Eng quvvatli mezonlar. Neyman pirson mezoni Reja: Matematik statistika Neyman Pirson mezonlari

Eng quvvatli mezonlar. Neyman pirson mezoni
Reja:

1. 
   Matematik statistika Neyman Pirson mezonlari.
   
2. 
   Ketma-ket tanib olish tartib-qoidalari
   
3. 
   Pirsonning Xi kvadrat mezoni
   

Xulosa
Foydalanilgan adabiyolar

Signalni aniqlash uchun Bayesiya qoidalarining muhim kamchiliklaridan biri bu kuzatuvchi ixtiyorida bo'lishi kerak bo'lgan ob'ekt holatining yo'qotilishi va ehtimolligi to'g'risida apriori ma'lumotlarning katta miqdori. Ushbu nuqson, aniq bir mintaqada nishon borligi va soxta signal yoki nishonni yo'qotib qo'yishi sababli yo'qotish ehtimoli priori ehtimolini ko'rsatib berish juda qiyin bo'lganida, radioelementlarni aniqlash muammolarini tahlil qilishda eng aniq namoyon bo'ladi. Shuning uchun, bunday muammolarda, Bayes mezonining o'rniga, odatda Neyman-Pirson mezonidan foydalaniladi. Ushbu mezonga ko'ra, noto'g'ri signal xavfi berilgan qiymatdan oshmasligi sharti bilan signalni o'tkazib yuborish ehtimolligining minimal qiymatini (to'g'ri aniqlashning maksimal ehtimoli) ta'minlaydigan aniqlash qoidasi tanlanadi. Shunday qilib, optimal, Neumann-Pearson mezoniga ko'ra, aniqlash qoidasi minimallashtiriladi

Ma'lumotlarni ishlashning maqbul protsedurasini topish uchun (3.13) shartga bo'ysunadigan shartli ekstremum (3.12) uchun muammoni shartsiz ekstremum uchun muammoga aylantiramiz. Shu maqsadda biz Lagranj multiplikatori usulidan foydalanamiz. Lagrange multiplikatorini tanishtiramiz va Lagrange funktsiyasini yozamiz formulani chiqarishga o'xshash transformatsiyalardan so'ng (3.14) munosabati quyidagicha yozilishi mumkin:.
Olingan ifodani (3.5) formulasi bilan taqqoslash shuni ko'rsatadiki, agar biz tanqidiy mintaqa sifatida tengsizlikni qondiradigan nuqtalar to'plamini tanlasak, Lagranj funktsiyasining minimal darajasiga erishamiz.
Bunday holda, pol qiymatini ko'rsatadigan multiplikatorni (3.13) shartdan, noto'g'ri signalning ehtimoli berilgan qiymatga teng deb topish kerak.
(3.15) va (3.8) -ni taqqoslash natijasida biz xulosa qilishimiz mumkinki, Neumann-Pirson mezoni ma'nosida aniqlashning maqbul qoidasi Bayesikidan faqat ehtimollik nisbati taqqoslanadigan pol darajasining qiymati bilan farq qiladi.
Detektorni (3.15) qurish misolida gipotezani sinash masalasini ko'rib chiqing:
muqobil bilan
Bunday muammo foydali signal paydo bo'lishi bilan oddiy shovqinning o'rtacha qiymati o'zgarishini keltirib chiqarganda paydo bo'ladi. Mustaqil o'qishlar bilan kiritish jarayonining ehtimollik koeffitsienti quyidagicha yozilishi mumkin
Logaritmni olganimizdan so'ng biz quyidagi signallarni aniqlash algoritmini olamiz: va chegara darajasi shartdan tanlanadi
Neyman - Pirson mezonlari
Jak-Bera mezonining kamchiliklaridan biri shundaki, u odatiylik masalasini hal qilishga qaratilgan faqat namunaning tashqi statistik xususiyatlariga asoslanib taqsimlash bir lahzalituri. Ustida mashq qilishnamunaning ichki tuzilishini o'rganish katta qiziqish uyg'otadi. Buning uchun maqsadlarchastota xarakteristikalari apparati, shu jumladan aniqlash va tahlilmutlaq, nisbiy va to'plangan qiymatlar empirikchastotalar.
Namunaning ichki tuzilishini o'rganish bir xillik sinflarini aniqlashdan boshlanadi, ularning sonini Sturges formulasi (8.4) yordamida aniqlash mumkin. Tanlovdagi elementlarning har biriga to'g'ri keladigan soni TO sinflar, mutlaq empirik chastotalar V qiymatlarini aniqlaydi, men = 1,TO.
