Eyler va Lagranj tenglamalari

Eyler va Lagranj tenglamalari.

Differensial tenglamalar orasida oddiy almashtirishlar vositasida o’zgarmas koeffisiyentli tenglamalarga o’tuvchi o’zgaruvchi koeffisiyentli tenglamalar ham uchraydi.

_ (12)

ko’rinishdagi tenglamaga Eyler tenglamasi deyiladi, bu yerda _ o’zgarmas sonlar. Agar (12) tenglamada _ ni _ bilan almashtirsak tenglamaning ko’rinishi o’zgarmaydi. Demak, (12) tenglamada _ erkli o’zgaruvchini

_ (13)

almashtirish bilan kiritsak, u holda _ ni _ bilan almashtirishda tenglama o’zgarmaydi, ya’ni hosil bo’lgan yangi tenglama _ ni oshkor ko’rinishda saqlamaydi. Erkli o’zgaruvchini almashtirishda tenglama chiziqli tenglamaga o’tmaganligi uchun, biz o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglamaga ega bo’lamiz.

Bu tasdiqni hisoblashlar vositasida bevosita tekshirishimiz mumkin. Biz _ funksiyaning _ bo’yicha hosilalarini (13) formula bo’yicha _ bo’yicha hosilalari orqali ketma ket ifodalaymiz:

_

Biz ko’ramizki, _ bo’yicha olingan birinchi, ikkinchi va uchinchi tartibli hosilalarni qatnashgan ifodalar mos ravishda _ va _ ko’paytuvchilarga ega. Faraz qilaylik _ bo’yicha olingan _ tartibli hosila

_

ko’rinishga ega bo’lsin, bu yerda _ o’zgarmas sonlar. U holda _

bo’yicha olingan _ tartibli hosila

_

ko’rinishga ega bo’ladi va yana qavs oldida _ ko’paytuvchi , qavslar ichida esa _ bo’yicha birinchi tartibli hosiladan boshlab _tartibli hosilagacha ifodalarning chiziqli kombinatsiyalari joylashgan. Demak ko’rsatilgan xossa ixtiyoriy _ natural soni uchun isbotlandi. Biz hisoblangan hosilalarni (1) tenglamaga qo’ysak, har bir _ uchun _ ifodani _ ko’paytirishlozim bo’ladi va shu bilan birga _ ni o’zida saqlovchi ko’rsatkichli ko’paytuvchilar qisqaradi hamda o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglama hosil bo’ladi.