Eng oddiy vektor maydonlari
Download 127.95 Kb.
|
988560 (1)
|
Kurs ishi Mavzu: " Eng oddiy vektor maydonlari " Moskva 2013 yil Tarkib Potensial vektor maydoni Solenoid vektor maydoni Vektor maydon potentsiali Garmonik vektor maydoni Markaziy skalyar va vektor maydonlari Dirixlet va Neyman muammolari Divergensiya va jingalak bo'yicha vektor maydonlarini qurish Savol va topshiriqlar Foydalanilgan adabiyotlar va manbalar ro'yxati Kirish
Hozirgacha biz skaler va vektor maydonlarida turli amallarni ko'rib chiqdik. Endi kiritilgan operatorlarning xossalaridan foydalanib, maydonlarning o'z xossalarini o'rganamiz. Vektor maydonlarining eng keng tarqalgan turlarini va ushbu sohalarni o'rganishda yuzaga keladigan muammolarni ko'rib chiqing. Tahlil shuni ko'rsatadiki, murakkabroq maydonlarni ko'pincha eng oddiy maydonlarning superpozitsiyasi sifatida ko'rsatish mumkin.
1. Potensial vektor maydoni Def.1. Vektor maydoni potentsial deb ataladi, agar u ba'zi bir skalyar funktsiyaning gradienti bo'lsa, ya'ni. tenglikka ega bo'ladigan skalyar funksiya mavjud . Funktsiya vektor maydon potensiali deb ataladi. Vektor maydon komponentlari potentsialning qisman hosilalaridir . T mintaqada potentsial bo'lishi uchun ushbu mintaqaning barcha nuqtalarida bog'liqlik zarur va etarli. . Isbot.
, keyin . Adekvatlik. Bizda ... bor . Stoks teoremasidan kelib chiqadi . Bundan kelib chiqadiki, integral ostidagi ifoda to'liq differentsialdir . Ularning aytishicha, maydon potentsial bo'lishi uchun u irrotatsion bo'lishi kerak. Oldingi bobda biz potentsial vektor maydoni uchun har qanday yopiq kontur bo'ylab aylanish nolga teng ekanligini ko'rsatdik. , va har qanday AB egri chizig'i ustidagi egri chiziqli integral integratsiya chizig'ini tanlashga bog'liq emas. . Ko'pincha muammo tug'iladi: berilgan potentsial maydon uchun potentsialni aniqlang . Ushbu muammoni hal qilishning turli usullari mavjud . Ulardan eng oddiyi nuqtadan ixtiyoriy nuqtaga egri chiziqli integralni hisoblashdir . . Ushbu iborani boshqa yo'l bilan yozish mumkin: , Bu yerda C integrallash doimiysini bildiradi. Misol 1. Vektor maydoni ekanligini isbotlang potentsialdir va bu sohaning salohiyatini aniqlaydi. Yechim. Vaziyatni ko'rsatish oson . Biz egri chiziqli integral va to'liq differentsialdan foydalanish bilan bog'liq potentsialni hisoblashning ikkita usulini taqdim etamiz. Birinchi usul. Biz rasmda ko'rsatilgan integratsiya chizig'ini tanlaymiz Bizda ... bor Ikkinchi usul. , , . bu nazarda tutadi . Shuning uchun . Javob: . 2-misol. Vektor maydoni ekanligini isbotlang potentsialdir va bu sohaning salohiyatini aniqlaydi. Javob: . 2. Solenoid vektor maydoni Def.1. T mintaqasida berilgan vektor maydoni, agar shart shu mintaqaning barcha nuqtalarida bajarilsa, solenoidal deyiladi. . Solenoidal maydon quvurli deb ham ataladi. Quyida biz ushbu sohada vektor maydonining ayrim xususiyatlarini tavsiflovchi va ma'lum xususiyatlarga ega vektor naychalarini yaratish mumkinligini ko'rsatamiz. Elektrostatikada elektr zaryadlarining zichligi elektr maydonining kuchi bilan bog'liq . , elektr doimiysi qayerda . Zaryadlar bo'lmasa, elektr maydon