (Vаriаncе): Dispеrsiyа, miqdоrlаrning kеngаyishi vа tо'plаmning o'rtаchа qiymаtидан qanchа fеrqlаnidigini аniqlаyuvchi хаrаktеristikаdır. Dispеrsiyа σ² (sigma kvadrati) bilan ifodalanadi. Dispеrsiyа quyidagi formulа bilan hisoblanadi: σ² = ((x₁ - μ)² + (x₂ - μ)² + ... + (xₙ - μ)²) / n Bu formulda x₁, x₂, ..., xₙ miqdorlаrning bеrilmish qiymatlаri, μ esa miqdоrlаr tо'plаmidаgi mаtemаtik kutilish. Dispеrsiyа miqdоrlаrning o'rindаgi kеngаyishlаrning kvаdrаtlik o'rtаmasini ifodalayadi. 3. O'rtacha kvadratik chеtlаnish (Standard Dеviаtiоn): O'rtacha kvadratik chеtlаnish, miqdоrlаrning mа'no еtаrлиk кitobigа nisbаtаn qаndаy fеrqlаnidigini аniqlаyuvchi bir хаrаktеristikаdır. O'rtacha kvadratik chеtlаnish σ (sigma) bilan ifodalanadi. O'rtacha kvadratik chеtlаnishni hisоblаsh uchun miqdоrlаrning dispеrsiyаsining ildizini olamiz: σ = √(σ²) Bu formulda σ², dispеrsiyаning qiymati. O'rtacha kvadratik chеtlаnish, dispеrsiyаning kvаdrаtlik ildizidir va miqdоrlаr tо'plаmidаgi qiymatlargа qаndаy kаtа'iy аltаvоlо оrtаlashlар kо'раyаdi. Mаtemаtik kutilish, dispеrsiyа vа o'rtаchа kvаdrаtik chеtlаnish tasodifiy miqdоrlаrning statistikiyаtа аniqlаyuvchi muhim хаrаktеristikаlаrdir. Uzluk siz оzgаrуuvchilаr bilan amаlga oshiriladigan tahlil, hisоblаsh vа mоdеllаsh uchun kеyinchа rаҳаt qilib ishlashga imkon bеrishini tаminlаydi.	16. Ularning ma’nolari va xossalari. Tasodifiy miqdorlarning ma'nolari va xossalari quyidagicha ifodalanadi: 1. Matematik kutilish (Mean): Mаtemаtik kutilish bir miqdor to'plamining o'rtacha qiymatini ifodalayadi. U miqdorlarning umumiy qiymatlarining yig'indisi bo'lib hisoblanadi. Xossalari: - Matematik kutilish miqdorlar to'plamidagi qiymatlarning o'rtacha qiymatini ifodalayadi. - O'rtacha qiymatning ma'nosini beradi. 2. Dispеrsiyа (Variance): Dispеrsiyа tasodifiy miqdorlarning qanday kengayishi bilan qancha farq qilishini ifodalaydi. Bu, miqdorlarning qanday kengayishi bilan miqdorlar to'plamining o'rtacha qiymatidan qanday uzoqlashganligini ko'rsatadi. Xossalari: - Dispеrsiyа miqdorlarning o'rtacha qiymatidan qanday uzoqlashganligini aks ettiradi. - Miqdorlarning kengayish darajasi haqida ma'lumot beradi. 3. O'rtacha kvadratik chetlanish (Standard Deviation): O'rtacha kvadratik chetlanish, tasodifiy miqdorlarning o'rtacha qiymatga qarab qanday osonlikda kengayishligini ifodalaydi. Bu miqdorlarning o'rtacha qiymatdan qanday masofada joylashganligini aks ettiradi. Xossalari: - O'rtacha kvadratik chetlanish miqdorlarning o'rtacha qiymatga qarab kengayishini ifodalaydi. - Miqdorlarning qanday jixatda tarqalishini ko'rsatadi. Tasodifiy miqdorlarning ma'nolari va xossalari, miqdorlarni tahlil etish, taqsimotlarda ishlash, statistik analizlar, modellash, risk hisob-kitobi va boshqa ko'plab sohalarda foydalaniladi. Ular miqdorlarning umumiy xususiyatlarini va ularga oid ma'lumotlarni ifodalashda yordam beradi.
17. Boshlang`ich va markazlashgan momentlar. Boshlang'ich va markazlashgan momentlar, bir tasodifiy miqdor to'plamining statistikiy xususiyatlari haqida ma'lumot beradigan mеntlar hisoblanishidir. Bu mеntlar, miqdorlarning o'zaro aloqasini, kengayishlarni va simmetriyaning mа'no еtаrligini aniqlashga yordam beradi. 1. Boshlang'ich momentlar: Boshlang'ich momentlar, miqdorlarning qiymatlarining asalariy o'rtasidagi bog'lanishni ifodalayadi. n-chi boshlang'ich moment Mₙ quyidagi formulalar orqali hisoblanadi: Mₙ = (x₁ⁿ + x₂ⁿ + ... + xₖⁿ) / N Bu formulda x₁, x₂, ..., xₖ miqdorlarning qiymatlari, n esa boshlang'ich momentning darajasi (n > 0), N esa miqdorlar to'plamidagi elementlar soni. Boshlang'ich momentlar miqdorlarning asalariy o'rtada joylashganligini ifodalayadi. Boshlang'ich momentlar orqali miqdorlarning o'zaro aloqasi va jismoniy xususiyatlari haqida ma'lumot olish mumkin. 2. Markazlashgan momentlar: Markazlashgan momentlar, miqdorlarning o'zaro aloqasini va miqdorlarning markazlashgan o'rtasidagi bog'lanishni ifodalayadi. n-chi markazlashgan moment μₙ quyidagi formulalar orqali hisoblanadi: μₙ = [(x₁ - μ)ⁿ + (x₂ - μ)ⁿ + ... + (xₖ - μ)ⁿ] / N Bu formulda x₁, x₂, ..., xₖ miqdorlarning qiymatlari, μ o'rtacha qiymati (matematik kutilish), n esa markazlashgan momentning darajasi (n > 0), N esa miqdorlar to'plamidagi elementlar soni. Markazlashgan momentlar miqdorlarning markazlashgan o'rtada joylashganligini ifodalayadi. Ular miqdorlarning o'zaro aloqasini, markazlanish darajasini va simmetriyaning mа'no еtаrligini aniqlashda yordam beradi. Boshlang'ich va markazlashgan momentlar, miqdorlarning xususiyatlari va bog'lanishlari haqida ma'lumotlar berishda foydalaniladi. Ular statistik analiz, modellash, normallashtirish, simmetriyaning tahliliga, to'plamlar o'rtasidagi bog'lanishni o'rganishda va boshqa ko'plab maqsadlar uchun qo'llaniladi.	18. Amaliyotda ko`p uchraydigan ba’zi bir taqsimotlar. Bernulli, binomial, Puasson, geometrik, tekis, ko`rsatkichli va normal taqsimot qonunlari Amaliyotda ko'p uchraydigan ba'zi taqsimotlar quyidagilardir: 1. Bernulli taqsimoti: Bernulli taqsimoti ikki yoki undan kam natija beruvchi (muvaffaqiyatsizlik va muvaffaqiyat) yoki boshqa ikki aholi qismi bilan bog'liq bo'lgan tasodifiy miqdorlarni ifodalaydi. Misol uchun, bir mеsoni bajarishning muvaffaqiyatli (1) yoki muvaffaqiyatsiz (0) bo'lishini ifodalayadi. 2. Binomial taqsimoti: Binomial taqsimoti n mеsonlilik jarayonida muvaffaqiyat va muvaffaqiyatsizlik ko'rinishidagi yutuq sonini ifodalaydi. Mаnоsi, n mеsonni bajarish imkoniyatining bir yoki boshqa soni bo'lishi mumkin. Binomial taqsimot formulasi P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) bilan ifodalanadi, bu yerda n mеsonliliklar soni, p muvaffaqiyatning ehtimollik qiyinligi va k yutuq soni. 3. Puasson taqsimoti: Puasson taqsimoti nadir hodisalar bo'yicha ishlatiladi, yani nadirroq sodir bo'ladigan hodisalarni ifodalaydi. Uchun ko'p hodisalarni yoki kattalik miqdorlarini ifodalanishiga to'g'ri keladi. Puasson taqsimoti formulasi P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k! bilan ifodalanadi, bu yerda λ hodisa sodir bo'lishining o'rtacha darajasi. 4. Geometrik taqsimoti: Geometrik taqsimoti bir mеsonni muvaffaqiyatsiz urinishda bajarishning birinchi muvaffaqiyatsizlikda amalga oshishini ifodalaydi. Misol uchun, qancha urinishda muvaffaqiyatsizlikka duch kelgani bеlgilangan mеsonlilikni ifodalayadi. Geometrik taqsimoti formulasi P(X = k) = (1 - p)^(k - 1) * p bilan ifodalanadi, bu yerda p muvaffaqiyatning ehtimollik qiyinligi va k birinchi muvaffaqiyatsizlikdagi urinishni anglatadi. 5. Tekis taqsimoti: Tekis taqsimoti ikki natija (muvaffaqiyat va muvaffaqiyatsizlik) bo'lishining ehtimolliklariga asoslangan. Misol uchun, bir sonni qabul qilish yoki rad etishni ifodalayadi. Tekis taqsimoti formulasi P(X = k) = p^k * (1 - p)^(1 - k) bilan ifodalanadi, bu yerda p muvaffaqiyatning ehtimollik qiyinligi va k yutuq sonini anglatadi. 6. Ko'rsatkichli taqsimot: Ko'rsatkichli taqsimot normalga yaqinlik ko'rsatadi va muassasa statistikasida keng ishlatiladi. U bilan katta sonli to'plamlarni, mеsonliliklarni va boshqa ko'plab ko'rsatkich ma'lumotlarni aniqlash mumkin. 7. Normal taqsimot: Normal taqsimot yuqori miqdorli to'plamlar bo'yicha ko'rsatkichga qarab ifodalaydi. U statistika va iqtisodiyotda keng ishlatiladi. Normal taqsimoti balandligi va kengligi bilan belgilangan, va o'rtacha qiymat va dispersiyaga asoslangan formulalar bilan ifodalanadi. Bu taqsimotlar amaliyotda ma'lumotlar tahlilini o'tkazish, statistik analizlar, modellash, risk hisob-kitobi va boshqa ko'plab maqsadlar uchun foydalaniladi. Ularga oid qonunlar va formulalar, tasodifiy miqdorlarni to'plamlar orasidagi bog'lanishni tushunishga imkon beradi.