Har bir sinf namunaviy qiymatlar oralig'iga to'g'ri keladi, ularning kengligi (barcha intervallar uchun bir xil) quyidagicha aniqlanadi:
bu erda D \u003d (x max - x min) - bu omil o'zgaruvchanligi oralig'i X.
Intervallar chegaralari)
Mezonlar (yun. mesos — oʻrta oraliq) — oʻzaro kuchli taʼsirlashadigan zarralar (adronlar) qatoriga kiradigan beqaror elementar zarralar. M. barion zaryadi yoʻqligi va nolga teng yoki butun sonli spinga ega boʻlgan barionlardan farq qiladi. Dastlab kashf etilgan p- va K-mezonlar massasining proton hamda elektron massalari oraligʻida turishi bu elementar zarralarning M. deb atalishiga sabab boʻlgan. ya-mezon va K-mezonning atom yadrolari, shuningdek, nuklonlar bilan oʻzaro taʼsiri elektromagnit oʻzaro taʼsirga nisbatan juda kattadir. M.ning koʻpchiligi kosmik nurlarning atom yadrolari bilan toʻqshanuvini oʻrganishda aniqlangan.
M.ning umumiy va asosiy xossalaridan biri, ularning oʻz-oʻzidan yemirilish (parchalanish) xususiyatidir. M.ning atom yadrolari, nuklonlar va boshqa elementar zarralar bilan taʼsirlashuvi va sochilishidan elementar zarralar strukturam, taʼsir parametrlari, rezonans zarralar, oʻzaro taʼsirdagi zarralar xossalari kabi muhim natijalar olingan.
Asimptotik tanlash mezonlari. Xarakteristikaga asoslangan simmetriya va moslik testlarining asimptotik xususiyatlari. Cheklangan kutish bilan diskret taqsimotlar entropiyasi
Shu sababli, statistik gipotezalarni tekshirishni ishlab chiqish usullaridan biri "empirik" mezonlarni qurish usuliga aylandi, bunda tuzilgan mezon statistikasi ma'lum bir printsipga, aqlli g'oyaga yoki sog'lom fikrga asoslanadi, lekin uning optimalligi kafolatlanmaydi. Gipotezalarni ma'lum bir muqobil sinfga nisbatan sinab ko'rishda bunday statistik ma'lumotlardan foydalanishni oqlash uchun, ko'pincha usul bilan .
Belgilanishga asoslangan simmetriyaning asimptotik xususiyatlari va yaxshilik mezonlari (insho, kurs ishi, diplom, nazorat)
Ushbu dissertatsiyada taqsimotlarning xarakteristikalari asosida moslik va simmetriya testlari tuziladi va tekshiriladi va ularning asimptotik nisbiy samaradorligi bir qator alternativalar uchun hisoblanadi.
Statistik testlarni qurish va ularning asimptotik xususiyatlarini o'rganish eng muhim muammolardan biridir. matematik statistika... Oddiy gipotezani oddiy muqobilga qarshi tekshirishda muammo Neumann-Pirson lemmasi yordamida hal qilinadi, ma'lumki, u berilgan darajadagi barcha mezonlar sinfida optimal (eng kuchli) mezonni beradi. Bu ehtimollik nisbati uchun mezondir.
Biroq, murakkab gipotezalarni sinab ko'rish yoki murakkab muqobil variantlarni ko'rib chiqish bilan bog'liq bo'lgan gipotezalarni sinab ko'rishning amaliyot uchun qiyinroq va muhim muammolari uchun bir xilda eng kuchli mezonlar kamdan-kam uchraydi va ehtimollik nisbati mezonining roli sezilarli darajada o'zgaradi. Ehtimollik nisbati statistikasini odatda aniq hisoblab bo'lmaydi, u optimallik xususiyatini yo'qotadi va uning taqsimlanishi o'zgarishlarga beqaror. statistik model... Bundan tashqari, statistik ko'pincha alternativning turini aniqlay olmaydi, ularsiz parametrik mezonlarni qurish o'z ma'nosini yo'qotadi.
Shu sababli, statistik gipotezalarni tekshirishni ishlab chiqish usullaridan biri "empirik" mezonlarni qurish usuliga aylandi, bunda tuzilgan mezon statistikasi ma'lum bir printsipga, aqlli g'oyaga yoki sog'lom fikrga asoslanadi, lekin uning optimalligi kafolatlanmaydi.
