Evklid algoritmı

7. Pútún sanlardıń bóliniwi.
Z — pútkil sanlar kompleksin qaraymız. Bólıw ámeli pútkil sanlar topamında mudamı da atqarıla bermeydi.
Tariyp:aZ va bZ (b≠0) sanlar ushın a=bq teńlikni qánaatlandırıwshı q Z san ámeldegi bolsa, a sanı b sanına (qaldıqsız ) bolınedi ( kibi belgilenedi).
Eger a sanı b sanına bólinse, b sanı a sanıń bóliwshisi, a sanı bolsa b sanınıń eseligi dep ataladı. q sanı bolsa a hám b sanlarınıń bólindi dep ataladı.
0 (soni) har qanday b≠0 sanǵa bólinedi. Agar a≠0 Bolsa, ayqınki, a sanıń bóliwshileri sanı chekli baladı.
7. 1. Pútkil sanlar bóliniwiniń ápiwayı ózgeshelikleri
1-lemma. Eger b sanı c ga bólinse hám a sanı b ga bólinse, ol halda a sanı c ga bolınedi.
Tastıyıq : Lemma shártinen b=cq₁ va a=bq₂ kelip shıǵadı, bunda q₁,q₂Z . Bundan a=bq₂= cq₁q_2.
q₁q₂=q dep belgilesek, a= cq₁q₂=cq, qZ.


2-lemma. Eger m=a+b bolıp, m hám a sanlardıń hár biri d sanına bólinse, ol halda b sanı da d sanına bólınedi.
Tastıyıq : Lemma shártiga kóre m=dq₁ va a=dq₂, bunda q₁,q₂Z. m=a+b teńlikte b=( q₁-q₂)d. Demek, b sanı d ǵa bólinedi.


7. 2. Natural sanlardıń bóliniw belgileri
1. 6 ǵa bóliniw belgisi.
Eger qandayda bir natural san 2 ge de, 3 ke de qaldıqsız bólinse, bul san 6 ǵa qaldıqsız bólınedi.
Mısal. 1224; 12378; 10002 sanlarınıń hár biri de 2 ge, de 3 bólınedi. Sonıń ushın olar 6 ǵa qaldıqsız bólınedi. (Bunı tekserip kóriw oqıwshılarǵa usınıs etiledi.)
2. 7 ge bóliniw belgisi.
Eger berilgen natural sandıń aqırǵı ush nomeri ańlatatuǵın san menen qalǵan nomerleri ańlatatuǵın sandıń (yamasa kerisinshe) ayırması 0 ge teń bolsa, yamasa 7 ge teń bolsa, bul san 7 ge qaldıqsız bolınedi.
Mısal. 1) 296 324 sanı 7 ge qaldıqsız bólınedi, sebebi aqırǵı ush nomerinen ibarat 324 sanı hám qalǵan nomerlerden ibarat san 296 dıń ayırması
324-296=28.
28 sanı bolsa 7 ge qaldıqsız bolinadi.
2) 423423 sanı da 7 ge qaldıqsız bólınedi, sebebi 423-423=0
( tekserip kóriw oqıwshılarǵa usınıs etiledi.)
3. 11 ge bóliniw belgisi.
Eger berilgen natural sandıń aqırǵı ush nomeri ańlatatuǵın san menen qalǵan nomerleri ańlatatuǵın sandıń (yamasa kerisinshe) ayırması 0 ge teń bolsa, yamasa 11 ge teń bolsa, bul san 11 ge qaldıqsız bolınedi.
Mısal. 1) 965976 sanı 11 ge qaldıqsız bolınedi, sebebi 976 -965=11
2) 2178 sanı da 11 ge qaldıqsız bolınedi, sebebi 178-2=176. 176 :11=16 (176 sanı 11 ge qaldıqsız bolınedi).
4. 13 ke bóliniw belgisi.
Eger berilgen natural sandıń aqırǵı ush nomeri ańlatatuǵın san menen qalǵan nomerilari ańlatpaytn sandıń (yamasa kerisinshe) ayırması 0 ge teń bolsa, yamasa 13 ke teń bolsa, bul san 13 ke qaldıqsız bolınedi.
Mısal. 1) 4602 sanı 13 ke qaldıqsız bolınedi, sebebi 602-4=596 hám 596 :13=46.
2) 126568 sanı 13 ke qaldıqsız bólınedi, sebebi 569 -126=442 hám 442:13=34.
(tekserip kóriw oqıwshılarǵa usınıs etiledi.)
Bul belgiler bir-birine uqsas bolǵanlıǵı ushın olardı ulıwma halda tastıyıqlaymız:
Qalegen A natural sandı
A=P1000+Q (1)
kóriniste jazıw múmkin. Bunda Q aqırǵı ush nomerden dúzilgen sandı, P bolsa qalǵan nomerlerden dúzilgen sandı ańlatiwshı san bolıp tabıladı.
71113=1001 bolıp, 1001 sanı 7 ge de, 11 ge de, 13 ke de bólınedi.
1000=1001-1 (2)
(2) ni (1) ga qóyamız, ol waqıtta
A=P (1001-1) +Q= P1001-P+Q
yamasa
A=P1001-(P-Q),
yamasa
A=P1001+ (Q-P).
Keyingi eki teńlikdan usıdan ayqın boladı, A sanı eki qosılıwshı (yamasa kemeyiwshi hám alınıwshı ) ǵa ajralıp, bulardan birinshisi mudamı 7 ge, 11 ge hám 13 ke bolınedi, sebebi ol jaǵdayda 1001 kóbeytiwshi bar.
A sandıń 7, 11 yamasa 13 ke bóliniwi ekinshi qosılıwshı (yamasa alınıwshı ) nıń sol sanlarǵa bóliniwine baylanıslı, yaǵnıy P-Q (yamasa Q-P) nıń ma`nisi 7 ge, 11 ge yamasa 13 ke qaldıqsız bólinse, A sanı da uyqas túrde 7 ge, 11 ge yamasa 13 ke qaldıqsız bolınedi.
Mısal. 574548 ni tekserip kóreylik. Bunda P=574, Q=548 baladı.
P-Q=574-548=26.
26 sanı 13 ke bólınedi. Demek, berilgen san da 13 ke qaldıqsız bolınedi.


Paydalanılǵan ádebiyatlar:


1. Б.Я.Ягудаев. Ажойиб сонлар оламида. Ўқитувчи нашрёти, Тошкент-1973.
2. В.В. Бардушкин ва бошқалар. Основы теории делимости числ. МГТУ, Москва-2003
3. Ёш математик қомусий луғати. Қомуслар бош таҳририяти. Тошкент-1991.
4. А.Нурметов, И.Қодиров.“Математикадан синфдан ташқари машғулотлар”. Тошкент-1980.