Элементы теории множеств

Пустое множество – множество, которое не содержит ни одного элемента (обозначается символом ). Пустое множество можно определить любым противоречивым свойством, например = {х | x х}, в области множеств оно играет как бы роль нуля. Многие математические (и не только математические) проблемы можно сформулировать как задачи о пустоте некоторых множеств.
1.4. ПАРАДОКС РАССЕЛА
Задание множеств характеристическим предикатом может привести к противоречиям. Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: Y={X | X X}. Если такое множество существует, то можно ответить на следующий вопрос: принадлежит ли оно само себе. С одной стороны, если Y Y, то Y Y. С другой стороны, если Y Y, то Y Y. Получается неустранимое логическое противоречие, известное как парадокс Рассела. Это противоречие можно разрешить различными способами, в целом сводящимися к тому, что Y не является множеством.

1.5. ПОДМНОЖЕСТВА И ИХ СВОЙСТВА

Подмножество – это любая часть основного множества U. При этом элементы его подмножества A обладают некоторым дополнительным свойством P_а(х). Этот факт можно записать так: А = { xxU и P_а(х)} («А – это по определению множество всех тех и только тех х, которые принадлежат U и обладают свойством P_а»). Если, например, U – множество людей, а P_а – быть учащимся высшего учебного заведения, то А – множество студентов.
Если свойство, задающее некоторое подмножество, противоречит свойству, по которому задаётся само основное множество, то данное подмножество будет пустым , то есть не содержащим ни единого элемента.
Полная и пустая части всякого множества образуют его несобственные подмножества. Все остальные подмножества данного множества являются собственными.
Отношение между множеством M и любым его подмножеством A называется включением и обозначается символом : A M.
Отметим следующие свойства подмножеств, прямо вытекающих из определения.
а) Отношение включения любого собственного подмножества A (т.е. отличного от M) в множество M, называется собственным и обозначается : A M.
Выражение А  M (читается «А включено в M») означает, что множество А есть подмножеством множества M. При этом все элементы, принадлежащие А, будут также принадлежать и M. Однако в множестве M могут найтись элементы, не принадлежащие А. В этом случае множество А – собственное подмножество множества M, а M, в свою очередь, называется надмножеством. Можно также рассматривать и выражение M  А, которое читается «M включает в себя А».
Равными считаются множества A и B, состоящие качественно из одних и тех же элементов. Факт равенства множеств записывается так: А = B, неравенства А  B.
Выражение А  M обозначает включение в широком смысле, то есть А есть подмножеством M. При этом не исключено, что А = M. Можно также рассматривать и выражение M  А.
Два множества А и В равны тогда и только тогда, когда А  В, а В  А.
Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества M (пустой его частью).
Каждое непустое множество М является подмножеством самого себя: М М (Если свойства, которыми заданы некоторое множество и его подмножество, совпадают (одни и те же), то эти множества будут равны. Поэтому и считается, что множество является частью самого себя).
б) Отношение включения транзитивно, т. е. из A B и B C следует, что A C. Транзитивно также отношение собственного включения, т. е. из A B и B C следует, что A C.
в) Очень важно не смешивать отношения принадлежности (элемента) и включения (подмножества): если подмножество {а} М, то элемент а М, и наоборот; но из {a} М не следует {а} М (т.е. из того, что подмножество {a} включено в М, не следует, что элементом множества М будет множество {a}). Так, например, если М = {1, 2, {3, 4}}, то это означает, что 1 М и 2 М, {3, 4} M; но из {1, 2} M не следует, что элементом множества М будет множество {1,2}.
Отметим, что для рассмотренного множества M правильны следующие утверждения включения:
М, {1} М, {2} М, {{3, 4}} М, {1, 2} М, {1, {3, 4}} М,{ 2, {3, 4}} М, {1, 2, {3, 4}} М.
Другой пример. Пустое множество не имеет элементов х для любого объекта х. Между тем содержит одно подмножество, а именно само себя.
г) Если известно число элементов данного множества, то общее число подмножеств будет , где n – число элементов. Из пустого подмножества можно образовать только одно подмножество – само пустое множество (при n=0, )
Задача 1.5. Дано универсальное множество U = {1,2,3,…20} – натуральные числа от 1 до 20. Найти следующие подмножества:

1. 
   множество простых чисел;
   
2. 
   множество делителей числа 20;
   
3. 
   множество чисел, делящихся на 6;
   
4. 
   множество квадратов чисел;
   
5. 
   множество разностей предыдущего и последующего элементов универсума.
   

Решение.

1. 
   множество простых чисел: А = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Очевидно, что А  U;
   
2. 
   множество делителей числа 20: В = {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Здесь также В  U;
   
3. 
   множество чисел, делящихся на 6: С = {6, 12, 18}, C  U;
   
4. 
   множество квадратов чисел: D = {1, 4, 9, 16}. По условию задачи D  U, и мы должны рассмотреть лишь множество тех квадратов чисел, которые не выйдут за пределы универсума;
   
5. 
   множество Е = {x1- x2; x2- x3; …x19- x20}. Совершенно очевидно, что полученное множество не есть подмножеством данного универсума. Иными словами, предикат, по которому оно формируется, противоречит предикату универсума. Таким образом Е  V, хотя по условию Е  V. Значит Е = .
   

Задача 1.6. Среди следующих множеств указать равные: А = {3, 5, x, y}; B = {3, 2, 5, x, y}; C = {y, y, 5, 3, x, x}; D = {3, 4, 5, x, y}.
Решение. A = C, поскольку качественно оба множества состоят из элементов 3, 5, x и y. Количество элементов множества А равно 4. Множество В, на первый взгляд, содержит больше элементов. Однако среди них есть повторяющиеся: 2 раза х и столько же у. Для множества же неважно, сколько раз повторяется один и тот же элемент, важно лишь, чтобы элементы отличались друг от друга. Что же касается множеств B и D, то они не равны, так как содержат разные элементы. Можно лишь утверждать, что А  В, А  D, C  B и C  D.
Задача 1.7. Будут ли равны между собой множества А и В и, если нет, то почему?

1. 
   A = {1, (2, 5), 6} , B = {1, 2, 5, 6};
   
2. 
   A = {1, {2, 5}, 6} , B = {1, {5, 2}, 6};
   
3. 
   A = {1, {2, 7}, 6} , B = {1, (2, 7), 6};
   
4. 
   A = , B = {};
   
5. 
   A = {0}, B = {}.
   

Решение.

1.