Элементы дифференциального исчисления в банаховых пространствах

12.3. Сопряженное пространство и сопряженный оператор

— линейный функционал на Если где — функционал (очевидно, линейный) на . Таким образом, каждому ставится в соответствие функ­ционал т. е. построен оператор Этот опера­тор называется сопряженным к оператору А, равенство записывается в виде . Функционалы в нормированных (или линейных) пространствах часто записывают в виде, аналогичном ви­ду функционала в гильбертовом пространстве: . Функцию , так определенную на , называ­ют скалярным произведением между и В частности, элементы х и называются ортогональными (в нормированном пространстве!), ес­ли . В этой форме равенство приобретает вид, аналогичный (12.3.1):
В случае банаховых пространств все свойства сопряженного опера­тора, справедливые для гильбертова пространства, сохраняются.

4. 
   Элементы дифференциального исчисления в банаховых пространствах
   

Пусть — оператор, действующий из одного банахова пространства в другое , с открытой областью определения . Возьмем фиксированный элемент и предположим, что суще­ствует такой непрерывный линейный оператор , что при любом
(12.4.1)
В этом случае говорят, что линейный оператор U является производной оператора А в точке и обозначают

Часто так определенную производную называют производной Гато, или слабой производной, а элемент — дифференциалом Гато.
Обозначим через множество всех с . Если предельное соотношение (12.4.1) выполняется равномерно относительно , то говорят, что оператор А дифференцируем в точке , а производную называют в этом случае производной Фреше или сильной производной. Сильную производную принято обозначать
Дифференцируемость оператора А в точке x₀ означает, иначе говоря, что существует такой линейный оператор , что при любом можно указать такое , что из следует


Укажем некоторые свойства производной.

1. 
   Если оператор А дифференцируем в точке , то его производ­ная определяется единственным образом.
   
2. 
   Если оператор А дифференцируем в точке , то он непрерывен в этой точке (одного предположения о наличии слабой производной недо­статочно) .
   
3. 
   Пусть Тогда, если существуют производные и , то существует и
   

При этом, если А и В дифференцируемы (по Фреше) в точке , то будет дифференцируемым и оператор С.

4. 
   Если , т. е. А — линейный непрерывный оператор, то А дифференцируем в каждой точке и
   
5. 
   Пусть А — оператор, переводящий открытое множество в открытое множество a В — оператор, отображающий мно­жество в некоторое банахово пространство . Положим , и пусть В дифференцируем в точке имеет производную в точке . Тогда оператор С имеет производную в точке и
   

Если А дифференцируем в точке , то С также дифференцируем: где

6. 
   Если в условиях предположения п. 5 оператор В непрерывен и линеен, то
   

Говорят, что оператор А дифференцируем на множестве если он дифференцируем в каждой точке этого множества.
Пусть в открытом множестве банахова пространства су­ществует производная А' оператора А, отображающего в банахово пространство . Производную А' можно рассматривать как оператор, отображающий в пространство . Поэтому имеет смысл го­ворить о производной этого оператора в точке , которую, если она существует, называют второй производной оператора А и обозна­чают . Если оператор А' дифференцируем, то говорят, что А дважды дифференцируем. Аналогично определяется третья производ­ная и т. д.
Рассмотрим теперь случай, когда оператор А действует из банахова пространства В в множество действительных чисел R, т. е. является функционалом.
Пусть — функционал, определенный на открытом мно­жестве . Дифференцируемость функционала в точке означает, что существует элемент , такой, что для любого Аге справедливо равенство
(12.4.2)
где при
Функционал называется непрерывно дифференцируемым на множестве D, если он дифференцируем на D и при для всех
Примером непрерывно дифференцируемого функционала является функционал определенный на гильбертовом простран­стве
Введенное понятие дифференцируемости позволяет сформулировать критерий выпуклости функционалов