19. Ko`p o`lchovli tasodifiy miqdorlar. Ikki o`lchovli tekis va normal taqsimotlar. Ko'p o'lchovli tasodifiy miqdorlar, bir nechta o'lchovlarni o'z ichiga olgan va natijada bir miqdor sifatida ifodalangan tasodifiy miqdorlardir. Ikki o'lchovli tekis va normal taqsimotlar bu kategoriyaga kiruvchi tasodifiy miqdorlardan ikkisi hisoblanadi. 1. Ikki o'lchovli tekis (bivariate uniform) taqsimoti: Bu taqsimotda, ikki o'lchov (X va Y) bo'yicha miqdorlar to'plami tasodifiy ravishda turib, har bir o'lchovning o'zining o'lchov chegarasi bilan berilgan bo'ladi. Bivariate uniform taqsimoti kvadratning ichidagi nuqtalarning tasodifiy tarzda tanlanishiga o'xshashdir. Tasodifiy miqdorlar bu taqsimotda uchta qiymatni o'zlashtiradi: (x, y, f(x, y)), u yerda x va y ikki o'lchovlar, f(x, y) esa bu o'lchovlar uchun ehtimollik qiymati.2. Normal (bivariate normal) taqsimoti: Normal taqsimoti ikki o'lchovli miqdorlarni normalga yaqinlashitiruvchi va ularga o'xshashliklarini ifodalaydigan bir taqsimotdir. Ikki o'lchov (X va Y) bo'yicha normal taqsimoti keng ishlatiladi. Ular o'rtacha qiymatlar (μX va μY) va dispersiyalar (σX^2 va σY^2) bilan belgilangan. Bivariate normal taqsimoti miqdorlar to'plamidagi har bir ikki o'lchovli element uchun ehtimollik qiymatini ifodalayadi. Bivariate normal taqsimotning yo'qolishi o'lchovlar orasidagi korrelyatsiyani (kovariatsiyani) ko'rsatadi.Ikki o'lchovli tekis va normal taqsimotlar, o'lchovli miqdorlarni boshqarish, analiz qilish va ulardan ma'lumotlarni olishda keng ishlatiladi. Ularning ma'lumotlarni tahlil qilish, xususiyatlarni o'rganish, o'lchovlar orasidagi bog'lanishni aniqlash va model qurish uchun foydalaniladi. 21. Diskret va uzluksiz turdagi tasodifiy vektorlar. Diskret tasodifiy vektorlar va uzluksiz tasodifiy vektorlar tasodifiy miqdorlarni ifodalayuvchi vektorlar bo'lib, ularning turiga qarab tasodifiy miqdorlarni tasvir etish usullari farq qiladi. 1. Diskret tasodifiy vektorlar: Diskret tasodifiy vektorlar o'lchovlar to'plamini tasodifiy ravishda ifodalaydi, ya'ni belgilangan qiymatlar orqali. Ular o'lchovlarning diskret qiymatlari bilan ta'minlanadi. Misol uchun, zarur sondan iborat bir tasodifiy vektor {1, 2, 3, 4, 5} o'lchovlarini ifodalaydi. Bunday tasodifiy vektorlarda o'lchovlar oddiy belgilangan qiymatlar bo'lishi mumkin. 2. Uzluksiz tasodifiy vektorlar: Uzluksiz tasodifiy vektorlar esa o'lchovlar to'plamini uzluksiz ravishda ifodalayadi, ya'ni belgilangan bir o'lchov orqali. Ular o'lchovlar uzluksiz va cheklanmaydigan miqdorlar bilan ifodalangan. Misol uchun, uzluksiz tasodifiy vektor {x, y, z} ifodalaydi, bu yerda x, y va z uzluksiz miqdorlar bo'lishi mumkin. Diskret tasodifiy vektorlar odatda diskret tasodifiy miqdorlarni ifodalayadi, masalan, sondan iborat bo'lishi mumkin. Uzluksiz tasodifiy vektorlar esa uzluksiz miqdorlarni ifodalayadi, masalan, uzluksiz o'lchovlar, davom etuvchi o'lchovlar, doimiy miqdorlar va hokazo. Diskret tasodifiy vektorlar va uzluksiz tasodifiy vektorlar statistik analiz, iqtisodiyot, matematika va boshqa sohalar bo'yicha ma'lumotlarni tasvir etishda va tahlil qilishda foydalaniladi.	20. Tasоdifiy vektorning taqsimot funktsiyasi va uning xossalari. Tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi, bir nechta tasodifiy miqdorlardan iborat vektorlarni tasvir etuvchi funksiya hisoblanadi. Tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi vektorning qiymatlari va ularning ehtimollik qiymatlari orqali belgilanadi. Tasodifiy vektorning xossalari esa uning o'ziga xos sifatlarini ifodalayadi. Ularning asosiy xossalari quyidagilardir: 1. O'rtacha (mean) vektor: Tasodifiy vektorning barcha miqdorlarining o'rtacha qiymatlari to'plamidan iborat vektor. Bu xossal vektorning har bir o'lchovining o'zining o'rtacha qiymatini ifodalayadi. 2. Kоvаriаtsiyа mаtritsаsi (covariance matrix): Tasodifiy vektorning miqdorlarining bir-biriga o'xshashliklari va ularning o'lchovlar orasidagi aloqalarini ifodalaydigan mаtritsa. Kovariatsiya mаtritsasi vektorning o'lchovlarining kovariatsiyalarini o'z ichiga oladi. 3. Kоrrelаtsiyа mаtritsаsi (correlation matrix): Tasodifiy vektorning miqdorlarining bir-biriga qanday hisoblanishlarini va ularning o'lchovlar orasidagi bog'lanishlarini ifodalaydigan mаtritsa. Korrelatsiya mаtritsasi vektorning o'lchovlarining kovariatsiyalarini standartlashtirib, -1 va 1 oralig'ida qiymatga ega bo'lgan korrelatsiyalarni o'z ichiga oladi. Tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari, vektorlarni boshqarish, tahlil qilish va ulardan ma'lumotlarni olishda foydalaniladi. Ular ma'lumotlar tahlili, statistik analiz, modellash, o'lchovlar orasidagi bog'lanishlarni aniqlash va boshqa maqsadlar uchun qo'llaniladi. 22. Kоrеllyatsiya kоeffitsеnti va uning xossalari. Taqsimоt funktsiyasi va sonli хaraktеristikalari. Korelyatsiya koeffitsienti, iki o'lchov (miqdor) orasidagi bog'lanishning kuchini ifodalayuvchi bir statistik miqdordir. Korelyatsiya koeffitsienti, -1 va 1 oralig'ida bo'lgan qiymatlarga ega bo'lishi mumkin.Korelyatsiya koeffitsienti bir nechta xossalarga ega bo'lgan tasodifiy miqdorlarning bog'lanish darajasini ifodalayadi. Quyidagi korelyatsiya koeffitsientlari bilan tanishamiz: 1. Pozitiv korelyatsiya: Agar iki o'lchovning korelyatsiya koeffitsienti 0 dan katta va yaqin bo'lsa, bu pozitiv korelyatsiyani ko'rsatadi. Bu holatda bir o'lchovning o'sishi bilan boshqa o'lchov ham o'sishiga qaramay, o'lchovlar bir-biriga mo'ljallangan. Korelyatsiya koeffitsienti 1 ga yaqinlashganda, o'lchovlar orasidagi bog'lanishning kuchli hisoblanadi.2. Negativ korelyatsiya: Agar iki o'lchovning korelyatsiya koeffitsienti 0 dan kichik va yaqin bo'lsa, bu negativ korelyatsiyani ko'rsatadi. Bu holatda bir o'lchovning o'sishi bilan boshqa o'lchovning kamayishi, o'lchovlar bir-biriga qaramay, umuman o'lchovlar orasidagi bog'lanishni ko'rsatadi. Korelyatsiya koeffitsienti -1 ga yaqinlashganda, o'lchovlar orasidagi bog'lanishning kuchli hisoblanadi.3. Nolga yaqin korelyatsiya: Agar iki o'lchovning korelyatsiya koeffitsienti yaqinligi 0 ga yaqin bo'lsa, bu holatda o'lchovlar orasidagi bog'lanish kuchi yo'qdir yoki juda kam hisoblanadi. Bunday holatda o'lchovlar o'zaro bog'lanmasligi yoki boshqa faktorlar o'lchovlar orasidagi bog'lanishni yo'qotishiga olib kelishi mumkin.Taqsimot funksiyasi esa bir tasodifiy miqdorning belgilangan bir qiymatga yetishishning ehtimollik qiymatini ifodalayuvchi funksiya hisoblanadi. Taqsimot funksiyasi tasodifiy miqdorlarni taqsimotga qo'yish uchun ishlatiladi. Bunday funksiya miqdorning qiymatlarini va ularning ehtimollik qiymatlarini qayta ifodalayadi.Sonli xarakteristikalar esa tasodifiy miqdorlar to'plamining boshqa miqdorlariga oid belgilangan ma'lumotlardir. Ba'zi eng umumiy sonli xarakteristikalar quyidagilardir:1. Matematik kutilish (mean): Tasodifiy miqdorlarning o'rtacha qiymati, miqdorlar to'plamini miqdorlar soniga bo'lib hisoblanadi.2. Dispеrsiya (variance): Tasodifiy miqdorlarning o'zlari bilan o'rtacha qiymatlari orasidagi farqni ifodalaydigan statistic miqdor.Dispеrsiya,miqdorlarning o'rtacha qiymatidan qanchalik uzoqda joylashganligini ko'rsatadi.3. O`rtacha kvadratik chetlanish (standard deviation): Dispеrsiyani yuqorida ko'rsatilgan kvadratik o'lchovning ildizini olish bilan aniqlanadi. Bu xossal miqdorlar to'plamining qanday o'rinda joylashganligini ifodalaydi. Bu sonli xarakteristikalar tasodifiy miqdorlarni tahlil qilish, o'lchovlar orasidagi bog'lanishlarni qarash, modellash va boshqa maqsadlar uchun foydalaniladi.
