Eyler usuli Runge – Kutta usuli

Eyler usuli Runge – Kutta usuli

Eyler va Runge-Kutta usullari. Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni taqriban yechishning Eyler va Runge-Kutta metodlari, ulaming hatoliklari.
Reja:

1. 
   
   Eyler usuli
   
2. 
   
   Runge – Kutta usuli
   

Ushbu bo’limning yuqori paragraflarida ko’rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo’lib, bu hollarda yechimlar analitik (formula) ko’rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan yechimni aniqlik darajasi haqida yuritish birmuncha murakkab bo’ladi.

Masalan, ketma-ket differensiallash usulini qo’llaganda qatorning juda ko’p hadlarini hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda shu qatorni umumiy hadini aniqlab bo’lmaydi. Pikar algoritmini qo’llaganimizda esa, juda murakkab integrallarni hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda integral ostidagi funktsiyalar elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni yechganda, yechimlarni formula ko’rinishida emas, balki jadval ko’rinishida olingani qulay bo’ladi.
Differensial tenglamalarni sonli usullar bilan yechganda yechimlar jadval ko’rinishida olinadi. Amaliy masalalarni yechishda ko’p qo’llanadigan Eyler va Runge–Kutta usullarini ko’rib chiqamiz.
Birinchi tartibli differensial tenglamani
y^’=f(x,y) (7.4.1)
[a,b] kesmada boshlang’ich shart: x=x₀ da u=u₀ ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
[a,b] kesmani x₀, x₁, x₂, ..., x_n nuqtalar bilan “n” ta teng bo’laklarga ajratamiz.
Bu erda x_i=x₀+ih (i=0,1, ..., n), h= – qadam.
(7.4.1) tenglamani [a,b] kesmaga tegishli bo’lgan biror [x_k , x_k+1] kesmada integrallasak

_k
Bu erda y(x_k)=y_k belgilash kiritsak
u_k+1=u_k+ (7.4.2)
Bu erda integral ostidagi funktsiyani [x_k , x_k+1] kesmada o’zgarmas x=x_k nuqtada boshlang’ich qiymatga teng desak, Eyler formulasini hosil qilamiz:


u_k+1= y_k+ y_k , y_k=hf(x_k,y_k) (7.4.3)

Ushbu jarayonni [a,b] ga tegishli bo’lgan har bir kesmachada takrorlasak, (7.4.1) ni yechimini ifodalovchi jadvalni tuzamiz..

Eyler usulini differensial tenglamalar tizimini yechishni ham qo’llash mumkin. Quyidagi sistema uchun boshlang’ich masala berilgan bo’lsin:
x=x₀ da u=u₀, z=z₀ (7.4.4)
(7.4.4) ning taqribiy yechimlari quyidagi formulalar bilan topiladi
u_i+1=y_i+ y_i , z_i+1=z_i+ z_i
Bu erda
u_i=hf₁(x_i,y_i,z_i), z_i=hf₂(x_i,y_i,z_i), (i==0,1,2, ...)
Misol. Eyler usuli bilan y^’=y+(1+x)y² , u(1)=-1 masalaning yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin.

Yechish. Masalani shartidan x₀=1, u₀=-1 topamiz va (7.4.3) Eyler formulasidan quyidagi jadvalni tuzamiz.

I	xi	yi	f(xi ,yi)	Aniq yechim
0	1	-1	1	-1
1	1,1	-0,9	0,801	-0,909091
2	1,2	-0,8199	0,659019	-0,833333
3	1,3	-0,753998	0,553582	-0,769231
4	1,4	-0,698640	0,472794	-0,714286
5	1,5	-0,651361		-0,666667

Jadvaldan taqribiy yechim va aniq yechim orasidagi farqlarni xam ko’rishimiz mumkin.

Bu usulni takomillashtirilgan ko’rinishlaridan biri Eyler-Koshi usulidir. Eyler-Koshi usuli yordamida esa taqribiy yechimlar quyidagi formulalar orqali xisoblanadi:

bu erda
.