kuchi solenoidal vektor maydonini hosil qiladi. Vektor naychasini ko'rib chiqing. Buning uchun yopiq konturni tanlang va u orqali vektor trubkasini tashkil etuvchi vektor chiziqlarini torting. Ta'rif 1. Vektorli trubaning intensivligi bu trubaning kesma qismidan vektor maydonining oqimidir. . Teorema 1. Solenoidal vektor maydonining har qanday vektor trubasining intensivligi butun trubka bo'ylab doimiy. Isbot. Rasmda ko'rsatilgan vektor trubkasi elementi uchun biz Gauss-Ostrogradskiy teoremasini qo'llaymiz. . Biz integralni sirt ustida yig'indi sifatida ifodalaymiz . Yon sirt ustidagi integral nolga teng , chunki . Naychaning bo'limlaridan birida normaning yo'nalishini o'zgartirish orqali , olamiz
. F vektori sifatida tanlasak , bu teoremaning fizik ma'nosi shundan iboratki, bir xil miqdordagi suyuqlik quvurning istalgan bo'limidan vaqt birligida oqadi. Teorema 2. Solenoidal maydonda vektor naychalari maydon ichida boshlana olmaydi va tugamaydi. Isbot. Aksincha, vektor trubkasi M nuqtadan boshlanadi. Keyin shartdan kelib chiqadi , bu teorema shartlariga zid keladi. Binobarin, vektor trubkalari yo yopiq yoki boshlanib, T chegaralarida tugaydi. 3. Vektor maydon potensiali Teorema 1. T mintaqasida berilgan vektor maydoni solenoidal bo'lishi uchun bu maydon qandaydir vektor rotorining maydoni bo'lishi zarur va etarli, ya'ni. shuning uchun T mintaqasining barcha nuqtalarida shartni qanoatlantiradigan vektor mavjud bo'ladi . Isbot.
. Zaruriyat. Mayli . Shunday funksiya topamiz . Quyida funksiya noaniq aniqlanganligini ko'rsatamiz , shuning uchun bu funktsiyaga qo'shimcha shartlar qo'yilishi mumkin. Mayli . Keyin
, , . Keling, funksiyalarni tanlaylik , . Bu funksiyalar tenglamalar tizimini (1) qanoatlantirishini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham bor , , Darhaqiqat, tuzilgan funktsiya shartni qondiradi . Funktsiya vektor potensiali deb ataladi. Teoremani isbotlashda biz maydonning vektor potensialini aniqlash imkonini beruvchi usulni taklif qildik. Izoh 1. Agar funktsiya maydonning vektor potensiali bo'lsa , u holda funktsiya , bu yerda ixtiyoriy skalyar funksiya, shuningdek, maydonning vektor potensiali . Isbot. . Shuning uchun vektor potensiali noaniq tarzda aniqlanadi. 1-misol: Bu maydonni ko'rsating solenoidal va bu maydonning vektor potensialini toping. Yechim. Bizda bor . Keling, qo'ying . Hisoblash Javob: . Topilgan funksiya kerakli vektor potentsialdir. Keling, ushbu tasdiqni tasdiqlaylik, ya'ni. rotorni toping: . Shart bajarilgan. Bu maydonning vektor potentsiali ko'proq simmetrik funktsiya bo'lishi mumkinligini tekshirish oson . 2-misol: Bu maydonni ko'rsating solenoidal va bu maydonning vektor potensialini toping. Yechim. Bizda bor . Keling, qo'ying . Hisoblash Javob: Keling, tekshiramiz: . Shart bajarilgan. Bu maydonning vektor salohiyati ko'proq simmetrik funktsiyalar bo'lishi mumkinligini tekshirish oson , . Yuqoridagi misollardan ko'rinib turibdiki, bir xil maydon uchun vektor potensialining ifodalari sezilarli darajada farq qilishi mumkin. Buning sababi topilgan vektor potensialiga har qanday skalyar funksiyaning gradientini qo‘shish mumkin. 4. Garmonik vektor maydoni T mintaqasida aniqlangan vektor maydoni, agar ushbu mintaqaning barcha nuqtalarida shartlar bajarilsa, garmonik deyiladi. . Bu birinchi shartdan kelib chiqadi . Keyin ikkinchi shart nazarda tutiladi . Tenglama
