Eyler usuli Runge – Kutta usuli


§ 7.5 Runge – Kutta usuli


Download 22.77 Kb.
bet2/3
Sana10.10.2023
Hajmi22.77 Kb.
#1696969
1   2   3
Bog'liq
Eyler usuli Runge – Kutta usuli-fayllar.org

§ 7.5 Runge – Kutta usuli
Runge – Kutta usuli ko’p jixatdan Eyler usuliga o’xshash, ammo aniqlik darajasi Eyler usuliga nisbatan yuqori bo’lgan usullardan biridir. Runge – Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. Buning sababi, bu usul orqali noma’lum funktsiyani xi+1 dagi qiymatini topish uchun uning xi dagi qiymati aniq bo’lishi etarli.

Runge – Kutta usulini uning aniqlash darajasi bo’yicha bir nyecha usullarga ajratadilar. Shulardan amaliyotda eng ko’p qo’llanadigani to’rtinchi darajali aniqlikdagi Runge – Kutta usulidir.


Birinchi tartibli differensial tenglama y=f(x,y) uchun x=xi da y=yi (i=0,1,2, ...n) qiymatlar ma’lum bo’lsin. Bu erda “ui” boshlang’ich shart ma’nosida bo’lmasligi ham mumkin.
Tenglamaning yechimi qidirilayotgan kesma [a,b], xi=x0+ih (i=0,1,2,...n) nuqtalar bilan bir-biriga teng “n” ta bo’lakka bo’lingan.
Noma’lum funktsiya “u” ni x=xi+1 dagi qiymati yi+1= y(xi+1) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo’ladi:
K1(i)=hfi(xi,yi)
K2(i)=hfi(xi +h/2, yi+K1(i)/2)
K3(i)=hfi(xi +h/2, yi+K2(i)/2) (7.5.1)
K4(i)=hfi(xi +h, yi+K3(i))
Funktsiyaning orttirmasi yi ni quyidagi formuladan topiladi

yi=(K1(i)+2 K2(i)+2 K3(i)+ K4(i)) / 6 (7.5.2)

Bu erda h=(b-a)/n – integrallash qadami. i ni har bir qiymati uchun (7.5.1) va (7.5.2) dagi amallarni bajaramiz va noma’lum funktsiya “u” ni qiymatlarini (tenglamaning yechimini) quyidagi formuladan topamiz.


yi+1=yi+ yi , (i=0,1,2, ...n) (7.5.3)
Runge – Kutta usuli bilan differensial tenglamani yechishda jadval tuzilsa hisoblash jarayoni birmuncha osonlashadi. Jadvalni tuzish tartibi quyidagicha:
  1. (2) va (3) ustunlarga x va u ning kerakli bo’lgan qiymatlari yoziladi.


  2. x” va “u” larning qiymatlarini ((2)-va (3)-ustunlardan) u=f(x,y) tenglamani o’ng tarafiga qo’yiladi va natijalarni (4) ustunga (satrlari mos ravishda) qo’yiladi.


  3. Topilgan f(x,y) qiymatlarini integrallash qadami “h” ga ko’paytiriladi va natijalar (5) ustunga yoziladi.




  4. K1(0) ni 1 ga, K2(0) va K3(0) larni 2 ga, K4(0) ni 1 ga ko’paytirib ularni (6) ustunga yozamiz.

I-IV jarayonni Ki ni (i=0,1,2, ...n) har bir qiymati uchun takrorlaymiz. (6)-ustunni qiymatlarining yig’indisini hisoblab, natijani 6 ga bo’lamiz va u=(1/6) (K1(i)+2 K2(i)+2 K3(i)+ K4(i)) ni


topamiz. Va nihoyat yi+1=yi+ yi topiladi. YUqorida keltirilgan hisoblash tartibini [a,b] kesmani barcha nuqtalari uchun takrorlaymiz.
1-Jadval





Download 22.77 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling