Funktsiya yoki akslantirish deyiladi. Agar ni o‘rniga bajarilsa ga qisman funktsiya

4-mavzu: Akslantirishlar va funksiyalar. In’yektiv, sur’yektiv, biyektiv funksiyalar.
Ta‘rif. munosabat uchun
1) , ,
2) , ekanligidan ekanligi kelib chiqsa
munosabatga A to‘plamdan B to‘plamga funktsiya yoki akslantirish deyiladi.
Agar ni o‘rniga bajarilsa ga qisman funktsiya deyiladi.
A dan B ga funktsiya yoki kabi belgilanadi, agar bo‘lsa, u holda yoki kabi yoziladi va funktsiya x elementga y elementni mos qo‘yayapti deb o‘qiladi.
Misol.. - munosabat funktsiya bo‘ladi.
- munosabat funktsiya bo‘lmaydi.
- munosabat funktsiya bo‘ladi va kabi belgilanadi.
Ta’rif. Agar munosabat qisman funktsiya bo‘lsa, ya’ni bajarilsa funktsiyaga turli qiymatli in’yektiv (inyektsiya) yoki birga- bir funktsiya deyiladi va kabi belgilanadi.
Ta’rif. Agar bo‘lsa, funktsiya A ning B ga funktsiyasi yoki syur’yektiv funktsiyasi (syur’yektsiya) deyiladi va kabi belgilanadi.
Ta’rif. Agar funktsiya A ni B ga turli qiymatli akslantirish bo‘lsa, u holda funktsiya A va B to‘plamlarning o‘zaro bir qiymatli mosligi yoki biyektiv funktsiyasi (biyektsiyasi) deyiladi.
Shunday qilib funktsiya in’yektiv va syur’yektiv bo‘lsa, biyektsiya bo‘ladi va kabi belgilanadi.
biyektsiya A to‘plamni o‘rin almashishi deyiladi. O‘rin almashishning eng sodda misoli bu funktsiya hisoblanadi.
Misol. . A = [ 0, 1 ], B = [ 0, 1 ] bo‘lsin.



₁ – funktsiya
bo‘lgani uchun syur’yektiv, topiladiki shuning uchun in’yektiv emas.
₂ – funktsiya
bo‘lgani uchun ₂ - o‘rin almashtirish, uchun shuning uchun in’yektiv, bo‘lgani uchun syur’yektiv. Ham in’yektiv, ham syur’yektiv bo‘lgani uchun biyektiv bo‘ladi.
₃ – funktsiya : uchun shuning uchun in’yektiv, lekin bo‘lgani uchun syur’yektiv emas.
₄ – funktsiya : topiladiki shuning uchun in’yektiv emas, bo‘lgani uchun syur’yektiv ham emas.
Misol. funktsiyalarni qaraylik.
1) funktsiya in’yektiv, lekin syur’yektiv emas.
2) funktsiya in’yektiv emas, lekin syur’yektiv.
3) funktsiya ham in’yektiv, ham syur’yektiv shuning uchun biyektiv bo‘ladi.
Teorema. 1) Agar , bo‘lsa, u holda
2) Agar bo‘lsa, u holda .
3) Agar , bo‘lsa, u holda .
4) Agar va g – turli qiymatli akslantirish bo‘lsa, u holda - turli qiymatli
Akslantirish bo‘ladi.
5) Agar , bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
6) Agar bo‘lsa, u holda , ,
.
Agar - akslantirish va bo‘lsa, u holda to‘plam X to‘plamning akslantirishi natijasida tasviri deyiladi va (X) kabi belgilanadi.
funktsiya ketma-ketlik deyiladi va uni yoki b₁, b₂, ...., b_n, ...b_{n ,} kabi belgilanadi.
A ni B ga akslantiruvchi barcha functsiyalar to‘plami B^A bilan belgilanadi. .
funktsiya A dan B ga n- o‘rinli funktsiya deyiladi, agar - - o‘rinli funktsiyaning (x₁, x₂,...., x_n) argument qiymatidagi qiymati bo‘lsa kabi yoziladi.
funktsiya A to‘plamda n - o‘rinli algebraik amal deyiladi. da - unar amal, da - binar amal deyiladi. bo‘lganda amal {( Ø,a)} biror bir uchun bo‘ladi. Ko‘p hollarda A da 0-o‘rinli amal {( Ø,a)} ni A da konstanta deb ataladi va a element bilan ifodalanadi.
Misol. Haqiqiy sonlarni qo‘shish amali 2 o‘rinli ya‘ni binar amal bo‘ladi, chunki bir juft (a, b) songa a+b sonni mos qo‘yadi.
R – to‘plamning ixtiyoriy ajratib ko‘rsatilgan elementi, masalan 0-o‘rinli amaldir, ya’ni R da konstantadir.
Ta’rif. {0, 1} qiymatlardan ixtiyoriy birini qabul qiladigan funktsiyaga binar funktsiya deyiladi.
Mantiq algebrasida binar funktsiyalar predikatlar yoki fikrlar funktsiyalari deb qaraladi va ularning qiymatlari mos ravishda “yolg‘on” yoki “rost” deb interpretatsiyalanadi.
Misol. Aytaylik elementlar dekart ko‘paytmasi va bo‘lsin Ф(z) (z=) functsiyani quyidagicha aniqlaymiz:

Ф(z) fikrlar funktsiyaning 1 ga teng bo‘ladigan qiymatlarini aniqlaydigan lar to‘plamini Z deb olsak, u holda Z={<1,1>, <2,2>, <3,3>, <4,4>} bo‘lib, X ni Y ga chiziqli biyektsiyasini tashkil qiladi.