23. Katta sоnlar qоnuni tushunchasi. Chеbishеv tеngsizliklari. Katta sonlar qonuni (Law of Large Numbers) tasodifiy miqdorlarning katta sonlar uchun o'ziga xos davranişini ifodalayuvchi bir konseptdir. Ushbu qonun statistika sohasida katta sonlar orqali olingan ma'lumotlarni to'g'ri va yuqori sifatli bilish imkonini beradi. Katta sonlar qonuni asosan quyidagi asosiy tushunchalarga asoslangan: 1. Miqdorlarning o'rtachasi: Katta sonlar qonuni bo'yicha, ko'p sonlardan olingan miqdorlar o'rtacha qiymati yaqinlashadi va haqiqiy o'rtachaga o'xshash bo'ladi. Bu degani, ko'p sonlardan olingan miqdorlar o'rtacha qiymati muhim ma'lumotlarni yaxshi ifodalaydi. 2. Qarashlarning istiqboli: Katta sonlar qonuni aytaydi ki, ko'p sonlardan olingan miqdorlar o'zaro bog'lanishlar va cheklangan bog'lanishlar bo'yicha istiqbolga ega bo'ladi. Bu degani, ko'p sonlar orqali olingan miqdorlar statistik bog'lanishlarni aniqlashda yuqori sifatli ma'lumotlar beradi. Chеbishеv tеngsizliklari (Chebyshev inequalities) esa bir tasodifiy miqdorning qancha uzoqda joylashishi haqida ma'lumotlar beruvchi tеngsizliklar to'plamidir. Chеbishеv tеngsizliklari quyidagi asosiy tushunchalarga asoslangan: 1. Miqdorlar kеtma-kеtligi: Chеbishеv tеngsizliklari bo'yicha, tasodifiy miqdorlar bir miqdordan uzoqda joylashishining ehtimollik qiymati chekishlik bilan ifodalangan. Bu degani, tasodifiy miqdorlar bir miqdordan uzoqda joylashishining ehtimollik qiymati o'zgartik bilan darrovga oshadi. 2. Chеbishеv tеngsizliklari formula: Chеbishеv tеngsizliklari bir tasodifiy miqdor uchun quyidagi formula orqali ifodalangan: P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k^2 Bu yerda X tasodifiy miqdor, μ uning o'rtacha qiymati, σ esa uning o'rtacha kvadratik chetlanishi, va k >= 1 bir belgilangan ko'rsatkich. Chеbishеv tеngsizliklari tasodifiy miqdorlarni qarashlar va o'zaro bog'lanishlarni tahlil qilishda foydalaniladi. Ular statistika sohasida ma'lumotlarni chuqurroq tahlil qilishga yordam beradi.	24. Chеbishеv va Bеrnulli tеоrеmalari. Markaziy limit tеоrеmalari. Chebyshev va Bernoulli teoremalari statistika sohasida foydalaniladigan iki asosiy teorema. Ularning bir-biridan farqli mavzulardagi teoremalari quyidagicha: 1. Chebyshev teoremasi: Chebyshev teoremasi bir tasodifiy miqdorning chekishlik bilan bog'liq ehtimollikni ifodalayadi. Ushbu teorema quyidagi formulaga asoslangan: P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k^2 Bu yerda X tasodifiy miqdor, μ uning o'rtacha qiymati, σ esa uning o'rtacha kvadratik chetlanishi, va k ≥ 1 bir belgilangan ko'rsatkich. Bu teorema tasodifiy miqdorlarning chekishlikning chekka kelishini ifodalaydi. Misol uchun, Chebyshev teoremasi orqali, bir tasodifiy miqdorning 3 o'rtacha kvadratik chetlanish dan uzaklashmasligi 8/9 (yoki 89%) ehtimol bilan ifodalangan. 2. Bernoulli teoremasi: Bernoulli teoremasi tasodifiy miqdorlarning o'rtacha qiymati bilan bog'liq xususiyatlarini ifodalayadi. Ushbu teorema quyidagi formulaga asoslangan: Lim(n → ∞) P(X/n = p) = P(X = np) = e^(-λ) * (λ^np) / (n^np * n!) Bu yerda X tasodifiy miqdor, n sonli urinishlar soni, p muvaffaqiyat ehtimollik qiymati, λ = np. Bernoulli teoremasi tasodifiy miqdorlarning katta sonlarida o'zaro bog'lanishlarni ifodalayadi va katta sonlar uchun o'rtacha qiymatning belgilangan qiymatga yaqinlashishini ifodalayadi. Markaziy limit teoremasi (Central Limit Theorem) esa tasodifiy miqdorlarning katta sonlari bo'yicha o'rtacha qiymatining normal taqsimotga yaqinlashishini ifodalayuvchi asosiy statistik teorema. Markaziy limit teoremasi aytaydi: Agar X1, X2, ..., Xn bir-biriga bog'liq bo'lgan va o'zgartiruvchan miqdorlar to'plami bo'lsa, har bir X_i tasodifiy miqdorning teng ehtimollik bilan bo'lgan o'rtacha qiymat va σ^2 = Var(X_i) bo'lsa, katta sonli n uchun (n → ∞) quyidagi kabi tasodifiy miqdor Y ga yaqinlashadi: Y = (X1 + X2 + ... + Xn - nμ) / (σ√n) Bu holatda Y tasodifiy miqdor normal taqsimotga yaqinlashadi: Y ~ N(0, 1), ya'ni Y normal taqsimot bilan taqsimlangan bo'ladi. Markaziy limit teoremasi tasodifiy miqdorlar to'plami uchun normal taqsimotni dastlabki miqdorga o'tkazish imkonini beradi.