Bunday statistik ma'lumotlarga tipik misollar: belgilar statistikasi, Pirson x2 statistikasi (1900), empirik va haqiqiy taqsimot funktsiyalari o'rtasidagi bir xil masofani o'lchaydigan Kolmogorov statistikasi (1933), Kendallning darajali korrelyatsiya koeffitsienti (1938) yoki Bikel-Rozenblatt (1973) ) yadroviy zichlik xavfini kvadratik baholashga asoslangan statistik ma'lumotlar. Hozirgi vaqtda matematik statistikada kelishik, simmetriya, bir jinslilik, tasodifiylik va mustaqillik gipotezalarini sinab ko'rish uchun ko'plab o'nlab "empirik" statistik ma'lumotlar mavjud bo'lib, adabiyotlarda doimiy ravishda ushbu turdagi statistikalar ko'proq taklif qilinmoqda. Ularning aniq va chegaraviy taqsimotlarini, yaqinlashish tezligini baholashni, katta og'ishlarni, asimptotik kengayishlarni va boshqalarni o'rganishga katta adabiyotlar bag'ishlangan.
Gipotezalarni muqobillarning ma'lum bir sinfiga nisbatan sinab ko'rishda bunday statistik ma'lumotlardan foydalanishni oqlash uchun ularning kuchi ko'pincha statistik modellashtirish orqali hisoblanadi. Biroq, har qanday izchil mezon uchun quvvat namuna hajmining ortishi bilan birlikka intiladi va shuning uchun har doim ham informatsion emas. Statistikaning qiyosiy xususiyatlarini chuqurroq tahlil qilish asimptotik nisbiy samaradorlik (AOE) kontseptsiyasi asosida amalga oshirilishi mumkin. 20-asr oʻrtalarida E.Pitman, J.Xodjes va E.Leman, R.Bahodur, G.Chernov, V.Kallenberglar tomonidan AOE ni hisoblashning turli yondashuvlari taklif qilingan, AOE nazariyasining rivojlanishi natijalari. 90-yillarning o'rtalarida monografiyada jamlangan. Yangi mezonlarni sintez qilish nafaqat ularning xususiyatlarini tahlil qilish, balki ularning sifatini baholash va ularni amaliyotda qo'llash bo'yicha asosli tavsiyalar berish uchun AEOni hisoblash bilan birga bo'lishi kerakligi umumiy qabul qilinadi.
Ushbu maqolada biz teng taqsimlanish xususiyati bo'yicha taqsimotlarni tavsiflash asosida mezonlarni qurish g'oyasidan foydalanamiz. Xarakterlash nazariyasi D.Polyaning 1923-yilda nashr etilgan asaridan kelib chiqadi.Soʻngra u I.Martsinkevich, S.N.Bernshteyn, E.Lukach, Yu.V.Linnik, A.A.ning asarlarida rivojlandi. Xonanda, J. Darmois, V.P.Skitovich, S.R. Pao, A.M. Kagan, J. Galambos, S. Kotz, L. B. Klebanov va boshqa ko'plab matematiklar. Ushbu mavzu bo'yicha adabiyotlar juda katta va hozirgi vaqtda xarakteristikaga bag'ishlangan bir nechta monografiyalar mavjud, masalan,,,,,,,.
Teng bo'lish xususiyatiga ko'ra xarakteristikalar asosida statistik testlarni qurish g'oyasi Yu.V.Linnikga tegishli. O'zining keng qamrovli ishining oxirida u shunday yozgan: «. ikkita mos keladigan gi (xi> .xr) va q2 (x, ¦¦¦¦xr) va statistik ma'lumotlarning bir xil taqsimlanishiga asoslangan murakkab gipotezaga ega bo'lgan namuna uchun moslik testlarini qurish masalasini ko'tarish mumkin. Shunday qilib, savolni bir xillik mezoniga qisqartiradi.
Keling, bunday yondashuv qanday ishlashini aniq bir misol bilan tushuntirish uchun klassik Polya teoremasiga qaytaylik. Eng sodda shaklda bu teorema quyidagicha tuzilgan.
Polya teoremasi. X va Y ikkita mustaqil va teng taqsimlangan markazlashtirilgan c bo'lsin. v. Keyin s. v. (X + Y) // 2 va X teng taqsimlanadi, agar X ning taqsimot qonuni normal bo'lsa.
