Eyler almashtirishlar

EYLER ALMASHTIRISHLAR
Reja.
Eyler va Ferma teoremalari
Aniq integralni taqribiy hisoblash formulalari.
To`g`ri to`tburchaklar formulasi.

Lеjandrning taklifi bilan:

ko‘rinishdagi intеgral birinchi tur Eylеr intеg­rali dеyiladi, bu yerda . Bu intеgral funksiyaning ikkita: va o‘zgaruvchi paramеtrlarning funksiyasidan iborat.
Biz bilganimizdеk, ko‘rilayotgan intеg­ral va ning musbat (aqalli birdan kichik bo‘lgan) qiymatlari uchun yaqinlashadi, va dеmak, haqiqatan ham, funksiyaning ta’rifiga asos bo‘la oladi. Bu funksiyaning ba’zi bir xossalarini aniqlaymiz.
1° Eng avval, bеvosita almashtirish bi­lan) ushbuni hosil qilamiz:

dеmak, funksiya va ga nisbatan simmеtrikdir.
Hozir biz uchun boshqa analitik ifodani bеramiz, bu ifoda bilan ni almashtirilganda, tashqi ko‘rinish jihatdan ham o‘zgarmaydi.
Bu maqsadda avval almashtirishni bajaramiz, bu yerda u yangi o‘zgaruvchi bo‘lib, dan gacha o‘zgaradi. Biz

formulaga ega bo‘lamiz va undan kеlgusida ko‘p mar­ta foydalanamiz.
Agar intеgralni yig‘indi shaklida tasvirlasak, u holda almashtirish bilan ikkinchi intеgral ham oraliqqa kеltiriladi:


dеmak, natijada

2° Bo‘laklab intеgrallash yordami bilan, (1) formuladan da, quyidagini topamiz:




bundan

bo‘lganda, ni kamaytirish maqsadida bu formulani qo‘llanish mumkin; shunday qilib, doim ikkinchi argumеntning bo‘lishiga erishish mumkin.
Ikkinchi argumеntga nisbatan ham shunga erishish mumkin, chunki simmеtrik funksiya bo‘lganidan, yana ushbu

kеltirish formulasiga ega bo‘lamiz.
Agar paramеtr natural songa tеng bo‘lsa, u holda (3) formulani kеtma-kеt qo‘llanish bilan

formulaga kеlamiz. Lеkin

Shu sababli uchun, va bir paytda, uchun ham:

ifodani hosil qilamiz.
Agar ham natural songa tеng bo‘lsa, ushbuni topamiz:

Agar simvolni dеb tushunsak, bu formulani yoki bo‘lganda ham qo‘llanish mumkin.
3° (2) formulada hisoblab, faraz qilamiz; u holda:

Uning qiymatini o‘rniga qo‘yib, ushbu formulaga kеlamiz:

Agar, xususiy holda, dеsak,

hosil bo‘ladi.
Aholining yoshga qarab o'sishini o'rganishda, ehtimol, eng muhim tenglamalardan biri bu Lotka-Eyler tenglamasi. Populyatsiyadagi urg'ochilarning yoshi demografikasi va ayollarning tug'ilishi asosida (chunki ko'p hollarda aynan urg'ochilar ko'payish qobiliyati cheklangan), bu tenglama populyatsiya qanday o'sayotganligini taxmin qilishga imkon beradi.
Matematikaning sohasi demografiya asosan tomonidan ishlab chiqilgan Alfred J. Lotka 20-asrning boshlarida, avvalgi ishlariga asoslanib Leonhard Eyler. Quyida keltirilgan va muhokama qilingan Eyler-Lotka tenglamasi ko'pincha uning kelib chiqish sabablaridan biriga tegishli: 1760 yilda maxsus shaklni chiqargan Eyler yoki yanada umumiy uzluksiz versiyani chiqargan Lotka. Diskret vaqtdagi tenglama quyidagicha berilgan
qayerda  bu alohida o'sish sur'ati, ℓ(a) - bu yoshga qadar omon qolgan shaxslarning ulushi a va b(a) - bu individual yoshda tug'ilgan naslning soni a vaqt qadamida. Jami organizmning butun umri davomida olinadi.
Eyler va Ferma teoremalari

Eyler teoremasi. va shartlarda

taqqoslama bajariladi.
Isboti.Agar son keltirilgan sistemani tashkil etuvchi manfiy bo’lmagan eng kichik chegirmalarga teng qiymatlarni qabul qilsa , ya’ni
,
bo’lsa , u holda sonlarning dan iborat manfiy bo’lmagan eng kichik chegirmalari ham shu sistemani (lekin , umuman aytganda , boshqa tartibda) tashkil etadi.
Ushbu
, , ….,
taqqoslamalarni hadlab ko’paytirsak ,
hosil bo’ladi, ikkala tomonni ko’paytmaga qisqartirib

taqqoslamani hosil qilamiz .
Ferma teoremasi. - tub son bo’lib , son songa bo’linmasa

taqqoslama bajariladi.
Isboti. Bu teorema Eyler teoremasining tub qiymatiga mos keluvchi xususiy holidir.(1) tenglikni ikkala tomonini ga ko’paytirib