25. Katta sоnlar qоnuni tushunchasi. Chеbishеv tеngsizliklarining katta sonlar qonuni o`rinli bo`ladigan teoremalarni isbotlashdagi muhim ahamiyati. Katta sonlar qonuni (Law of Large Numbers) tasodifiy miqdorlarning katta sonlar uchun o'ziga xos davranişini ifodalayuvchi bir konseptdir. Ushbu qonun statistika sohasida katta sonlar orqali olingan ma'lumotlarni to'g'ri va yuqori sifatli bilish imkonini beradi. Katta sonlar qonuni statistika tahlillarida katta sonlar orqali olingan natijalar, o'rtacha qiymatlar va chekishliklar haqida ma'lumotlarni ko'rsatadi. Chеbishеv tеngsizliklari (Chebyshev inequalities) tasodifiy miqdorlarning qancha uzoqda joylashishi haqida ma'lumotlar beruvchi tеngsizliklar to'plamidir. Ular tasodifiy miqdorlarning chekishlikning chekka kelishini ifodalayadi. Chеbishеv tеngsizliklari tasodifiy miqdorlar uchun umumiy taqsimotlar, o'rtacha qiymatlar va chekishliklar haqida umumiy ta'riflar beradi. Bu tengsizliklar orqali, miqdorlarning chekishlikning chekka kelishini qanday qilib ifodalash mumkinligini ko'rsatadi. Chеbishеv tеngsizliklarining katta sonlar qonuni bilan bog'liq teoremalarni isbotlashdagi muhim ahamiyati quyidagicha: 1. Chеbishеv tеngsizliklari katta sonlar qonunini tasdiqlayuvchi formulalar beradi. Bu formulalar tasodifiy miqdorlar uchun chekishlikning chekka kelishini aniqlashda qo'llaniladi va qonuniylikni ifodalayadi. 2. Chеbishеv tеngsizliklari tasodifiy miqdorlar uchun umumiy taqsimotlarni qarash, o'rtacha qiymatlarni hisoblash, chekishliklarni belgilash va statistik analizlarni bajarishda yordam beradi. 3. Chеbishеv tеngsizliklari katta sonlar qonuniga qo'shimcha o'lchovlar kiritish imkonini beradi va miqdorlarning katta sonlari uchun o'zgarishlarni tahlil qilishda foydalaniladi. Bundan tashqari, Chеbishеv tеngsizliklari katta sonlar qonuni bilan bog'liq teoremalarni isbotlashda analitik ko'rsatkichlar va qoidalar qo'llaniladi va bu ko'rsatkichlar statistika tahlillarida ishonchli natijalarni olishga imkon beradi. Shuningdek, Chеbishеv tеngsizliklari tasodifiy miqdorlarning ma'lumotlar to'plamlarini cheklovchi va ajratuvchi hisoblash usullarini rivojlantirishda yordam beradi.	26. Markaziy limit tеоrеmalari va ularning amaliy ahamiyati. Markaziy limit teoremalari (Central Limit Theorems) statistikada katta sonli tasodifiy miqdorlarning o'rtacha qiymatining normal taqsimotga yaqinlashishini ifodalayuvchi asosiy teoremalardir. Ular statistik analiz va model qurishda katta ahamiyatga ega bo'ladi. Markaziy limit teoremasining amaliy ahamiyati quyidagicha: 1. Normal taqsimotga yaqinlashish: Markaziy limit teoremasi tasodifiy miqdorlarning katta sonlari uchun o'rtacha qiymatining normal taqsimotga yaqinlashishini ifodalayadi. Bu, o'zgaruvchilar to'plamining normal taqsimot bilan taqsimlangan bo'lib, statistik hisobotlarni osonlashtiradi. 2. Ko'rsatkichning aniqlanishi: Markaziy limit teoremasi statistik hisoblashning muhim qismi bo'lgan ko'rsatkichlarni aniqlashda yordam beradi. Normal taqsimotga yaqinlashgan tasodifiy miqdorlarning o'rtacha qiymati va chekishliklari yordamida ko'rsatkichlar va ularning aniqlik darajalari hisoblanadi. 3. Inferensiya usullari: Markaziy limit teoremasi statistik hisoblashda inferensiya usullari bilan birga ishlab chiqilgan hisoblashlarni aniqlashda ham ahamiyatga ega bo'ladi. Ushbu teorema normal taqsimotga yaqinlashgan tasodifiy miqdorlar orqali parametrlarni hisoblashda va aniqlovchilarni qo'llashda foydalaniladi. 4. Normallashtirish: Markaziy limit teoremasi normal taqsimot bilan taqsimlangan miqdorlar orqali miqdorlarni normallashtirishda katta ahamiyatga ega bo'ladi. Normallashtirilgan miqdorlar, o'zgaruvchilar orasidagi bog'lanishlarni ifodalayadi va solishtirishlar osonlashadi. 5. Qiyosiy tahlil: Markaziy limit teoremasi statistik tahlil qilishda qiyosiy tahlil asosida yordam beradi. Ushbu teorema tasodifiy miqdorlarning katta sonlar orqali o'rtacha qiymati va chekishliklarni ta'riflashda, muhokamalarda qiyosiy ta'riflar berishda va qiyosiy tahlilning boshqa aspektlarida katta ahamiyatga ega bo'ladi. Markaziy limit teoremasi statistika tahlilida katta sonlarni o'rganganligimizda, miqdorlarning normal taqsimotga yaqinlashishini tushunishimiz muhimdir. Bu teorema statistika sohasida ko'plab usullar, tushunchalar va hisobotlar asosida ishlab chiqilgan va amaliyotda keng qo'llanilgan bir teorema hisoblanadi.
27. Matеmatik statistikaning asоsiy masalalari. Tanlanma tahlili. Matematik statistika asosiy masalalari, ma'lumotlarni to'plash, tahlil qilish, ma'lumotlar modellash va ma'lumotlarga asoslangan qarorlar olishni o'z ichiga olgan soha hisoblanadi. Bu sohada bir necha asosiy masalalar mavjud, va ulardan biri tanlanma tahlilidir. Tanlanma tahlili (Inferential Statistics) ma'lumotlardan ajratilgan tanlanma (uzildi) yoki takrorlanuvchi (sampling) to'plamlar asosida umumiy ko'rinishdagi ta'riflashlar va qarorlar olishni o'z ichiga oladi. Tanlanma tahlili, tanlanma jarayonlari orqali umumiy populatsiyaga oid ma'lumotlarni bilish va populatsiya xususiyatlarini hisoblashda muhim ahamiyatga ega bo'ladi. Tanlanma tahlili quyidagi masalalarni o'z ichiga oladi: 1. Tanlanma turlari: Tanlanma tahlilida foydalaniladigan tanlanma turlari, tanlangan ob'ektlar soni va usullari, tanlanma o'lchovlari, tanlanma jarayonlarining tuzilishi va qo'llanishi kabi muhim masalalarni o'z ichiga oladi. 2. Ta'riflashlar va qarorlar: Tanlanma tahlili ma'lumotlarni ta'riflash, chekishliklarni baholash, o'rtacha qiymatlarni hisoblash, ko'rsatkichlarni aniqlash, muhokamalarni o'tkazish, yaxlitlash va chekishliklar qanchalik aniqlik qilish, tartiblash va boshqalar kabi muhim qarorlar olishda qo'llaniladi. 3. Qo'llaniladigan statistik modellar: Tanlanma tahlili ma'lumotlarni statistik modellar bilan ifodalashda foydalaniladi. Bu modellar, tasodifiy miqdorlarning taqsimotlari, regresiya modellari, vaqti davomida o'zgaruvchan modellarni o'z ichiga oladi. 4. Nofuzli tahlil: Tanlanma tahlili orqali nofuzli tahlil amalga oshiriladi. Bu, tanlangan jarayonlar orqali populatsiya xususiyatlarini taxmin qilish va ulardagi aniqlik darajasini ifodalashni o'z ichiga oladi. Tanlanma tahlili matematik statistikaning asosiy masalalaridan biridir, chunki bu masalalar ma'lumotlarni asoslangan qarorlar olishda kritik ahamiyatga ega bo'ladi. Ushbu tahlil statistik hisoblash, marketing va ma'lumotlarni to'plash, ilmiy tadqiqotlar, soha analizlari va boshqalar kabi sohalarda keng qo'llaniladi.	28. Matеmatik statistikaning asоsiy vazifalari. Matеmatik statistika usullaridan foydalanib, tanlanmani tahlil qilish. Empirik taqsimot funksiya va uning xossalari. Matematik statistika asosiy vazifalari quyidagilardan iborat: 1. Ma'lumotlarni to'plash: Matematik statistika, ma'lumotlarni to'plash usullarini o'rganib, ma'lumotlarni to'plash jarayonini tashkil etadi. Bu jarayonda ma'lumotlar to'planib, tahlillashga tayyorlanadi. 2. Ma'lumotlarni tahlil qilish: Matematik statistika, ma'lumotlarni tahlil qilish usullarini o'rganib, ma'lumotlarni tahlil qilishning matematik va statistik metodlarini qo'llashni ta'lim etadi. Bu jarayonda ma'lumotlarni tahlil qilib, ularning xususiyatlari va bog'lanishlari aniqlanadi. 3. Tanlanma tahlili: Matematik statistika usullaridan foydalanib, tanlanma tahlilini amalga oshirish vazifasi uchun foydalaniladi. Tanlanma tahlili, tanlanma jarayonlari orqali populatsiya xususiyatlarini bilish, populatsiya parametrlarini taxmin qilish va qarorlar olishda muhim ahamiyatga ega bo'ladi. 4. Empirik taqsimot funksiya va uning xossalari: Empirik taqsimot funksiya, statistik ma'lumotlar asosida tasodifiy miqdorlarning taqsimotini aniqlashda foydalaniladi. Ushbu funksiya tanlanma jarayonlari natijasida olingan statistik ma'lumotlarni asoslash bilan hosil qilinadi. Empirik taqsimot funksiyasining xossalari esa barcha ma'lumotlarni yaxlitlash va ta'riflashda muhim ahamiyatga ega bo'ladi. Matematik statistika, ma'lumotlarni to'plash, tahlil qilish, tanlanma tahlili amalga oshirish va empirik taqsimot funksiyalarni ishlatish yordamida ma'lumotlardan aniq va foydali ma'lumotlar olish, ma'lumotlarga asoslangan qarorlar olish va ma'lumotlarni ta'riflashda keng qo'llaniladi.
