Eshonqulova gulnoza mavzu: shartli extimolik

ESHONQULOVA GULNOZA

Mavzu: SHARTLI EXTIMOLIK

Shartli ehtimollik Bu ma'lum bir hodisaning paydo bo'lishi ehtimoli, chunki boshqasi shart sifatida sodir bo'ladi. Ushbu qo'shimcha ma'lumotlar biron bir narsa yuz berishi haqidagi tasavvurni o'zgartirishi mumkin (yoki o'zgartirmasligi mumkin).
Masalan, biz o'zimizga shunday savol berishimiz mumkin: "Ikki kundan beri yomg'ir yog'maganligini hisobga olsak, bugun yomg'ir yog'ishi ehtimoli qanday?" Ehtimolni bilmoqchi bo'lgan voqea shuki, bugun yomg'ir yog'adi va javobni keltirib chiqaradigan qo'shimcha ma'lumotlar "ikki kundan beri yomg'ir yog'madi".
A bo'ling ehtimollik maydoni Ω (namunaviy bo'shliq), ℬ (tasodifiy hodisalar) va P (har bir hodisaning ehtimoli), shuningdek, ℬ ga tegishli bo'lgan A va B hodisalardan iborat.
P (A│B) deb belgilangan B sodir bo'lganligi sababli A paydo bo'lishining shartli ehtimoli quyidagicha aniqlanadi:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A va B) / P (B)
Bu erda: P (A) - A ning paydo bo'lish ehtimoli, P (B) - V hodisaning ehtimoli va 0 dan farq qiladi, va P (A∩B) - A va B orasidagi kesishish ehtimoli, ya'ni , ikkala hodisaning sodir bo'lish ehtimoli (qo'shma ehtimollik).
Bu 1763 yilda ingliz ilohiyotchisi va matematikasi Tomas Bayes tomonidan taklif qilingan ikkita hodisaga taalluqli Bayes teoremasining ifodasidir.
Xususiyatlari
-Barcha shartli ehtimollik 0 dan 1 gacha:
0 ≤ P (A│B) ≤ 1
-A hodisasining yuzaga kelish ehtimoli, aytilgan voqea sodir bo'lganligi sababli, aniq 1:
P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1
- Agar ikkita hodisa eksklyuziv bo'lsa, ya'ni bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkin bo'lmagan hodisalar bo'lsa, unda ulardan biri sodir bo'lishining shartli ehtimoli 0 ga teng, chunki kesishma nolga teng:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0
- Agar B A ning kichik to'plami bo'lsa, unda shartli ehtimollik ham 1 ga teng:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1
Muhim
P (A│B) odatda P (B│A) ga teng emas, shuning uchun biz shartli ehtimollikni topishda hodisalarni almashtirishdan ehtiyot bo'lishimiz kerak.
Ko'paytirishning umumiy qoidasi
Ko'p marta shartli ehtimollik emas, balki P (A∩B) qo'shma ehtimolligini topishni xohlaysiz. Keyin quyidagi teorema orqali bizda mavjud:
P (A∩B) = P (A va B) = P (A│B). P (B)
Teorema uchta voqea uchun kengaytirilishi mumkin: A, B va C:
P (A-B∩C) = P (A va B va C) = P (A) P (B-A) P (C-A∩B)
Va shuningdek, turli xil tadbirlar uchun, masalan, A1, TO2, TO3 va boshqalarni quyidagicha ifodalash mumkin:
P (A1. A2 . A3… ∩ An) = P (A1). P (A2.A1). P (A3.A1. A2) ... P (An.A1. A2∩… An-1)
Agar voqealar ketma-ketlikda va turli bosqichlarda sodir bo'ladigan bo'lsa, ma'lumotlarni diagrammada yoki jadvalda tartibga solish qulay. Bu so'ralgan ehtimolga erishish uchun variantlarni tasavvur qilishni osonlashtiradi.
Shartli ehtimolga misollar
Keling, bir hodisaning ehtimolligi boshqasining sodir bo'lishi bilan o'zgargan ba'zi vaziyatlarni ko'rib chiqaylik:
1-misol
Shirin do'konda ikki turdagi kek sotiladi: qulupnay va shokolad. Ikkala jinsdagi 50 mijozning afzalliklarini ro'yxatdan o'tkazish orqali quyidagi qiymatlar aniqlandi:
-27 ayol, shulardan 11 nafari qulupnay keki va 16 shokoladni afzal ko'rishadi.
-23 erkak: 15 kishi shokolad va 8 qulupnay tanlaydi.
Xaridorning shokoladli keksni tanlash ehtimoli Laplas qoidasini qo'llash orqali aniqlanishi mumkin, unga ko'ra har qanday hodisaning ehtimoli quyidagicha:
P = qulay voqealar soni / tadbirlarning umumiy soni
Bunday holda, 50 mijozdan jami 31 kishi shokoladni afzal ko'rishadi, shuning uchun ehtimollik P = 31/50 = 0.62 bo'ladi. Ya'ni xaridorlarning 62% shokoladli keki afzal ko'radi.
