Элементы дифференциального исчисления в банаховых пространствах

Функциональные пространства, используемые при рассмотрении стационарных краевых задач

Пусть — -мерное евклидово пространство и — открытое множество.
Пространства непрерывно дифференцируемых функций.
Определение 12.5.1. Через обозначается множество функ­ций , определенных на замыкании открытого множества и об­ладающих следующими свойствами:
1) функция является раз непрерывно дифференцируемой на
Если компактно, то является банаховым пространством относительно нормы
(12.5.1)
Сходимость последовательности по норме (12.5.1) означает равномерную сходимость всех производных порядка на компакте .
Множество непрерывных функций на обычно обознача­ют .
Определение 12.5.2. Через обозначается множество всех определенных и раз непрерывно дифференцируемых на открытом множестве функций с компактными (в ) носителями. Носите­лем непрерывной на функции называется множество
.
В соответствии с определением 12.5.2 обозначает множество бесконечно дифференцируемых на открытом множестве функ­ций с компактными (в ) носителями.
На множестве можно ввести локально выпуклую топологию с помощью системы полунорм (см. определение 12.1.41)
(12.5.2)
Здесь пробегает все семейства непрерывных функций на с локально конечными семействами носителей. Семейство носителей непрерывных на функций называется локально конеч­ным в , если каждое компактное множество в имеет непустые пере­сечения лишь с конечным числом множеств семейства.
Заметим, что суммирование в (12.5.2) при каждом фиксированном распространяется вследствие локальной конечности семей­ства только на конечное число мультииндексов .