29. Tanlanmaning sonli xarakteristikalari. Tanlanma matematik kutilishi, tanlanma dispersiya va tanlanma o`rtacha kvadratik chetlanish tushunchalari. Tanlanmaning sonli xarakteristikalaridan ba'zilari quyidagilardir: 1. Tanlanma o'rta qiymati (sample mean): Tanlanma tahlili jarayonida tanlangan ob'ektlar yoki observatsiyalar jamlanishidan olingan o'rta qiymat. Tanlanma o'rta qiymati, tanlanmaning barcha qiymatlarini yig'indisi bo'lib hisoblanadi va tanlanma jamlanishi soniga bo'lib bo'linadi. 2. Tanlanma dispersiyasi (sample variance): Tanlanma tahlili jarayonida tanlangan ob'ektlar yoki observatsiyalar jamlanishining qanchalik tarqalganligini ifodalaydigan miqdoriy. Tanlanma dispersiyasi, tanlangan qiymatlar toifasining har bir qiymatini o'rtacha qiymatidan ajratib, kvadratini olganlarini yig'indisi bo'lib, tanlanma jamlanishi soniga bo'linadi. 3. Tanlanma o'rtacha kvadratik chetlanishi (sample standard deviation): Tanlanma dispersiyasining kvadrat ildizidir. Tanlanma o'rtacha kvadratik chetlanishi, tanlanma tahlili jarayonida tanlangan ob'ektlar yoki observatsiyalar jamlanishining qanchalik tarqalganligini ifodalaydigan miqdoriyani ifodalaydi. Tanlanmaning matematik kutilishi, tanlanmaning ma'lumotlar toifasiga oid o'zgaruvchanlar haqida umumiy ma'lumotlarni ko'rsatadi. Bu kutilish tanlanma o'rtacha qiymati va tanlanma o'rtacha kvadratik chetlanishi orqali amalga oshiriladi. Tanlanma dispersiyasi va tanlanma o'rtacha kvadratik chetlanishi, tanlanmaning qanchalik tarqalganligini va ma'lumotlar toifasidagi qanchalik qirrilib tushganligini ifodalaydi. Ularning hisoblanishi tanlanma tahlili davomida ma'lumotlarni qanchalik aniqligini ifodalashda kritik ahamiyatga ega bo'ladi.	30. Taqsimоt paramеtrlarining statistik bahоlari va ularni topish usullari. Taqsimot parametrlari, bir taqsimotning matematik kutilishi haqida ma'lumotlarni ifodalaydigan muhim xususiyatlardir. Bu parametrlar statistik baholash va ularni topish usullari orqali aniqlanadi. Quyidagi taqsimot parametrlari keng qo'llaniladi: 1. O'rta qiymat (mean): Taqsimotning o'rta qiymati, taqsimotning qiymatlari yig'indisining taqsimotning elementlar soniga bo'linishi bilan topiladi. O'rta qiymat taqsimotning markazi va jamlanish darajasini ifodalaydi. 2. Variansiya (variance): Taqsimotning variansiya, taqsimot elementlarining o'rta qiymatdan ajratib, kvadratlarini olganlarining o'rta qiymatidir. Bu parametr taqsimotning qirrilib tushganligi va jamlanish darajasini ifodalaydi. 3. Standart chetlanish (standard deviation): Taqsimotning standart chetlanish, taqsimotning variansiyaning kvadrat ildizidir. Standart chetlanish taqsimotning qirrilib tushganligini ifodalaydi. 4. Asimmetriya (skewness): Taqsimotning asimmetriyasi, taqsimotning simmetriyasi yoki simmetriyasizligini ifodalaydi. Agar taqsimot simmetrik bo'lsa, asimmetriya 0 ga teng bo'ladi. Agar taqsimot o'ng tarafga (positiv) yaqinroq bo'lsa, asimmetriya qiymati musbat bo'ladi. Agar taqsimot chap tarafga (negativ) yaqinroq bo'lsa, asimmetriya qiymati manfiy bo'ladi. 5. Kurtosis (kurtosis): Taqsimotning kurtosisi, taqsimotning kurtosis darajasini ifodalaydi. Bu parametr taqsimotning sirtiqlik va keskinligini ifodalayadi. Agar taqsimot normalga yaqinroq bo'lsa, kurtosis qiymati 0 ga teng bo'ladi. Agar taqsimot normaldan qisqaroq va sirtliroq bo'lsa, kurtosis qiymati -1 dan kichik bo'ladi. Agar taqsimot normaldan uzunroq va keskinroq bo'lsa, kurtosis qiymati 1 dan katta bo'ladi. Taqsimot parametrlarini topish usullari esa ma'lumotlar to'plamining tahlili orqali amalga oshiriladi. Bu usullar orasida tahlil hisoblash, yaxlitlash va boshqalar kabi metodlar ishlatiladi. Ma'lumotlar to'plami ustida amalga oshirilgan tahlil natijalaridan foydalanib taqsimot parametrlari hisoblanadi va statistik baholashda ishlatiladi.
31. Statistika va statistik baho tushunchalari. Statistika, ma'lumotlarni to'plash, tahlil qilish, tahrirlash va tahlil natijalarini tushunish, ma'lumotlarga asoslangan qarorlar olishga oid ilm-fan sohasidir. Statistika, ma'lumotlar to'plamini qarorlar olish jarayonida yordam beradi va ma'lumotlarni ta'riflash va aniqlashda matematik va statistik metodlardan foydalanadi. Statistik baho tushunchalari, ma'lumotlar to'plamining qiymatini aniqlash va hisoblash uchun foydalaniladigan tushunchalardir. Statistik baho tushunchalari ma'lumotlar analizi, tahlili va ta'riflashda keng qo'llaniladi. Ba'zi asosiy statistik baho tushunchalari quyidagilardir: 1. O'rta qiymat (Mean): Ma'lumotlar to'plamining qiymatlarining o'rta qiymatini ifodalaydi. O'rta qiymat, barcha qiymatlarni yig'indisi bo'lib, ma'lumotlar soniga bo'linadi. 2. Medianna: Ma'lumotlar to'plamidagi qiymatlarning o'sish tartibida o'rta qiymatidir. Mediana o'rta qiymatdan foydalanish bilan bir xil bo'lmasligi mumkin. 3. Moda: Ma'lumotlar to'plamidagi eng ko'p takrorlangan qiymatdir. Moda ma'lumotlar to'plamidagi o'rindosh qiymatlarni aniqlashda foydalaniladi. 4. Variansiya (Variance): Ma'lumotlar to'plamidagi qiymatlarning o'rta qiymatdan qanchalik qirrilib tushganligini ifodalaydi. 5. Standart chetlanish (Standard Deviation): Variansiyaning kvadrat ildizi hisoblanadi. Standart chetlanish ma'lumotlar to'plamidagi qiymatlar o'rtacha qanchalik tarqalganligini ifodalaydi. 6. Asimmetriya (Skewness): Ma'lumotlar to'plamidagi qiymatlarining simmetriyasizligini ifodalayadi. Asimmetriya qanchalik ma'lumotlar to'plamining o'ng yoki chapga simmetrik bo'lmaganligini ko'rsatadi. 7. Kurtosis (Kurtosis): Ma'lumotlar to'plamidagi qiymatlar sirtli va sirtlik darajasini ifodalayadi. Statistik baho tushunchalari, ma'lumotlar to'plamidagi ma'lumotlar bilan bog'liq muhim tushunchalardir va ma'lumotlar analizida, ta'riflashda va qarorlar olishda keng qo'llaniladi. Ular, ma'lumotlarning mohiyatini, jamlanish darajasini, o'zaro aloqalarni va muhim xususiyatlarni tushuntirishga yordam beradi.	32. Taqsimоt no’malum parametri statistik bahosi uchun qo`yiladigan shartlar. Taqsimotning no'mal parametri statistik bahosi uchun quyidagi shartlar qo'yiladi: 1. O'rta qiymat sharti: Taqsimotning o'rta qiymati, taqsimotning markaziy qiymati bilan bir xil bo'lishi kerak. Yani, taqsimotning o'rta qiymati no'mal parametri bilan bir xil bo'lishi lozim. 2. Variansiya sharti: Taqsimotning variansiya, taqsimotning markaziy qiymatga yaqinroq bo'lishi kerak. Bu shart taqsimotning o'rta qiymatga qarab qanchalik qirrilib tushganligini ifodalaydi. 3. Simmetriya sharti: Taqsimotning no'mal parametri uchun simmetrik bo'lishi kerak. Bu shartga ko'ra, taqsimotning o'ng va chap tomonlari o'rtasidagi simmetriyasiga ega bo'lishi kerak. 4. Qirrilib tushganlik sharti: Taqsimotning no'mal parametri uchun qirrilib tushgan bo'lishi kerak. Bu shart, taqsimotning kuzatuvchi qirraligi va kechikishi bilan bog'liq. Taqsimotning no'mal parametri bo'lishi uchun yuqoridagi shartlar biriktirilishi kerak. Agar bir taqsimot bu shartlarni bajarasa, u no'malga yaqin hisoblanadi. No'mal parametri bilan baholangan taqsimotlar, statistik analiz, tahminlash va boshqa maqsadlar uchun keng qo'llaniladi.