Faraz qilaylik, bizda Xi,., Xn markazlashtirilgan mustaqil kuzatishlar namunasi bor va bu tanlamaning taqsimlanishi o‘rtacha 0 va ba’zi dispersiya bilan normal qonunga tegishli degan (murakkab) nol gipotezani sinab ko‘rmoqchimizBiroq, Yu.V.Linnikning g'oyasiga asoslangan ushbu qurilish, ehtimol, qurilishdagi texnik qiyinchiliklar va natijada olingan mezonlarni tahlil qilish tufayli deyarli hech qanday rivojlanish olmadi. Yana bir sabab, ehtimol, teng taqsimlanish xususiyatiga ko'ra taqsimotlarning tavsiflari juda kam va juda uzoqdir.
Bizga u yoki bu darajada Yu.V.Linnik g‘oyasini rivojlantirishga bag‘ishlangan bir nechta asarlargina ma’lum. Bular Baringxaus va Xenze va Mulier va Nikitinning asarlari bo'lib, ular quyida muhokama qilinadi. Yana shunday ishlar ham borki, ularda aniq taqsimotlar uchun moslik mezonlari ham xarakteristikalar asosida qurilgan, lekin teng taqsimlash asosida emas, masalan,,,,,,,,.
Ko'pincha adabiyotda xotira etishmasligi xususiyatining turli xil variantlari bo'yicha eksponensial taqsimotning tavsifi qo'llaniladi.
Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu ishlarning deyarli barchasida (ehtimol bundan mustasno) ko'rib chiqilgan mezonlarning AEO hisoblanmaydi yoki muhokama qilinmaydi. Ushbu dissertatsiyada biz nafaqat xarakteristikalar asosida ma'lum va tavsiya etilgan mezonlarning asimptotik xususiyatlarini o'rganamiz, balki Bahodirga ko'ra ularning mahalliy aniq (yoki taxminiy) AOE ni ham hisoblaymiz.
Keling, AEO tushunchasiga ta'rif beramiz. (Tn) va (1 ^) X,., Xn namunasidan Pg taqsimoti bilan tuzilgan ikkita statistik ketma-ketlik bo'lsin, bu erda v € 0 S R1 va nol gipoteza Ho tekshiriladi: 9 € v S v muqobilga nisbatan A: v € & copy-x = & copy-6o. Mm (a, P, 0) eng kichik tanlama kattaligi X [,., Xn bo'lsin, buning uchun ma'lum bir ahamiyatga ega bo'lgan ketma-ketlik (Tn) a> 0 quvvatga etadi / 3< 1 при альтернативном значении параметра в € (c)1- Аналогично вводится в). Относительной эффективностью критерия, основанного на статистике Тп, по отношению к критерию, основанному на Уп, называется величина равная обратному отношению указанных выборочных объемов:
Uchta argumentning funktsiyasi sifatida nisbiy samaradorlikni hatto eng oddiy statistika uchun ham aniq hisoblash mumkin emasligi sababli, chegaralarni hisobga olish odatiy holdir:
Pett, y (a, / ?, 0), Htet, y (a, / 3.0).
Birinchi holda, Bahodir bo'yicha AOE olinadi, ikkinchi chegara Xodges-Leman bo'yicha AOE ni aniqlaydi va uchinchisi Pitman bo'yicha AOE ni aniqlashga olib keladi. Amaliy qo'llanmalarda eng qiziq bo'lganlar past ahamiyatlilik darajasi, yuqori kuchlar va yaqin alternativalar bo'lganligi sababli, uchta ta'rif ham oqilona va tabiiy ko'rinadi.
Ushbu ishda mezonlarni solishtirish uchun biz Bahodirga ko'ra AEO dan foydalanamiz. Buning bir qancha sabablari bor. Birinchidan, Pitman samaradorligi asosan asimptotik normal statistik ma'lumotlar uchun mos keladi va bu holatda u mahalliy Bahodir samaradorligiga to'g'ri keladi. Biz nafaqat asimptotik normal statistikani, balki kvadratik turdagi statistikani ham ko'rib chiqamiz, buning uchun marjinal taqsimot nol gipoteza ostida odatdagidan keskin farq qiladi, shuning uchun pitman samaradorligi qo'llanilmaydi. Ikkinchidan, Xodges-Lemann AEE ikki tomonlama mezonlarni o'rganish uchun yaroqsiz, chunki ularning barchasi asimptotik jihatdan optimal bo'lib chiqadi va bir tomonlama mezonlar uchun bu AEE odatda mahalliy darajada Bahodur AEO bilan mos keladi. Uchinchidan, yaqinda Bahodirga ko'ra AEOni hisoblashda hal qiluvchi ahamiyatga ega bo'lgan test statistikasi uchun katta og'ishlar sohasida sezilarli yutuqlarga erishildi. So'nggi maqolalarda tasvirlangan u - va V - statistikasining katta og'ishlarini yodda tutamiz va.