Laplas tenglamasi, Laplas tenglamasini qanoatlantiradigan funksiya garmonik funksiya deb ataladi. ilovalarda uchraydi . Elektrostatika, tortishish nazariyasi, elastiklik nazariyasi, kontinuum mexanikasi va boshqalarda o'rganiladigan sohalar ko'pincha garmonikdir. Misol 1. Quyidagi funktsiyalar garmonik ekanligini ko'rsating: 1) , 2) , 3) , bu yerda , . Garmonik funksiyalarning ayrim xossalarini ko'rib chiqamiz. Bu xususiyatlar umumiy xususiyatga ega bo'lib, ko'pincha turli muammolarni hal qilishda qo'llaniladi. Teorema 1. Agar S sirt bilan chegaralangan T mintaqadagi garmonik funksiya bo lsa , bu funksiyaning normal hosilasining sirt integrali nolga teng bo ladi. . Isbot. Birinchi Green formulasini yozamiz . Mayli . Keyin Green formulasi shaklga keltiriladi . Teorema 2. Agar yopiq sirt S bilan chegaralangan T sohadagi ikkita garmonik funktsiya bo'lsa , u holda bu funktsiyalarning qiymatlari va ularning S dagi normal hosilalari bog'liqlik bilan bog'liq. . Isbot. Ikkinchi Green formulasini yozamiz . Agar ikkita garmonik funktsiya bo'lsa, u holda , Shuning uchun . Teorema 3. Agar T mintaqadagi garmonik funktsiya bo'lsa, u holda uning ushbu mintaqaning istalgan nuqtasidagi qiymatini funktsiya qiymatlari va S mintaqasi chegarasidagi normal hosilasi formulasi bo'yicha topish mumkin. . Isbot. Oldingi bobda biz formulani oldik . Keling , garmonik funktsiyani olaylik. Keyin va biz olamiz . , agar ushbu funktsiyaning qiymatlari va uning mintaqa chegarasidagi normal hosilasi ma'lum bo'lsa, funktsiya uchun Laplas tenglamasining yechimini beradi . qaysidir nuqtadagi qiymati funktsiyaning garmoniklik mintaqasiga to'liq tegishli bo'lgan nuqtada markazlashtirilgan R radiusli har qanday sferada bu funksiyaning o'rtacha qiymatiga teng. . Isbot. Shartdan bizda ... bor . Sferadagi normal hosila formulasi berilgan Va 3-teorema formulasidan foydalaning , olamiz
. , agar funktsiyaning sfera yuzasidagi qiymati ma'lum bo'lsa, funksiyani topish imkonini beradi . Teorema 5. T garmonik mintaqadagi bir xil doimiydan farq qiluvchi, S yopiq sirt bilan chegaralangan funksiya T mintaqasi ichida na maksimalga, na minimalga ega bo‘lishi mumkin emas. Isbot. Buning aksini faraz qilaylik. Faraz qilaylik, T mintaqasi ichida joylashgan nuqtada funksiya maksimalga ega bo'lsin. Biz bu nuqtani R radiusi etarlicha kichik shar bilan o'rab olamiz. Ushbu sohaning nuqtalarida, shart . 4-teoremaga asoslanib, biz yozishimiz mumkin Agar funktsiya doimiy bo'lmasa, biz qarama-qarshilikka keldik. Teorema isbotlangan. Oxirgi teoremadan muhim xulosalar kelib chiqadi. Xulosa 1. T garmonik mintaqadagi bir xil doimiydan farq qiluvchi funktsiya ushbu funktsiyaning S mintaqasi chegarasida o'zining maksimal va minimal qiymatlariga etadi . S chegarasida doimiy bo‘lgan garmonik funksiya butun sohada ham doimiy bo‘ladi. . 