33. Statistik baholarni topish usullari. Bahoning asоsligi. Bahoning siljimaganligi. Statistik baholarni topish usullari, ma'lumotlar to'plamidagi muhim tushunchalarni aniqlash va ma'lumotlarni qiymatlash uchun qo'llaniladi. Baholar, ma'lumotlar tahlili, ma'lumotlar to'plamining ta'riflashi va muhokamasi jarayonida juda muhimdir. Quyidagi usullar statistik baholarni topishda keng qo'llaniladi: 1. O'rtacha qiymat (Mean): Ma'lumotlar to'plamidagi qiymatlar yig'indisini to'plam elementlar soniga bo'lish orqali topiladi. Bu usul ma'lumotlar jamlanishining o'rtacha qiymatini ifodalaydi. 2. Medianna: Ma'lumotlar to'plamidagi qiymatlar o'sish tartibida markazdagi qiymatni topishga imkon beradi. Medianna statistik baholashda ma'lumotlar to'plamining markaziy qiymatini ifodalaydi. 3. Moda: Ma'lumotlar to'plamidagi eng ko'p takrorlanadigan qiymatlarni topishda ishlatiladi. Moda statistik baholashda ma'lumotlar to'plamidagi eng ko'p takrorlanadigan qiymatni ifodalaydi. 4. Variansiya (Variance): Ma'lumotlar to'plamidagi qiymatlarining markaziy qiymatdan qanchalik qirrilib tushganligini ifodalaydi. Variansiya statistik baholashda ma'lumotlar jamlanishining dispersiyasini ifodalaydi. 5. Standart chetlanish (Standard Deviation): Variansiyaning kvadrat ildizi hisoblanadi. Standart chetlanish statistik baholashda ma'lumotlar to'plamidagi qiymatlarning markaziy qiymatga qanchalik qirrilib tushganligini ifodalaydi. 6. Korrelyatsiya koeffitsienti: Ma'lumotlar to'plamidagi o'zaro aloqalarni o'rganish uchun ishlatiladi. Korrelyatsiya koeffitsienti statistik baholashda ma'lumotlar o'rtasidagi o'zaro bog'lanish darajasini ifodalaydi. Bahoning asosiy tushunchasi, ma'lumotlar to'plamidagi muhim tushunchalarni ifodalash va qiymatlash bo'lib, bu tushunchalar ma'lumotlarni tahlil qilishda va qarorlar olishda yordam beradi. Baholar ma'lumotlar to'plamidagi muhim muhokamalarni ta'minlashga va ma'lumotlarni solishtirishga imkon beradi. Bahoning siljimaganligi esa baholash jarayonida tashqi o'zgaruvchanlarning ma'lumotlarga qanday ta'sir qilishini tushuntiradi. Bahoning siljimaganligi statistik baholashda ma'lumotlarning qat'iylik darajasini ifodalaydi. Siljimaganlik qanchalik kam bo'lsa, baholash natijalari o'qituvchi va ishlab chiqaruvchilar uchun oqituvchi va qarorlar qabul qiluvchilarga ko'proq ishonchli bo'ladi.Statistik baholarni topish usullari ma'lumotlar tahlili, istatistikaviy modellar yaratish, karraja qilish va sifatni baholashda qo'llaniladi. Ular statistika fanining asosiy vositalaridir va ma'lumotlar to'plamini aniq va foydali ma'lumotlarga aylantirishda muhim ahamiyatga ega.	34. Intervalli baholar. Ishonchlilik ehtimolligi va ishonchlilik oralig`i Intervalli baholar statistikada ma'lumotlarni qiymatlash uchun ishlatiladigan bir usuldur. Ushbu usulda ma'lumotlar to'plamidagi qiymatlar intervallar orqali baholanadi. Interval baholarni ifodalashda ikkita qiymat, ya'ni boshlang'ich va oxirgi qiymat, kiritiladi. Intervallar, ma'lumotlar to'plamidagi muhim tushunchalar to'plamiga qarab belgilanadi. Ishonchlilik ehtimolligi (confidence probability) intervallar baholashda muhim ahamiyatga ega bo'ladigan bir xususiyatdir. Ushbu ehtimollik ma'lumotlarning berilgan intervallar orqali aniq va ishonchli hisoblanishi uchun ishlatiladi. Ishonchlilik ehtimolligi aksariyat bilan (m) ifodalangan va 0 dan 1 gacha bo'lgan bir qiymatni olishi mumkin. Ishonchlilik oraligi (confidence interval) esa intervallar baholash natijalarini ifodalaydi. Bu, muhim tushunchalar to'plamidagi qiymatlarni bilishda xato paydo bo'lishining qanchalik qavatli bo'lishini ifodalaydi. Ishonchlilik oraligi statistik analizda ahamiyatli natijalarga ega bo'lish uchun keng qo'llaniladi. Ishonchlilik oraligi daromadlarni ta'lim etish, market niqoh va sifatli mahsulotlar ishlab chiqarish, ilmiy tadqiqotlar va boshqalar kabi sohalarda keng qo'llaniladi. Intervalli baholar, ma'lumotlarni ishonchli va ishonchsizlik oralig'ida qiymatlashda yordam beradi. Ushbu usul, statistik analizda muhim bir ahamiyatga ega bo'lib, ma'lumotlarni yaxshi tahlil qilish va maqsadga muvofiq qarorlar olishda qo'llaniladi.
35. Nuqtaviy bahоning kamchiliklari. Intervallari baholarning nuqtaviy baholardan farqi. Ishonchilik ehtimoli tushunchasi. Ishonchilik oralig`i va bahoning aniqligi. Nuqtaviy baholar statistikada ma'lumotlarni qiymatlash uchun ishlatiladigan bir usuldir. Ushbu usulda ma'lum bir nuqta (qiymat) orqali baholash amalga oshiriladi. Nuqtaviy baholar ma'lumotlar to'plamidagi bir qiymatni ifodalayadi. Nuqtaviy baholar kamchiliklari quyidagilardan iborat bo'lishi mumkin: 1. Aniqlik kamchiligi: Nuqtaviy baholarda ma'lum bir nuqta orqali qiymatlash amalga oshiriladi. Bu esa ma'lumotlar to'plamidagi asosiy muhim tushunchalarning to'liq tasvirlanishini ta'minlaya olmaganligi ma'nosini bergan. Aniqlik kamchiligi ma'lumotlar to'plamidagi qo'shimcha ma'lumotlardan olib kelgan xatolar, tashqi o'zgaruvchanliklar va boshqa sabablardan paydo bo'lishi mumkin. 2. Ishonchilik kamchiligi: Nuqtaviy baholar ishonchilikning yuqori darajada bo'lganligi hisoblanadi. Chunki bir nuqta orqali baholashda xatolik yuzaga kelish imkoniyati ancha katta. Bunda, ma'lumotlar to'plamidagi xatoliklar, tashqi o'zgaruvchanliklar, va statistik jarayonlar to'g'risidagi ma'lumotlarning darajasi katta ehtimollik bilan ko'rsatilishi mumkin. Intervallari baholar esa nuqtaviy baholardan farq qiladi. Ushbu usulda bir qiymatni ifodalash o'rniga, ma'lumotlar to'plamidagi bir oraliq (intervall) orqali qiymatlash amalga oshiriladi. Intervallari baholar ma'lumotlar to'plamidagi muhim tushunchalarni o'z ichiga olganligi va asosiy ko'rsatkichlarni to'liq tasvirlayishi bilan ajralib turadi. Ishonchilik ehtimoli intervallari baholarni ishonchli hisoblash uchun ishlatiladi. Bu, qiymatlash natijalarining ishonchli bo'lishining ehtimolini ifodalaydi. Ishonchilik oraligi esa intervallari baholarning aniq va ishonchli hisoblanishi uchun keng qo'llaniladi. Ushbu tushuncha intervallarni ifodalaydi va ma'lumotlar to'plamidagi qiymatlarning qanday darajada xatolik qilishi mumkinligini bildiradi. Ishonchilik oraligi ma'lumotlar to'plamidagi muhim tushunchalarni yaxshi tasvirlayishi va ma'lumotlarni solishtirishda qo'llaniladi. Bahoning aniqligi esa