Evklid algoritmı

6. 5. Tuwma sanlar
Tuwma sanlar dep tómendegi jol menen payda etiletin izbe-izliktin shep tárepten eń birinshi elementine aytıladı.
Mısal : 13 natural sandı alıp oǵan óziniń tsifrları qosındısin qosamız : 13+ (1+3) =17. Bul sanǵa da óziniń tsifrları qosındısin qosamız : 17+ (1+7) =25 hám taǵı basqa, 13 hám payda bolǵan sanlardan izbe-ızlıq dúzemiz.
Nátiyjede 13, 17, 25, 32, 39,... (1) izbe-ızlıq ónim baladı. Bul izbe-ızlıqtı ońǵa qálegenshe dawam ettiriw múmkin. (1) izbe-ızlıqtıń shep tárepine de sanlar jazıw múmkinbe, degen soraw qóyamız.
Onıń ushın sonday san tabıw kerek, ol óziniń tsifrları qosındısi menen 13 ti bersin. Bunday san 11 bolıp tabıladı. Endi sonday san tabıw kerek, ol óziniń tsifrları qosındısi menen 11 ni bersin. Bunday san 10 bolıp tabıladı. Endi 10 da óz gezeginde 5 hám 5 dıń tsifrları qosındısinan ibarat. Lekin hesh qanday san óz tsifrları qosındısi menen 5 ti bere almaydı. Demek, (1) izbe-ızlıktı shep tárepke 5 ke shekem dawam ettiriw múmkin.
Sonday etip, 5, 10, 11, 13, 17, 25, 32, 39,.;. (2) izbe-ızlıktı payda etemiz hám berilgen tariypke tiykarınan 5 tuwma san baladı. (2) ketma- ketliktiń hámme elementleri 5 ten tısqarı málim qaǵıydaǵa tiykarınan ónim baladı. 5 sanı bolsa «o'zi payda bolǵansha» qalıp, odan aldın san payda bolmaydı. Sonın ushın da onı tuwma san delingen bolsa kerek.
Bir xanalı tuwma sanlar 1, 3, 5, 7 hám 9 lar ekenligin ańsatlıq penen kórsetiw múmkin. Sonday etip, tómendegi izbe-ızlıqlardıń birinshi hadlari tuwma sanlardan ibarat :
1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 38, 49,... 3, 6, 12, 15, 21, 24, 30,... 5, 10, 11, 13, 17, 25, 32,... 7, 14, 19, 29, 40, 48, …
10 nan 19 ǵa shekem bolǵan qos belgili sanlardıń qandayda-birı da tuwma san bola almaydı (oylap kóriń).
Birinshi qos belgili tuwma san 20 bolıp tabıladı, sebebi tsifrlarıniń qosındısin qosqanda 20 payda boltuǵın natural san joq. Nátiyjede 20 tuwma sandan baslap tómendegi izbe-ızlıq ónim boladı: 20, 22, 26, 34,... ; endi 21 den 30 ǵa shekem bolǵan qos belgili sanlardıń qandayda-birı da tuwma san bola almaydı. Qos belgili tuwma sanlar tómendegiler bolıp tabıladı: 31, 4 3, 64, 75, 86, 97. Bulardıń tuwma sanlar ekenligin esaplaw menen anıqlaw ańsat.
Kóp xanalı tuwma sanlar da ámeldegi: 132, 143, 233, 929, 1952, 874531 hám taǵı basqa.
6. 6. Egiz apiwayı sanlar
Ekenin aytıw kerek, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47... (1)
apiwayı sanlar izbe-izligi sheksiz bolıp tabıladı.
Bul izbe-ızlıqta izbe-iz jaylasqan bir jup apiwayı sanlar ámeldegi: 2 hám 3. Basqa bunday izbe-iz jaylasqan apiwayı sanlar joq. Lekin ayırması 2 ge teń bolǵan apiwayı sanlar ámeldegi bolıp, olar egiz apiwayı sanlar jubı dep ataladı. Sonday etip, bir waqıtta apiwayı bolǵan p hám p+2 sanlar egiz bolıp tabıladı. Mısalı, 3 hám 5, 5 hám 7, 11 hám 13, 17 hám 19 hám taǵı basqa. 100 000 ge shekem bolǵan natural sanlar arasında 1224 egiz apiwayı sanlar jupi, 1000 000 ge shekem bulgan natural sanlar arasında bolsa 8164 egiz apiwayı sanlar jupi bar.
Angliya matematigi Glesher esaplaw nátiyjesinde 8000000 hám 8100000 sanları arasında 518 egiz apiwayı sanlar jupi bar ekenligin kórsetken.
1958 jılda v. A. Golubev n=810⁶ ǵa shekem bolǵan natu­ral sanlar orasında 48619 egiz apiwayı sanlar jupi bar ekenligin esaplaǵan.
30 000 000 ge shekem bolǵan natural sanlar izbe-izliginde 152 892 egiz apiwayı sanlar jupi bar.
(1) de egiz apiwayı sanlar jubı qansha, degen sorawǵa Angliyalıq matematikalıqlar Xardi hám Litlvudlar “egiz apiwayı sanlar juplıǵı sheksiz ko'p” - dep juwap berilgen. Bul pikirdi házirgi waqıtta egiz apiwayı sanlar gipotezasi dep júritiledi.