5. Markaziy skalyar va vektor maydonlari Keling, fizikada eng ko'p uchraydigan ba'zi sohalarni ko'rib chiqaylik. Shuningdek, biz ushbu maydonlarning misollari yordamida eng oddiy hisoblash usullarini ko'rsatamiz. Ta'rif 1. Skalar maydon faqat radiusga bog'liq bo'lsa, markaziy deb ataladi . Misol 1. Markaziy maydonning gradientini toping . Yechim. Bizda ... bor . Misol 2. Markaziy skalyar maydon uchun Laplas operatorini hisoblang. Yechim. . Misol 3. Elektr zaryadi potentsiali formula bilan aniqlanadigan maydon hosil qiladi . Bu maydon garmonik ekanligini ko'rsating. Yechim. Formuladan foydalanish , olish . Xuddi shu natijani 2-misoldagi kabi to'g'ridan-to'g'ri hisoblash yo'li bilan olish taklif etiladi. Izoh 1. Gravitatsion maydonning potentsiali (gravitatsiyaviy potensial) formula bilan aniqlanadi . Shuning uchun bu maydon ham garmonikdir. Ta'rif 2. Vektor maydoni, agar shaklga ega bo'lsa, markaziy deyiladi , bular. faqat masofaga bog'liq va radius bo'ylab yo'naltiriladi. 4-misol. Markaziy vektor maydonining divergensiyasi va jingalakligini toping. Yechim. , . Xulosa: markaziy vektor maydoni har doim potentsialdir. Markaziy maydon bo'ladigan funksiya toping garmonikdir. Yechim. Eslatib o'tamiz, agar shartlar mavjud bo'lsa, vektor maydoni harmonik deb ataladi . Markaziy vektor maydoni uchun jingalak har doim nolga teng. Divergensiya tenglamasini yozamiz . Bu tenglamaning yechimi funksiyadir , bu yerda ixtiyoriy doimiy. Javob: Ko'rinishning markaziy vektor maydoni garmonikdir. 6 . Dirixlet va Neyman muammolari Laplas tenglamasining yechimini topish masalasini ko'rib chiqaylik S mintaqasi chegarasida funksiyaning berilgan qiymati bilan T mintaqasida : . Bu muammo Dirixlet muammosi deb ataladi. Bu ko'pincha matematik fizikada uchraydi. 1-teorema (yagonalik teoremasi). Laplas tenglamasi T mintaqasida yagona yechimga ega, S chegarasida funksiya berilgan qiymatni oladi. Isbot. Laplas tenglamasining yechimini topish talab qilinadi chegara holati bilan . Faraz qilaylik, ikkita funktsiya mavjud va muammoning shartini qondiradi. Ularning farqi Laplas tenglamasini va nol chegara shartini ham qanoatlantiradi . Xulosa 2-ga asoslanib, biz bor , bular. funktsiyalari va mosligi. Neyman masalasini xuddi shunday shakllantirish mumkin: Laplas tenglamasining yechimini toping , skaler vektor maydon garmonik chegarada normal hosilaning berilgan qiymatiga ega bo'lgan funksiya uchun . Teorema 2. Neyman masalasining barcha yechimlari faqat doimiy qiymat bilan farq qilishi mumkin. Isbot. Laplas tenglamasining yechimini topish talab qilinadi chegara holati bilan . Faraz qilaylik, ikkita funktsiya mavjud va muammoning shartini qondiradi. Ularning farqi Laplas tenglamasini va nol chegara shartini ham qanoatlantiradi . Birinchi Green formulasini yozamiz , biz qo'ydik . Shartlarni hisobga olgan holda va , olamiz
