Элементар ҳодисалар тўплами саноқсиз бўлган эҳтимоллар фазоси

Элементар ҳодисалар тўплами саноқсиз бўлган эҳтимоллар фазоси. Алгебра ва алгебра. Ўлчовли фазолар
Режа:

1. 
   Алгебра ва алгебра.
   
2. 
   Лемма.
   
3. 
   Борель алгебра.
   

1. 
   Алгебра – аддитивлик таърифлари.
   
2. 
   Эҳтимоллар фазоси (кенгайтирилган маънода) ( -алгебра, таърифлари)
   
3. 
   Ўлчовли фазо, аддитивлик,
   
4. 
   Эҳтимоллар ўлчов хоссалари.
   
5. 
   Теорема асосий таърифлари.
   

1. - ихтиёрий тўплам (саноқли, саноқсиз)
Таъриф 1. Фараз қилайлик, ихтиёрий -бирор тўплам қисм тўпламлари системаси. -алгебра дейилади, агар
1)
2)
3)
бажарилса (2) шартда ёки , ёки бажарилишини талаб қилсак етарли, чунки

Таъриф 2: Фараз қилайлик ни қисм тўпламларидан иборат алгебра чекли оддитивлик ўлчов дейилади. Ихтиёрий

да аниқланган, қабул қиладиган қийматлар тўплами бўлган тўплам функция аддитивлик ўлчов дейилади, агарда ихтиёрий 2 та ўзаро кесишмайдиган ва м тўпламлар учун
бўлса

1. 
   Агар чекли аддитив ўлчов учун бўлса, у ҳолда чекли ўлчов дейилади.
   
2. 
   Агар бўлса, у ҳолда аддтив эхтимолликли ўлчов ёки аддитив эҳтимоллик дейилади.
   

2. Энди эҳтимоллар фазосига таъриф берамиз (кенгайтирилган маънода)
Таъриф 3. Қуйидаги учлик, қаерда
1) нуқталар тўплами.
2) -алгебра ­( ни қисм тўпламларидан иборат)
3) аддитивлик эҳтимоллик ( да аниқланган) кенгайтирилган маънода эҳтимоллар фазоси дейилади.
Таъриф 4.
1) ни қисм тўпламлари системаси алгебра дейилади, агарда алгебра бўлиб, қуйидаги шарт баарилса,
2) агар , саноқлита тўпламлар учун бўлса. (Бу ерда ҳам , ёки бўлса етарли)
3. Таъриф 5. фазо ва уни қисм тўпламларидан иборат. алгебра биргаликда, ўлчов фазо дейилади. Ҳамда ( ) билан белгиланади.
Таъриф. [ -ни қисм тўпламларидан иборат алгебрада аниқланган] чекли –аддитив ўлчов саноқли аддитив ( аддитив) ўлчов, ёки (шундай ўлчов) дейилади, агарда ихтиёрий , ,

бўлиб,

бажарилса,
1) чекли –аддитив ўлчов -чекли дейилади, агар , ни қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин бўлса,

2) аддитив ўлчов ( -алгебрада аниқланган) учун бўлса, у ҳолда эҳтимол чекли ўлчов ёки эҳтимолликли ўлчов эҳтимоллик дейилади.
4. Эҳтимолликли ўлчов хоссалари.


ва ,
у ҳолда

ва , у ҳолда
ўринли
Исбот.




Исбот.

B



A








ва


­Исбот.
аддитивлик }

ва бўлсин у ҳолда,

Исбот. Қуйидагича тўпламлар тузамиз:



ларни шундай тикладикки, улар ўзаро кесишмайдилар, яъни
ва
ҳамда иборат, у ҳолда
-аддитивлигидан}

5. Теорема. Фараз қилайлик (чекли) аддитив тўплам функция -алгебрада берилган ва бўлсин. У ҳолда қуйидаги 4 та шартлар эквивалент.
1) -аддитив ( эҳтимоллик)
2) юқоридан узлуксиз, яъни ихтиёрий шунақаки , у ҳолда
(1)
3) қуйидан узлуксиз, яъни ихтиёрий шунақаки , у ҳолда
(2)
4) нолда (0 да) узлуксиз, яъни ихтиёрий шунақаки бўлиб, у ҳолда
(3)
Исбот.
1) 2)



2) 3), яъни

(*)
тўпламлар кетма-кетлиги камаймайдиган тўпламлар ва тўпламлар хоссасидан

Шунинг учун 2) дан қуйидаги ўринли:
(**)



3) 4) табиий келиб чиқади, ҳақиқат ҳам

(3)
4) 1) у ҳолда

Лекин кетма-кетли тўплам.