Endi biz dissertatsiya mazmunining umumiy ko'rinishiga murojaat qilamiz. Birinchi bob yordamchidir. Unda Bahodir boʻyicha 11-statistika nazariyasi, katta ogʻishlar nazariyasi va asimptotik samaradorlik nazariyasidan zaruriy nazariy va texnik maʼlumotlar keltirilgan.
2-bob simmetriya gipotezasini tekshirish mezonlarini qurish va tadqiq qilishga bag'ishlangan. Baringxaus va Xenze quyidagi elementar xarakteristikalar asosida simmetriya testlarini qurish g'oyasini taklif qilishdi.
X va Y uzluksiz d.f boʻlgan n.d.s.s. boʻlsin. Keyin | X | u | maksimal (X, Y) | teng taqsimlanadi, agar X va Y nolga nisbatan nosimmetrik taqsimlangan bo'lsa.
Biz ushbu xarakteristikani simmetriya uchun yangi mezonlarni yaratish uchun ishlatamiz. Eslatib o'tamiz, simmetriyaning bir nechta klassik mezonlari (4-bobga qarang) simmetriyani yanada ko'proq tavsiflashga asoslangan. oddiy mulk X va -X ning teng taqsimlanishi.
Keling, Baringhaus-Henze tavsifiga qaytaylik. X,., Xn mushohadalar uzluksiz d.f bo'lsin.
H0: OD = 1 -0 - qiyshiq alternativ, ya'ni g (x-b) = 2f (x) F ($ x), b> 0 - Lehman alternativi, ya'ni G (x-, 6) = F1 + e (x), 6> 0 va ifloslanishga muqobil, ya'ni G (x-6) = (1 - 6) F (x) + 6Fr + 1 (x), v> 0, g> 0, bu erda F (x) va f (x) df va ba'zi simmetrik taqsimotning zichligi.
Yuqoridagi xarakteristikaga muvofiq |Xj |,., Xn, n ga asoslangan empirik d.f. tuziladi.
Hn (t) = n ~ 2 J2 Tmax (X ^ Xk)
X uY manfiy bo'lmagan va degenerativ bo'lmagan l.i.d.s.lar bo'lsin. F va 0 bo'lsin< а < 1. Тогда X и min (^, —) одинаково распределены тогда и только тогда, когда F есть ф.р. экспоненциального закона.
Muvofiqlik mezonining o'zini qurish va uning asimptotik xususiyatlarini o'rganishdan tashqari, yangi mezonning AEO ni hisoblash va uning a parametriga bog'liqligini o'rganish qiziqish uyg'otadi.
Ushbu xarakteristikaning ikkinchi umumlashtirilishi Desga bog'liq. Biz uni keyingi ishlar asosida shakllantiramiz:
Xi,., Xm, m> 2 manfiy va degenerativ boʻlmagan i.s.lar boʻlsin. r.v. nolda differensiallanuvchi d.f.ga ega. F. U holda X va m (minpfi,., Xm) statistik ma’lumotlar bir xil taqsimlanadi, agar F a d.f bo‘lsa. eksponensial qonun.
Xx,., Xn d.f bilan mustaqil kuzatishlar bo'lsin. Yuqorida ifodalangan xarakteristikalar asosida, biz (7 ko'rsatkich qonunining bir df bo'lgan P, muqobil H ga qarshi, C PH? zaif ostida bo'lganligidan iborat bo'lgan Ho eksponensialligi gipotezasini sinab ko'rishimiz mumkin. qo'shimcha shartlar.
Ushbu tavsiflarga muvofiq empirik d.f. tuziladi. n = pvd< О (°-0−3) 1 и -статистические ф.р. п-2 ± (* ^ < 4} + ^{тш (?, < «}), 1 П
Eksponensiallikni tekshirish mezonlarini statistikaga asoslashni taklif qilamiz: ncp = - c & bdquo - (*)] aop (1).