ma'lum bir qiymatning to'g'ri va aniq aniqlanishi demakdir. Bu baholar statistikada ma'lumotlarni to'g'ri qiymatlashda, sifatni aniqlashda va natijalarni tafsilotlashda ishlatiladi. Bahoning aniqligi statistik tahlil va ma'lumotlar interpretatsiyasida muhim ahamiyatga ega bo'ladi. 37. Asosiy va al’ternativ gipotezalar. I va II tur xatoliklar. Statistika quvvati. Asosiy gipoteza (H0) va alternativ gipoteza (Ha) statistikada gipotezalar tekshirishning asosiy qismidir. Asosiy gipoteza (H0) umumiy tarafdorlikni ifodalaydigan gipotezadir. Bu gipotezaga tegishli ravishda, ma'lumotlar asosida odatda yo'qotishning, o'zgarmasliginga yoki bir mohiyatda tarafdorlikning mavjud bo'lishiga ishora qilinadi. Alternativ gipoteza (Ha) bosh gipotezaning qarshi tashabbuschisidir. Bu gipoteza tarafdorlikni ifodalaydigan alternativ bir iddiadur. Alternativ gipoteza, bosh gipotezaning rad etishiga, o'zgarmasligiga, yoki tarafdorlikning boshqa mohiyatlariga ishora qiladi. I va II tur xatoliklar statistikada gipotezalar tekshirish jarayonida yuzaga kelishi mumkin: I-tur xatolik (Type I error): Bu xatolik, asosiy gipotezaning (H0) qabul qilinishiga qaror qilish xatoligidir, hamma aslida bosh gipotezaning haqiqiyligini tasdiqlaydi, ammo ma'lumotlardan kelgan natijalar bilan hatolik bilan rad etadi. Bu xatolikning taqiqlanishi umumiy tartibdarligi (significance level) bilan bog'liq bo'ladi. II-tur xatolik (Type II error): Bu xatolik, alternativ gipotezaning (Ha) rad etilishiga qaror qilish xatoligidir, ya'ni bosh gipoteza (H0) qabul qilinishini qabul qilish xatoligidir. Bu xatolikning xossalari, statistik baholar va ma'lumotlar soni, shuningdek, tahlil usulidan foydalanish shartlariga bog'liq bo'ladi. Statistika quvvati (statistical power), gipotezalar tekshirish jarayonida alternativ gipotezaning haqiqiyligini aniqlash imkonini ifodalaydi. Statistika quvvati, alternativ gipotezaning to'g'ri aniqlanishining ehtimoli sifatida ifodalaydi. Statistika quvvati, ma'lumotlar to'plamining xossalari, statistik baholar soni, gipotezalar orasidagi farq, ishonch darajasi, tahlil usulidan foydalanish shartlari va boshqa ko'rsatkichlar bilan ta'sir etadi. Bir gipotezani tekshirish jarayonida, I va II tur xatoliklar orasida chegaralar topish kerak. Statistikada I va II tur xatoliklar va statistika quvvati muhim parametrlardir, chunki bu xatoliklar natijalarga va ma'lumotlarning to'g'ri tafsilotlangan ta'riflashiga ta'sir qiladi. Statistikada ishonchlilikni ta'minlash va xatoliklar darajasini minimalga tushirish uchun to'g'ri tarzda tahlil qilish zaruridir.	36. Statistik gipotezalarni tekshirish. Statistik gipotezalar tekshirish, statistikada ma'lumotlar asosida qo'llanuvchi tarafdorlikning amalga oshirilishi uchun ishlatiladi. Gipoteza, bir savol yoki iddianing bir formulasi, aniq bir ifodadir. Statistik gipotezalar esa bu savollar yoki iddialarning ma'lumotlar asosida tekshirilishi va qaror qilinishiga asoslanadi. Statistik gipotezalar ikkita turi bo'ladi: 1. Bosh gipoteza (null hypothesis, H0): Bu, umumiy tarafdorlikni ifodalaydigan gipotezadir. U davlatda mavjud bo'lgan tarafdorlik, odatda o'ziga xos qiymat (masalan, parametr qiymati) berilgan bo'lishi mumkin. Bosh gipoteza asosan inkasso qilingan ma'lumotlardan ajralib qolgan va uzluksiz to'plamdagi normal holatni ifodalaydi. Bosh gipoteza muqobil gipotezalar natijasida qabul qilinganligi uchun negativ tartibda baholanadi. 2. Alternativ gipoteza (alternative hypothesis, Ha): Bu, bosh gipotezaning qarshi tashabbuschisidir. Alternativ gipoteza muqobil gipotezalar natijasida qabul qilinganligi uchun musbat tartibda baholanadi. Statistik gipotezalar tekshirish jarayoni quyidagicha o'tadi: 1. Aniq bir savol yoki iddia formulasi beriladi. 2. Bosh gipoteza (H0) va alternativ gipoteza (Ha) belgilanadi. 3. Ma'lumotlar to'plami inkasso qilinadi va ma'lumotlardan yuqori darajada yaratilgan bir test statistikasi (masalan, t-ratio, chi-square, F-ratio) hisoblanadi. 4. Test statistikasi natijalari statistik taqsimotga qarab baholanadi. 5. Test statistikasi natijasi bosh gipotezani qabul qilish yoki rad etishga qaror qilishga yordam beradi. 6. Ishonch darajasi (significance level) asosida qaror qilinadi. Ishonch darajasi muhimlik darajasi (significance level) deb ham ataladi. 7. Statistik baholar va p-value (p qiymati) hisoblanadi. P-value, bosh gipotezani rad etish ehtimoli (probability) sifatida ifodalaydi. 8. P-value, ishonch darajasidan (significance level) kichik bo'lganligi tekshiriladi. 9. Agar p-value ishonch darajasidan kichik bo'lsa, bosh gipotezani rad etamiz va alternativ gipotezani qabul qilamiz. 10. Agar p-value ishonch darajasidan katta bo'lsa, bosh gipotezani qabul qilamiz va alternativ gipotezani rad etamiz. 11. Natijalar tafsilotlangan va xulosalar chiqariladi. Statistik gipotezalar tekshirish jarayoni, ma'lumotlarni aniq va amaliy bo'lgan tartibda tekshirishda kritik ahamiyatga ega bo'ladi. Bu usul statistikada tartiblangan va ishonchli ma'lumotlar tahlilini ta'minlaydi. 38. Kritik nuqta va kritik soha. Kritik nuqta va kritik soha statistikada gipotezalar tekshirishning qo'llaniladigan tartiblanganlaridir. Kritik nuqta, bir statistik bahoni qabul qilish yoki rad etishning chegaralarini ifodalaydigan nuqta yoki qiymatdir. Bu nuqta, gipotezalar tekshirishda asosiy gipotezani rad etish yoki qabul qilishga qaror qilish uchun belgilanadi. Kritik nuqta asosida statistik baholar, ishonch darajasi, tartiblanganlar, ko'rsatkichlar va ma'lumotlar soni bilan hisoblanadi. Kritik soha, kritik nuqtalarning qabul qilingan nuqtalar to'plamini ifodalaydi. Bu soha, statistik bahoni rad etish yoki qabul qilishga yo'l qo'yadigan qiymatlar to'plamidir. Kritik soha, statistik testning kritik qiymatlarni o'z ichiga olgan bo'lib, bu qiymatlar orqali gipotezalar tekshiriladi. Statistikada kritik soha, qo'llaniladigan tartiblanganlar, istisnolar, ma'lumotlar soni, ishonch darajasi, statistik baholar va ko'rsatkichlar bilan belgilanadi. Kritik nuqta va kritik soha statistikada gipotezalar tekshirishning kritik ahamiyatga ega bo'lgan qismlaridir. Ular gipotezalar tekshirish jarayonida qaror qabul qilish uchun ma'lumotlarni tartibga solishda va tartiblangan nazoratlar va kutilganlik darajasini aniqlashda muhim rol o'ynayadi.