камаювчи, яъни ёки

у ҳолда

4 дан

яъни

Қуйидаги асосий таърий Колмогоров аксиоматикаси дейилади. Асосий таъриф: учлик қаерда
нуқталар тўплами
алгебра ( нинг тўпламларидан тузилган)
да аниқланган эҳтимоллик.
Эҳтимоллар фазоси дейилади. Бу ерда элементар ҳодисалар фазоси дейилади, -тўплам ходиса дейилади, ходиса эҳтимоллиги дейилади.
Фараз қилайлик элементар ходисалар фазоси.
Қуйидаги тўпламлар системаси.

алгебра ҳам алгебра ҳам бўлади.
тривиаль, энг «камбағал» алгебра дейилади.
энг «бой» алгебра дейилади.
Агар у ҳолда
алгебра ( -алгебра) бўлади ва тўплам ҳосил қилган алгебра ( алгебра) дейилади.
Лемма. Фараз қилайлик ни қисм тўпламлар системаси бўлсин. У ҳолда бу тўпламлар системасини ўз ичига олган минимал алгебра (минимал алгебра ) мавжуд.
Исбот. ни барча қисм тўпламлари - алгебра ҳеч бўлмаганда битта ни ўз ичига олган алгебра ва алгебра мавжуд. билан тўпламлар системасини ўз ичига олган ихтиёрий алгебра ( алгебра) га тегишли тўпламлар системасини белгилаймиз. Бу системалар минимал алгебра ( алгебра) бўлишини осон кўриш мумкин.
Ўлчов фазоларни қуриш:
ўлчовли фазо.
Фараз қилайлик ҳақиқий сонлар ўқи ва учун ни деб шарт қўямиз ёки деб тушунамиз, чунки унинг тўлдирмасини бир хил кўринишда бўлишлигини таъминлаш учун шундай деб олинади.
Ўзаро кесишмайдиган чеклита кўринишидага интерваллар йиғиндисидан тузилган ( ни қисм тўпламларидан иборат) тўпламлар системасини орқали белгилаймиз, яъни
бўлади, агар

Бу тўпламлар системасига тўпламни алгебра бўлади, лекин алгебра бўлмайди чунки
, у ҳолда
алгебра бўлмайди.
дуб тўпламлар системасини ўз ичига олган миинмал алгебра ни белгилаймиз. Бу алгебрага Борель алгебра дейилади, унинг тўпламлари –Борель тўпламлари дейилади.
Агар орқали кўринишидаги I интерваллар системасини белгиласак ва билан ни ўз ичига олган минимал алгебрани белгиласак, у ҳолда бўлади, яъни Борель алгебра билан устма-уст тушади чунки кўринишидаги интервални ўзаро кесишмайдиган интерваллар йиғиндиси кўринишида ифодалаш мумкин.

Ҳақиқатдан ҳам ни элементлари шундай йиғинди кўринишида эди. Бундан устма-уст тушиш келиб чиқади.



Юқоридагилардан кўринадики Борель алгебра кўринишидаги интервалдан ташқари
(2) ,
интерваллар ҳам кирар экан, чунки




алгебрани кўринишда эмас балки (2) даги интервалларнинг ихтиёрий бири билан ҳам қурилса бўлади. ( ) учун белгилашлар ишлатилади.
3. ўлчовли фазо.
Фараз қилайлик ( ларни марта декарт кўпайтмаси)


бу тўпламни тўғри тўртбурчак деймиз, яъни

лар бу тўғри тўртбурчакнинг томонлари деймиз.
билан кўринишдаги барча тўғри тўртбурчаклар системасини белгилаймиз.
ни ўз ичига олган минимал алгебра ( тўғри тўртбурчаклар ҳосил қилган) Борель алгебра дейилади ва билан белгиланади. Унинг тўпламлари Борель тўплам дейилади.
Бу Борель алгебрани бошқача йўл билан ҳам қуриш мумкин.
Қуйидагича тўғри тўртбурчакларни оламиз, лар Борель тўпламлар.
чи ўриндаги даги Борель тўплам тўртбурчакларни системасини ўз ичига олган минимал алгебра
билан белгиланади ва алгебралар тўғри кўпайтмаси дейилади.
Бу иккита минимал алгебралар устма-уст тушади яъни

4. ўлчовли фазо.

яъни -тартибланган сонли кетма-кетликлар. Бу ерда алгебра қуйидагича қурилади.
билан кўринишдаги интервалларни ва билан чи ўриндаги хосил қилган Борель тўпламни белгилаймиз.
Қуйидаги цлиндрик тўпламларни кўрайлик.
(1)
(2)
(3)
бу ерда борель тўплам.
Бу цлиндрик тўпламлар системаси (2), (3) алгебра ташкил қилади.
Барча (1), (2), (3) кўринишдаги тўпламлар ўзз ичига олган минимал алгебрани мос равишда ва билан белгилаймиз.
Бу алгебралар ҳам устма-уст тушади.