Variant sifatida biz eksponentlikni tekshirish bo'yicha adabiyotda qo'llaniladigan standart alternativalarni tanlaymiz: Weibull alternativasi d (x) = (s + 1) heexp (- x1 + s), x ^ 0 - Makehamning d (x) bilan alternativi = ( 1 + 0 (1 - exp (-x))) exp (-x - 0 (exp (-x) - 1 + x)), x ^ 0 q (x) bilan ishlamay qolish tezligi funksiyasining chiziqliligiga muqobildir. ) = (1 + bx) exp [-zh - ^ bx2], x
Yuqorida taklif qilingan ikkita statistika uchun cheklovchi taqsimotlar nol gipoteza ostida yoziladi:
3.2.1 teorema U £ statistikasi uchun n - * oo sifatida Ds (a) (3.2.2) da aniqlangan munosabat. 3.3.1 teorema ē -> oo ko'rinishidagi statistik ma'lumotlar uchun quyidagi bog'liqlik amal qiladi:
W0, (m + 1) 2A1 (m)), bu erda D4 (m) (3.3.6) da aniqlanadi.
Ikkala statistik ma'lumotlar a va m parametrlariga bog'liq bo'lganligi sababli, biz Bahodir bo'yicha AOE parametrlarining qaysi qiymatlarida maksimal darajaga etishini aniqlaymiz va bu qiymatlarni topamiz. Bundan tashqari, biz nuqtada maksimalga erishiladigan muqobil tuzamiz va ph ½.
To'rtinchi bob normallik gipotezasini tekshirishga bag'ishlangan. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikaning markaziy qonunlaridan biri sifatida normal qonunning ko'plab tavsiflari mavjud va ikkita monografiya faqat ushbu masalaga bag'ishlangan. Biz taniqli xarakteristikaning biroz soddalashtirilgan versiyasini ko'rib chiqamiz va:
Xr, X2,., Xm markazlashtirilgan i.r.r.r.v.ga ega boʻlsin. a, a-2,., am konstantalari 0 ga teng< а* < 1 и = 1. Тогда статистики Х и одинаково распределены тогда и только тогда, когда F (x) = Ф (х/а), то есть F — ф.р. нормального закона с нулевым средним и некоторой дисперсией, а > 0.
X,., Xn d.f bilan namuna bo'lsin. G. Ushbu xarakteristikaga asoslanib, R0 asosiy gipotezani tekshirishimiz mumkin, ya'ni G a d.f. normal qonun Fa (x) = F (x / a), muqobil Hi ga qarshi, bu G F Fa. Odatiy empirik d.f. tuzilgan. Gn va V-statistik d.f. n ^
Bm, n (t) = n ~ t (E 1 + - +< *}),
1. & iquest-t = 1 s
Bu erda va undan keyin belgi, va indekslarning barcha almashtirishlari bo'yicha yig'indini bildiradi. Oddiylikni tekshirish mezonlari quyidagi statistik ma'lumotlarga asoslanishi mumkin:
B, n = D dGn (t), J -00 oo
BmAt) -Gn (t)] dGn (t), oo

Xulosa:
Gipotezalarni muqobillarning ma'lum bir sinfiga nisbatan sinab ko'rishda bunday statistik ma'lumotlardan foydalanishni oqlash uchun ularning kuchi ko'pincha statistik modellashtirish orqali hisoblanadi. Biroq, har qanday izchil mezon uchun quvvat namuna hajmining ortishi bilan birlikka intiladi va shuning uchun har doim ham informatsion emas. Statistikaning qiyosiy xususiyatlarini chuqurroq tahlil qilish asimptotik nisbiy samaradorlik (AOE) kontseptsiyasi asosida amalga oshirilishi mumkin. 20-asr oʻrtalarida E.Pitman, J.Xodjes va E.Leman, R.Bahodur, G.Chernov, V.Kallenberglar tomonidan AOE ni hisoblashning turli yondashuvlari taklif qilingan, AOE nazariyasining rivojlanishi natijalari. 90-yillarning o'rtalarida monografiyada jamlangan. Yangi mezonlarni sintez qilish nafaqat ularning xususiyatlarini tahlil qilish, balki ularning sifatini baholash va ularni amaliyotda qo'llash bo'yicha asosli tavsiyalar berish uchun AEOni hisoblash bilan birga bo'lishi kerakligi umumiy qabul qilinadi.

Foydalanilgan adabiyotlar:
1.aim uz
2.arxiv uz
3.ziyo net