Fakulteti amaliy matematika va informatika

Xossa 3. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani, noma’lum funksiyani chiziqli 

almashtirish yordamida. 

0

)

(







z

x

I

z

 

ko’rinishga keltirish mumkin. 

0

)

(

)

(











y

x

q

y

x

p

y

                                      (12) 

tenglamada

z

x

u

y

)

(



                                            (13) 

almashtirishni olamiz. Bundan 

z

u

z

u

z

u

y

z

u

z

u

y



























2

 

Bu qiymatlarni (12) ga qo’ysak 

0

)

)

(

)

(

(

1

)

(

2

0

)

)

(

)

(

(

)

)

(

2

(

0

)

(

)

)(

(

2

















































































z

u

x

q

u

x

p

u

u

z

x

p

u

u

z

z

u

x

q

u

x

p

u

z

u

x

p

u

z

u

uz

x

q

z

u

z

u

x

p

z

u

z

u

z

u

                     (14) 

)

(x

u

ixtiyoriyfunksiyabo’lganiuchununishundaytanlabolamizkim 

0

)

(

2







x

p

u

u

    bajarilsin. 

















dx

x

p

e

u

dx

x

p

u

dx

x

p

u

du

)

(

2

1

)

(

2

1

ln

)

(

2

1

 

bundan          











dx

x

p

e

x

p

u

)

(

2

1

)

(

2

1

 





















dx

x

p

dx

x

p

e

x

p

e

x

p

u

)

(

2

1

2

)

(

2

1

)

(

4

1

)

(

2

1

 

Bu qiymatlarni (14) ga qo’ysak 

)

(

4

1

)

(

2

1

)

(

0

)

(

))

(

4

1

)

(

2

1

)

(

(

0

)

(

)

(

2

1

)

(

)

(

4

1

)

(

2

1

2

2

)

(

2

1

)

(

2

1

)

(

2

1

2

)

(

2

1

)

(

2

1

x

p

x

p

x

q

I

z

x

I

z

z

x

p

x

p

x

q

z

z

e

x

q

e

x

p

x

p

e

x

p

e

x

p

e

z

dx

x

p

dx

x

p

dx

x

P

dx

x

p

dx

x

p



























































































 

Bunga  (12) tenglamaning invarianti deyiladi. 

Agar invariant o’zgarmas songa yoki 

2

)

(

a

x

c

I





 ko’rinishga ega bo’lsa u holda ikkinchi 

tartibli chiziqli differensial tenglamani xamma vaqt integrallash mumkin. Chunki bu xolda (12) 

tenglama yo koeffisiyentlari o’zgarmas tenglamaga yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi. 

Misol-3

0

2

0

2





















y

y

x

y

xy

y

y

x

 

)

sin

cos

(

1

1

sin

cos

0

1

1

1

1

2

4

1

2

2

1

2

2

)

(

;

1

)

(

2

1

ln

2

2

1

2

1

2

,

1

2

2

2

2

x

c

x

c

x

uz

y

x

e

e

u

x

c

x

c

z

i

z

z

x

x

x

x

I

x

x

p

x

q

x

dx

x















































































 

 

Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi 

yechimlari. Taqqoslash teoremasi 

 

Koeffisiyentlari o’zgarmas bo’lgan, ikkita ikkinchi tartibli 

0

2







y

a

y

                                               (1) 

0

2







y

a

y

                                                (2) 

differensial tenglamalar berilgan bo’lsin. 

Bunda  

t

a

cos



 

Ma’lumki (1) tenglamaning xususiy yechimlari  

ax

e

y





1

, 

ax

e

y



2

 

dan iborat bo’lib 

Uning umumiy yechimi   

ax

ax

e

c

e

c

y

2

1





         dan iborat. 

Uning nolini topamiz  

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

ln

2

1

ln

2

0

0

0

0

c

c

a

x

c

c

ax

c

c

e

e

c

с

c

c

a

e

c

e

с

ax

ax

ax

ax



























 

 

ya’ni (1) tenglamaning yechimi  

)

,

(





 da bittadan ortiq nolga ega emas. 