taqqoslamani hosil qilamiz .
Bu taqqoslama istalgan butun sonlar uchun to’g’ridir , chunki u ga bo’linuvchi lar uchun ham o’rinlidir. .
Bir noma’lumli taqqoslamalar.
Ushbu mavzuda asosiy maqsadimiz
, taqqoslamalarni o’rganishdan iborat.
Agar son ga bo’linmasa , taqqoslamaning darajasi deyiladi.
Taqqoslamani yechish , bu ning uni (taqqoslamani) qanoatlantiruvchi topish demakdir. ning bir xil qiymatlari bilan qanoatlantiriluvchi ikki taqqoslamaga teng kuchli taqqoslamalar deyiladi. Agar (1) taqqoslamani son qanoatlantirsa , u vaqtda ushbu taqqoslamani bilan modul bo’yicha taqqoslanuvchi , ya’ni shartga bo’ysunuvchi har qanday son ham qanoatlantiradi. Shunday sonlarning barchasidan tuzilgan sinf bitta yechim hisoblanadi. Bu holda , (1) taqqoslamani modul bo’yicha to’la sistemasining nechta chegirmasi qanoatlantirsa , (1) taqqoslama shuncha yechimga ega bo’ladi.
Misol.

Taqqoslamani modul bo’yicha chegirmalarning to’la sistemasidan va sonlar qanoatlantiradi. Shu sababli berilgan taqqoslama ikkita va yechimga ega.
Birinchi darajali taqqoslamalar
Umumiy ko’rinishda berilgan birinchi darajali taqqoslamani ozod hadini o’ng tomonga o’tkazib , ko’rinishga keltirish mumkin. Quyida biz bo’lsin deb olamiz. taqqoslama yechimlarining soni to’la sistemadagi uni qatnashtiruvchi chegirmalarning soniga teng . Lekin , son modul bo’yicha to’la sistemaning chegirmalariga teng qiymatlarni qabul qilganda , ham shu modul bo’yicha chegirmalarga teng qiymatlarni qabul qiladi. Demak , ning to’la sistemasidan olingan faqat bitta qiymatida son son bilan taqqoslanadi. Shunday qilib , bo’lganda (1) taqqoslama bitta yechimga ega.
Endi bo’lsin. Bu holda (1) taqqoslama yechimga ega bo’lishi uchun , sonning ga bo’linishi shart, aks holda (1) taqqoslama ning hech qanday qiymatida (albatta butun qiymat tushuniladi ) bajarilmaydi. Shuning uchun son ga bo’linadi deb faraz qilib , , , tengliklarni yozamiz. Bu holda (1) taqqoslamani ga qisqartirib, taqqoslamani hosil qilamiz. Bu yerda bo’lib , hosil bo’lgan so’ngi taqqoslama modul bo’yicha bitta yechimga ega bo’ladi. Bu yechimning modul bo’yicha manfiy bo’lmagan eng kichik chegirmasi bo’lsin , u holda shu yechimni tashkil etuvchi barcha sonlar
(2) ko’rinishda ifodalanadi. Lekin (2) sonlar modul bo’yicha bittagina emas , balki ko’proq yechimlarni tashkil etadi , ya’ni modul bo’yicha dan iborat manfiy bo’lmagan eng kichik chegirmalar qatorida (2) sonlardan nechta topilsa shuncha yechim bo’ladi , ularning soni esa (2) sonlardan ko’rinishdagi ta sonlardan iborat bo’ladi , demak , (1) taqqoslama ta yechimga ega .
Ushbu ko’rilgan bu ikki holni yakunlab quyidagi teoremaga kelamiz.
Teorema . bo’lsin . Agar son ga bo’linmasa , u holda taqqoslama bajarilmaydi, ya’ni bu holda taqqoslamayechimga ega emas , son ga bo’linadigan bo’lsa , u holda taqqoslama ta yechimga ega bo’ladi.
Endi (1) taqqoslamani yechish usulini ko’raylik. Uzluksiz kasrlar nazariyasiga asoslangan usulni qaraymiz.
Bunda bo’lgan holni qaraymiz. Ikkinchi hol ham shunga keladi.
nisbatni uzluksiz kasrga yoyaylik.

Bundan oxirgi ikki
,
munosib kasrni ko’zdan kechirsak , uzluksiz kasrning xossalariga asosan, quyidagilarga ega bo’lamiz:
,
,
.
Shunday qilib.

taqqoslamaning yechimi

bo`ladi.Bunda ni topish kifoya.
Misol. taqqoslamani yeching.
Bunda ,Shu sababli taqqoslama bitta yechimga ega.

	0	1	2	3	4	5
		1	3	6	4	3
	1	1	4	25	104	337

Demak,bu holda ,u holda berilgan taqqoslamaning yechimi

ko’rinishda bo’ladi.
Shunday qilib,javob
Adabiyotlar:


1..Ильин В.А.,Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия .М. Наука .2000 г
2.Курош Ф.Г. Олий алгебра курси. Т.Укитувчи . 2001 й..
3.Ильин В.А.,Позняк Э.Г. Линейная алгебра .М. Наука .2002 г.
4.Ҳожиев Ж., Файнлейб.Ф.С. Алгебра ва сонлар назарияси курси. Т. 2001 й.
5.Фадеев Д.К.,Соминский И.С.Сборник задач по высшей алгебре. М.Наука .2003 г.
6. Проскуряков М.Б. Сборник задач по линейной алгебре М.2004 г.