. bu nazarda tutadi . E'tibor bering, biz chegaralangan domen uchun yagonalik teoremalarini isbotladik (ichki chegaraviy masala). Tashqi chegaraviy masala uchun ham shunga o'xshash mavjudlik va yagonalik teoremalarini shakllantirish mumkin, ammo ular murakkabroq. 7. Divergensiya va jingalak bo'yicha vektor maydonlarini qurish Vektor maydonini potentsial va solenoidal maydonlar yig'indisiga parchalash masalasini ko'rib chiqing. Bu muammo ko'pincha turli jismoniy sohalarni o'rganishda paydo bo'ladi. Vektor maydoni berilgan bo'lsin . Keling, ushbu maydonni potentsial va solenoid maydonlarning yig'indisi sifatida ifodalash masalasini qo'yaylik , Qayerda . Avval maydonni topamiz . Bu shartdan kelib chiqadi , bu yerda ixtiyoriy doimiy vektor. Bizda ... bor . Boshqa tomondan . Funksiyani aniqlash vazifasi tenglamani yechishgacha tushiriladi , yozuv qaerda . Tenglama
Puasson tenglamasi deb ataladi. Cheklangan fazo uchun Puasson tenglamasining yechimini formuladan olish mumkin , M va nuqtalar orasidagi masofa qayerda . Faraz qilsak , olamiz . Cheklanmagan mintaqa uchun ikkinchi integral yo'qoladi deb faraz qilamiz. Demak, . Shunday qilib, maydon ifoda bilan aniqlanadi . Maydon topamiz . Bizda ... bor . Shart shunday vektor potensialining mavjudligini nazarda tutadi . G ni tanlashda ma'lum bir o'zboshimchalik mavjud , shuning uchun biz qo'shimcha shart qo'yamiz , bular. vektor potensiali solenoidal vektor deb faraz qilamiz. Bizda ... bor . Formuladan foydalanish , olamiz
. G potentsialni aniqlash uchun bizda Puasson vektor tenglamasi mavjud , Qayerda
. Ushbu vektor tenglama uchta skalar tenglamaga teng: va potentsial maydon bilan bir xil tarzda hal qilinishi mumkin. Cheklangan hudud uchun Cheklanmagan hudud uchun biz olamiz . Funktsiya ifoda bilan aniqlanadi . Olingan natijani teorema shaklida yozamiz. Teorema 1. Ixtiyoriy vektor maydonini potentsial va solenoidal maydonlar yig'indisiga ajratish mumkin. Biz shuni ta'kidlaymizki, maydonlar ma'lum chegara shartlarini, shuningdek, integrallarning uzluksizligi va yaqinlashish shartlarini qondirishi kerak. Tegishli integrallarni hisoblash juda mashaqqatli protsedura bo'lib, biz u bilan shug'ullanmaymiz. 8.Savol va topshiriqlar 1. Vektor maydoni ekanligini isbotlang potentsialdir va bu sohaning salohiyatini aniqlaydi. Javob: . 2. Vektor maydoni ekanligini isbotlang potentsialdir va bu sohaning salohiyatini aniqlaydi. Javob: . 3. Qaysi qutini ko'rsating solenoidal va bu maydonning vektor potensialini toping. Javob: , . 4. Qaysi qutini ko'rsating solenoidal va bu maydonning vektor potensialini toping. Javob: , . Foydalanilgan adabiyotlar va manbalar ro'yxati 1. Tixonov A.N., Samarskiy A.A. Matematik fizikaning tenglamalari, Moskva: Moskva davlat universiteti, 1999, 798 p. 2. Kalnitskiy L.A., Dobrotin D.A., Zheverjev V.F. Oliy oʻquv yurtlari uchun oliy matematikaning maxsus kursi, M.: «Oliy maktab», 1976, 390 b. 3. Berman G.N. Matematik analiz kursidagi masalalar to'plami, M.: Nauka, 1985, 384 b. 5. V.S.ning «Umumiy fizika kursidan masalalar to‘plami»ning barcha yechimlari. Volkenstein, M.: Ast, 1999, 1-kitob, 430-bet, 2-kitob, 588-bet. 6. Krasilnikov O.M. Fizika. Kuzatish natijalarini qayta ishlash bo'yicha uslubiy qo'llanma. M.: MISiS, 2002, 29 b. 7. Suprun I.T., Abramova S.S. Fizika. Laboratoriya ishlarini bajarish bo'yicha ko'rsatmalar, Elektrostal: EPI MISiS, 2004, 54 p. Allbest.ru saytida joylashgan Download 127.95 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|