Ammo mijoz ayol bo'lsa, boshqacha bo'larmidi? Bu shartli ehtimollik holatidir.
Favqulodda vaziyatlar jadvali
Bunday kutilmagan vaziyat jadvalidan foydalanib, jami osongina ko'rsatiladi:
Keyin qulay holatlar kuzatiladi va Laplas qoidasi qo'llaniladi, lekin avval biz voqealarni aniqlaymiz:
-Bu ayol "shokoladli pirojniyni afzal ko'rish".
Biz "ayollar" deb nomlangan ustunga boramiz va u erda ularning soni 27 ga teng.
Keyin qulay holat "shokolad" qatoridan qidiriladi. Ushbu hodisalarning 16 tasi mavjud, shuning uchun izlanish ehtimoli to'g'ridan-to'g'ri:
P (A│B) = 16/27 = 0.5924
Ayol mijozlarning 59,24% shokoladli keki afzal ko'radi.
Ushbu qiymat shartli ehtimollikning dastlab berilgan ta'rifiga qarama-qarshi bo'lganimizda to'g'ri keladi:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B)
Laplas qoidasi va jadval qiymatlari yordamida ishonch hosil qilamiz:
P (B) = 27/50
P (A va B) = 16/50
Bu erda P (A va B) mijozning shokoladni afzal ko'rishi va ayol bo'lishi ehtimoli. Endi qiymatlar almashtiriladi:
P (A│B) = P (A va B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0.5924.
Va natija bir xil ekanligi isbotlangan.
2-misol
Ushbu misolda ko'paytirish qoidasi qo'llaniladi. Do'konda uchta o'lchamdagi shimlar bor deb taxmin qilaylik: kichik, o'rta va katta.
Jami 24 ta shim, ularning har birining o'lchamlari 8 tadan va barchasi aralashgan ko'p narsada, ikkitasini ajratib olish ehtimoli qanday bo'ladi va ikkalasi ham kichkina?
Birinchi urinishda kichik shimlarni echib olish ehtimoli 8/24 = 1/3 ekanligi aniq. Endi ikkinchi qazib olish birinchi voqea bilan bog'liq, chunki bir juft shimni olib tashlashda endi 24 ta emas, balki 23 ta. Va agar kichkina shim olib tashlansa, 8 o'rniga 7 ta bo'ladi.
A hodisasi birinchi urinishda boshqasini tortib olgan holda, bitta kichkina shimni tortmoqda. Va B hodisasi birinchi marta kichkina shim kiygan narsadir. Shunday qilib:
P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24
Va nihoyat, ko'paytirish qoidasidan foydalanib:
P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0.097
Mashq hal qilindi
Tijorat aviareyslaridagi aniqlikni o'rganishda quyidagi ma'lumotlar mavjud:
-P (B) = 0.83, bu samolyotning o'z vaqtida uchib ketish ehtimoli.
-P (A) = 0.81, o'z vaqtida qo'nish ehtimoli.
-P (B∩A) = 0.78 - parvozning o'z vaqtida ko'tarilish vaqtida etib kelish ehtimoli.
Hisoblash so'raladi:
a) samolyot o'z vaqtida ko'tarilganligini hisobga olib, o'z vaqtida qo'nish ehtimoli qanday?
b) yuqoridagi ehtimollik, agar siz o'z vaqtida qo'nishga muvaffaq bo'lsangiz, o'z vaqtida qoldirganingiz bilan bir xil bo'ladimi?
v) Va nihoyat: bunga o'z vaqtida etib kelish ehtimoli qanday yo'q o'z vaqtida chiqdi?
Qaroringiz
Savolga javob berish uchun shartli ehtimollikning ta'rifi ishlatiladi:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A va B) / P (B) = 0.78 /0.83 = 0.9398
Qaror b
Bunday holda ta'rifdagi voqealar almashiniladi:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A va B) / P (A) = 0.78 /0.81 = 0.9630
E'tibor bering, bu ehtimollik biz ilgari ta'kidlaganimizdek avvalgisidan bir oz farq qiladi.
Qaror c
O'z vaqtida ketmaslik ehtimoli 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, biz uni P (B) deb ataymizC), chunki bu o'z vaqtida parvozni to'ldiruvchi voqea. Izlanayotgan shartli ehtimollik:
P (A│BC) = P (A∩B)C) / P (BC) = P (A va BC) / P (BC)
Boshqa tarafdan:
P (A∩BC) = P (o'z vaqtida qo'nish) - P (o'z vaqtida qo'nish va o'z vaqtida uchib ketish) = 0.81-0.78 = 0.03
Bunday holda izlanadigan shartli ehtimollik quyidagicha:
P (A│BC) = 0.03 / 0.17 = 0.1765
E'TIBORINGIZ UCHUN RAXMAT