39. Pirsоn va Kоlmоgоrоv kriteriyalari. Pearson va Kolmogorov kriteriyalari, statistikada ixtisoslashgan tartiblanganlar bo'lib, ma'lumotlar to'plamining bir tasvirini boshqarishda ishlatiladi. 1. Pearson kriteriyasi (Pearson chi-sqare test): Bu kriteriya, ma'lumotlar to'plamining asosiy gipotezani qabul qilish yoki rad etish uchun ishlatiladi. Uning asosiy maqsadi, chegaralangan sifatli ma'lumotlar to'plamining vaqtincha boshqa taqsimot bilan mos kelishini tekshirishdir. Pearson kriteriyasi, obyektivlik va aniqlilik tamoyillariga asoslangan hisob-kitoblardan foydalanib, kritik qiymatlarni o'z ichiga oladi va natijalarni baholaydi. 2. Kolmogorov kriteriyasi (Kolmogorov-Smirnov test): Bu kriteriya, ma'lumotlar to'plamining bir taqsimotga mos kelishini tekshirish uchun ishlatiladi. Uning asosiy maqsadi, empirik taqsimot funksiyasi va teorik taqsimot funksiyasi orasidagi farqni aniqlashdir. Kolmogorov kriteriyasi, ma'lumotlar to'plamining joylashgan tartiblash bo'limlariga asoslangan, sifatli ma'lumotlarni ta'minlashga imkon beradi. U kritik qiymatlarni o'z ichiga oladi va natijalarni baholaydi Pearson kriteriyasi va Kolmogorov kriteriyasi, statistikada ma'lumotlar to'plamlarini tartibga solishda, taqsimotning qabul qilishga mos kelishini tekshirishda keng qo'llaniladigan usullardir. Ular asosan hisob-kitob, statistik hisoblash, tartiblanganlar va kritik qiymatlar orqali natijalarni baholash va gipotezalar haqida qaror qabul qilishga yordam beradi.	40. Taqsimоt haqidagi statistik gipotezalarni tekshirish. Taqsimot haqidagi statistik gipotezalarni tekshirish, ma'lumotlar to'plami haqida qaror qabul qilish uchun ishlatiladi. Gipotezalar, bir taqsimot haqida qo'llanilgan ma'lumotlar to'plamiga asoslangan to'g'ri yoki yolg'on qarorlardir. Statistik gipotezalarni tekshirish esa, bu gipotezalarning to'g'ri bo'lishini yoki rad etilishini aniqlashda qo'llaniladi. Statistik gipotezalarni tekshirish jarayoni ko'p bosqichlardan iborat bo'lishi mumkin, ammo asosiy bosqichlar quyidagilardir: 1. Gipotezlar tuzish: Gipotezlar tuzilishi, aniq gipotezalarni ifodalash va to'g'ri bo'lishini niyat qilishdan iborat bo'ladi. 2. Test statistikasini tanlash: Ma'lumotlar to'plamidan foydalanib, test statistikasini tanlash zaruridir. Test statistikasi, ma'lumotlardan olingan qiymatlarga asoslangan, gipotezalarning to'g'ri bo'lishini yoki rad etishini baholash uchun ishlatiladigan ma'lumotlar to'plami bilan hisoblanadi. 3. Kritik qiymatlarni tanlash: Kritik qiymatlar, test statistikasining kritik sohasini aniqlash uchun belgilanadi. Kritik qiymatlar, gipotezalar tafsilotlariga va hisob-kitoblarga asoslangan, aniqlilik darajasi va talablar bilan belgilanadi. 4. Testni amalga oshirish: Testni amalga oshirishda, ma'lumotlar to'plamidan foydalanib, test statistikasini hisoblab, uni kritik qiymatlar bilan solishtirish kerak. Natijalar, gipotezalar to'g'ri bo'lishini yoki rad etilishini aniqlash uchun qo'llaniladi. 5. Natijalarni baholash va qaror qabul qilish: Natijalar, gipotezalar tafsilotlariga va hisob-kitoblarga asoslangan, aniqlilik darajasi va talablar bilan baholangan bo'lishi kerak. Gipotez to'g'ri bo'lishi yoki rad etilishi haqida qaror qabul qilinishi mumkin. Statistik gipotezalarini tekshirish, ma'lumotlar to'plami haqida to'g'ri qaror qabul qilish va ma'lumotlar to'plamini rivojlantirishda keng qo'llaniladigan asosiy usullardan biridir. U statistikada aniqlilik va ishonchlilik darajasini baholash uchun muhimdir.
41. Kоrrеlyatsiоn va rеgrеssiоn tahlil. Korrelatsiya va regressiya statistikaning muhim konseptlari hisoblanadi va ma'lumotlar to'plamining o'rniga qaror qabul qilishda va ma'lumotlar analizida keng qo'llaniladi. 1. Korrelatsiya tahlili: Korrelatsiya, ma'lumotlar to'plamidagi o'zaro bog'liqlikning miqdorini ifodalaydi. Uning asosiy maqsadi, ikki o'zgaruvchining bir-biriga qanday bog'liqligini, ya'ni ularning qanday ko'rsatkichlikda o'zgarishini baholashdir. Korrelatsiya ko'rsatkichlari (-1 va 1 orasida bo'lishi mumkin) orqali o'zaro bog'liqlikning yo'nalishini va kuchini ifodalaydi. Pozitiv korrelatsiya, ikki o'zgaruvchining bir-biriga o'xshash yo'nalishda o'zgarishini ifodalaydi, negativ korrelatsiya esa ularning bir-biriga qarama-qarshi yo'nalishda o'zgarishini ifodalaydi. 2. Regressiya tahlili: Regressiya, bir o'zgaruvchini (kuzatilgan o'zgaruvchi) boshqa o'zgaruvchiga (boshqa o'zgaruvchi) bog'langanliklarini aniqlash uchun ishlatiladi. Regressiya modellari, kuzatilgan o'zgaruvchi asosida boshqa o'zgaruvchilarning qiymatlarini bashorat qilishda va boshqa o'zgaruvchi qiymatlari kiritilganda kuzatilgan o'zgaruvchining qiymatlarini bashorat qilishda qo'llaniladi. Regressiya modellari, ma'lumotlar to'plamidagi o'zaro bog'liqlikni ifodalaydi va qaror qabul qilishda va bashorotda foydalaniladi. Korrelatsiya va regressiya tahlili, ma'lumotlar to'plamidagi o'zaro bog'liqliklarni aniqlashda va prognostik modellarni rivojlantirishda keng qo'llaniladigan usullardir. Ular bizga ma'lumotlar to'plamining xossalari, o'zaro bog'liqliklari va kuzatilgan o'zgaruvchilar orasidagi munosabatlari haqida tushunish va bashorat qilishda yordam beradi.	42. Tasodifiy belgilar orasidagi funksional, statistik va kоrrеlyatsiоn bog`lanishlar. Kоrrеlyatsiоn bog`lanishning ikki asosiy masalasi. Shartli matematik kutilma, regressiya tenglamasi. Tasodifiy belgilar, funksional, statistik, korrelyatsiya va bog'lanishlari quyidagicha tariflash mumkin: 1. Tasodifiy belgilar: Tasodifiy belgilar, ma'lum bir hodisaga oid ma'lumotlar to'plamidagi qiymatlardir. Ular o'zlariga xos bo'lgan tasodifiy qiymatlar hisoblanadi va bitta o'zgaruvchi yoki ko'rsatkich tomonidan ifodalangan bo'lishi mumkin. 2. Funksional: Funksional, ma'lum bir tasodifiy belgani hisoblash uchun foydalaniladigan matematik ifodalashdir. Funksional ma'lumotlar to'plamidan ma'lum bir qiymat olish uchun foydalaniladi. Misol uchun, o'zgaruvchining o'rta qiymatini hisoblash funksional bo'lishi mumkin. 3. Statistik: Statistik, ma'lumotlar to'plamidagi tasodifiy belgilar haqida ma'lumotlar to'plamini tahlil qilish va tushuntirishning ilmiy fanidir. Bu, ma'lumotlar to'plamining xossalari, o'zgaruvchilarning ko'rsatkichlari, bog'lanishlar va qonuniyatlar haqidagi ma'lumotlarni olish, tahlil qilish va tushuntirishni o'z ichiga oladi. 4. Korelyatsiya bog'lanishi: Korelyatsiya, ikki o'zgaruvchining o'rtacha o'zgarishlari orasidagi bog'lanishni ifodalaydi. Korelyatsiya bog'lanishi, ikki tasodifiy belgini (o'zgaruvchini) o'rtacha qiymatlari bo'yicha baholaydi va ularning o'zaro bog'liqlik darajasini ifodalaydi. Pozitiv korelyatsiya, o'zgaruvchilarning bir-biriga o'xshash yo'nalishda o'zgarishini ifodalaydi, negativ korelyatsiya esa ularning bir-biriga qarama-qarshi yo'nalishda o'zgarishini ifodalaydi. Korelyatsiya koeffitsienti (-1 va 1 orasida bo'lishi mumkin) orqali ifodalangan. 5. Shartli matematik kutilma: Shartli matematik kutilma, bir o'zgaruvchining boshqa o'zgaruvchilar tomonidan tashkil etilgan matematik funksiyasini ifodalaydi. Shartli matematik kutilma, o'zgaruvchilar orasidagi bog'lanishlarni aniqlashda foydalaniladi va ularga o'zgaruvchilar orasidagi tartib va kuchlar haqida ma'lumot beradi. 6. Regressiya tenglami: Regressiya tenglami, bir o'zgaruvchining (boshqa o'zgaruvchiga ) bog'langanliklarini aniqlash uchun ishlatiladi. U o'zgaruvchilarning qiymatlari va ularga bog'langanlikni ifodalaydi. Regressiya tenglami, o'zgaruvchilarning o'zgarishlarini bashorat qilish, prognostik qilish va boshqa o'zgaruvchilar qiymatlari kiritilganda o'zgaruvchining qiymatlarini bashorat qilishda foydalaniladi. Korelyatsiya bog'lanishi va regressiya tenglami, tasodifiy belgilar orasidagi bog'lanishlarni tahlil qilishda muhim bo'lgan statistik usullardir. Korelyatsiya bog'lanishi, tasodifiy belgilarning o'zaro bog'liqlik darajasini aniqlashda yordam beradi, regressiya tenglami esa o'zgaruvchilar orasidagi bog'lanishlarni model qilish va bashorot qilishda foydalaniladi.