(1)  tenglamaning umumiy yechimi   

)

sin(

sin

cos

2

1











ax

A

ax

c

ax

c

y

 

ning nolini topamiz: 

a

a

k

a

k

x

x

a

a

k

x

k

ax

ax

A

k

k

k

k









































)

1

(

0

)

sin(

1

 

ya’ni 

(2) 

tenglama

)

,

(





oraliqdacheksizko’pnollargaegabo’lib, 

ketma-

ketikkitanolorasidagamasofa

a



gateng. 

Uzunligi

a



dankattabo’lganxarbiroraliqda  (2)  tenglamaningixtiyoriyyechiminingbittanoliyetadi, 

uzunligi

a



2 dankattabo’lganixtiyoriyintervaldaesa 2 tanoliyotadi. 

Ta’rif.    Agar  differensial  tenglamaning  yechimi  berilgan    oraliqda  bittadan  ortiq  nolga  ega 

bo’lmasa, bunday yechimga tebranmas  yechim deyiladi. 

Agar  bu  yechim  yetarli  katta  oraliqda  2  tadan  ortiq  nolga  ega  bo’lsa,  bunday  yechimga 

tebranuvchi yechim deyiladi. 

Ma’lumki har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani. 

0

)

(

)

(

2

1











y

x

P

y

x

p

y

 

ni

0

)

(







y

x

p

y

                                                      (3) 

ko’rinishga keltirish mumkin. 

Teorema1.  Agar   

)

,

( b

a

          oralig’ining  barcha  nuqtalarida     

0

)

(



x

p

bo’lsa  u,  xolda  (3) 

tenglamaning xamma yechimlari bu oraliqda tebranmas bo’ladi. 

Isbot.Aksincha  faraz  etaylik,  (3)  tenglamaning  ixtiyoriy 

)

(

1

x

y

  yechimi  ikkita  nolga  ega 

bo’lsin.Bu nollarni 

1

0

, x

x

 bilan belgilaymiz. 

Masalaning  aniqligi  uchun 

1

0

x

x



va

)

;

(

1

0

x

x

    oraliqda   

)

(

1

x

y

  yechim  boshqa  nolga  ega 

bo’lmasin. 

U  xolda  uzluksiz   

)

(

1

x

y

  funksiya  bu  oraliqda  o’z  ishorasini  o’zgartirmaydi.  Hamma  vaqt  bu 

oraliqda  o’z ishorasini o’zgartirmaydi. Xamma vaqt bu oraliqda  

0

)

(

1



x

y

  deb olish mumkin 

(aks xolda   

)

(

1

x

y



yechimni olar edik). U xolda  

0

)

(

'

1



x

y

 chunki x

0

 

ningo’ng tomonida  

)

(

1

x

y

o’suvchi   funksiya bo’lib, 

0

)

(

0

'

1



x

y

 aks xolda 

0

)

(

1



x

y

 bo’lar edi  

(3) tenglamadan. 

0

)

(

)

(

1

''

1















y

x

p

y

y

x

p

y

 

ya’niikkinchihosila (x

0

,x

1

) oraliqdamusbatbo’lganiuchun, 

)

(

'

1

x

y

buoraliqdakamayuvchidir 

ya’ni 

)

(

)

(

)

(

1

0

0

'

1

'

1

x

x

x

x

y

x

y







 

U xolda chekli ortirma haqidagi teoremaga asosan 

)

)(

(

)

(

)

(

0

1

'

1

0

1

1

1

x

x

y

x

y

x

y









 

Butenglikningchaptomoninolgatengbo’lib,  

o’ngtomoniesanoldanfarqlibuningbo’lishimumkinemas.  Buqarama  -qarshilikko’rsatidikim

)

(

1

x

y

yechimkurilayotganoraliqdatebranmasyechimdir. 

 

Shturm teoremasi 

Ma’lumki   

0

2







y

a

y

   tenglama 2 ta chiziqli bog’lik bo’lmagan 



a

y

ax

y

sin

cos

2

1





 

yechimlarga  ega  bo’lib,  bu  yechimlardan  birini  ketma-ket  ikkita  nollari    orasida        ikkinchi  

yechimning  faqat   bitta  noli   yotadi. 

