Элементы дифференциального исчисления в банаховых пространствах

Теорема 12.4.1. Если — выпуклое множество банахова про­странства , — - непрерывно дифференцируемый на И функцио­нал, то для выпуклости его на И необходимо и достаточно, чтобы для любых выполнялось одно из следующих неравенств:

Следующая теорема формулирует необходимые и достаточные усло­вия минимума дифференцируемого функционала на выпуклом множе­стве.
Теорема 12.4.2. Пусть — выпуклое множество банахова про­странства В, а — непрерывно дифференцируемый на D функци­онал. Для того чтобы функционал достигал минимума в точке , т. е. необходимо выполнение нераненства
(12.4.3)
для всех . Если х* — внутренняя точка D, то условие (12.4.3) эквивалентно равенству . Если функционал , кроме того, выпуклый на D, то условие (12.4.3) является также и достаточным.
Пусть — функционал в гильбертовом пространстве . Если дифференцируем в точке , то его производная яв­ляется линейным непрерывным функционалом. По теореме Рисса су­ществует единственный элемент у такой, что для любых . Такой элемент называется градиентом функцио­нала в точке ж и обозначается .
Градиент определяет направление наискорейшего возрастания функ­ционала.
Рассмотрим в качестве примера функционал

где — дифференцируемый в точке оператор, и — гильбертовы пространства, — некоторая фиксирован­ная точка. Найдем формулу для градиента в точке . Преобразуем разность

Следовательно, . Если — линейный
непрерывный оператор, то ,

4. 
   Функциональные пространства
   

В подразделе 12.1.5 были приведены примеры функциональных пространств: пространства непрерывно дифференцируемых функций , пространства интегрируемых функций и пространства Соболева . В этом разделе пространства и будут рассмотрены для вектор-функций (пространства и ), а также для функций, отображающих интервал в произ­вольное банахово пространство (пространства и ). В подразделе 12.5.1 будут определены пространства Соболева и сформулирована теорема вложения Соболева в случае, когда область имеет регулярную границу.

1.