Bundayxossaga,  

harqandayikkinchitartiblibirjinslichiziqlidifferensialtenglamaningchiziqlibog’liqbo’lmaganikkitat

ebranuvchiyechimlargaegabo’ladi. 

 

Shturmteoremasi.Ikkinchitartiblibirjinsli 

0

)

(

''





y

x

p

y

                                                      (3) 

differensial  tenglamaning  ikkita  chiziqli  bog’lik  bo’lmagan  tebranuvchi  yechimlarining  nollari 

bir-birini o’zora ajratadi. 

Isbot.  Faraz  etaylik   

)

(

1

x

y

va

)

(

2

x

y

  (3)  tenglamaning  ikkita  chiziqli  bog’lik  bo’lmagan 

tebranuvchi  yechimlari  bo’lsin  va   

)

(

1

x

y

  yechimning  ikkita  ketma-  ket  noli  x

0

  va  x

1

bo’lib,   





1

0

, х

х

 oraliqda   

)

(

1

x

y

boshqa nolga ega bo’lmasin. 

Ya’ni                

1

0

1

0

)

(

x

x

x

x

y







 

Isbot  etamizkim   

)

,

(

1

0

x

x

    oraliqda  faqat  bitta   

x x

  nuqta  mavjudkim,  bu  nuqtada 

0

)

(

2



x

y

 

bo’ladi. Teskarisincha faraz etaylik 

1

0

x

x

x





oraliqdagi  nuqta uchun  

0

)

(

2



x

y

bo’lsin. 

Masalanning aniqligi uchun (x

0

,x

1

) da y

2

(x)>0 bo’lsin. 

[x

0

,x

1

]  oraliq  oxirida  y

2

(x)  nolga  teng  bo’lmaydi,  ya’ni 

0

)

(

0

)

(

0

2

0

1





x

y

x

y

aks,  xolda 

Vronskian 

)

(

)

(

'

)

(

'

)

(

)

(

2

1

2

1

x

y

x

y

x

y

x

y

x

W





                                (4) 

x

0

  va  x

1

nuqtada  nolga  teng  bo’lar  edi.  Buning  bo’lishi  mumkin  emas,  chunki  y

1

(x)vay

2

(x)  lar 

chiziqli boglik emas. 

Demak Vronskiy determinanti bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi. Shuning uchun W(x)>0 

deb olish mumkin [x

0

,x

1

] da. 

(4) ning xar ikkala tomonini 

)

(

2

2

x

y

 ga bo’lamiz. 

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

)

(

)

(

'

'

y

x

W

y

y

y

x

W

y

y

y

y

y

























 

y

2

>0  bo’lgani  uchun,  bu  tenglikning  o’ng  tomoni  xni  uzluksiz  funksiyasi  bo’ladi.Keyingi 

tenglikni xar ikkala tomonini x

0

 dan x

1

 oraliqda integrallaymiz: 























1

0

1

0

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

1

x

x

x

x

x

x

dx

x

y

x

W

x

y

x

y

 

Bu keyingi tenglikning chap tomoni nolga teng bo’lib, o’ng tomoni esa musbatdir. 

Bu qarama-qarshilik ko’rsatadikim, shunday 

x

nuqta (x

0

<

x

<x

1

) mavjudkim bu nuqtada y

2

(

x

)=0 

.Bunday  nuqta  yagonadir  aksincha  faraz  etaylik  y

2

(x)  ikkita 

1

0

, x

x

  nolga  ega  bo’lsin  bunda 

1

1

0

0

x

x

x

x







. 

y

1

  bilan  y

2

o’rinlarini  almashtirsak, 

0

x   bilan 

1

x

  oraliqda  y

1

(x)  ning  bitta  noli  bo’lar  edi.Bu  esa 

y

1

(x) ikkita ketma-ket x

0

,x

1

 nolga ega degan shartga karama karshidir. 

 Shturm  teoremasiga  misol  kilib,  y''+y=0  tenglamani  olish  mumkin.  Bu  tenglamaning  ikkita 

y

1

=cosx ,y

2

=sinx chiziqli boglik bo’lmagan yechimlarinining nollari almashinib keladi.