Fakulteti guruh talabasi

Shvarts lemmasi. Agar funksiya doirada regulyar va shartlarni qanoatlantirsa, u holda tengsizliklar o’rinli. Bu yerda tenglik belgisi faqat funksiya uchun bajariladi.
Isbot. funksiyani qaraymiz. Lemma shartiga asosan bo’lgani uchun funksiya doirada regulyar va Bundan tashqari, . Modulning maksimum prinsipini qo’llab, nuqtalar uchun ni olamiz. Bu yerdan,
va ( )
tengsizliklar va bularda tenglik belgisining faqat funksiya uchun bajarilishi kelib chiqadi. Shvars lemmasi isbot bo’ldi.

Yagonalik teoremasi

Faraz qilaylik, f(z) va g(z) funksiyalar D sohada golomorf bo’lsin. Agar bu funksiyalar D sohaga tegishli va hech bo’lmaganda bitta limit nuqta ga ega bo’lgan E to’plamda bir-biriga teng

bo’lsa, u holda f(z) va g(z) funksiyalar D sohada aynan bir-biriga teng bo’ladi:

Isbot. Modomiki, nuqta E to’plamning limit nuqtasi ekan, unda E to’plamga tegishli turli nuqtalardan tuzilgan va ga intiluvchi da f(z)=g(z) bo’lgani uchun bo’ladi.
Endi f(z) va g(z) funksiyalarni nuqtaning

atrofida (bunda esa nuqtadan gacha bo’lgan masofa) Teylor qatoriga yoyamiz:

bo’lganligi sababli k ning biror qiymatidan boshlab keyingi lar

doiraga tegishli bo’ladi. Shuning uchun bo’lib, (1) dan
(2)
bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglikda da limitga o’tib
(3)
bo’lishini topamiz.
Bu (3) tenglikni e’tiborga olib (2) ni har ikkala tomonini ga bo’lsak, unda
(4)
hosil bo’ladi.
Keyingi tenglikda da limitga o’tib
(5)
bo’lishini topamiz. Bu (5) tenglikni e’tiborga olib, (4) ning har ikkala tomonini ga bo’lsak, unda

hosil bo’ladi. So’ng da limitga o’tib, bo’lishini topamiz.
Bu jarayoni davom ettira borib,

bo’lishini topamiz. Shunday qilib

lar uchun

bo’ladi. Demak, doirada f(z)=g(z) bo’ladi.
D sohada ixtiyoriy nuqtani olib, va nuqtalarni D soha yotuvchi uzluksiz L chiziq bilan birlashtiramiz. B doirada L egri chiziq qismida biror nuqtani olamiz. So’ng B da ga intiluvchi ketma-ketlikni qaraymiz. Ravshanki, bo’ladi.
Endi f(z) va g(z) funksiyalarni nuqtaning

atrofida (bunda bo’lib, - esa L va chiziqlar orasidagi masofa) Teylor qatoriga yoyamiz:

Yuqorida keltirilgan mulohazani takrorlab, va demak, doirada
f(z)=g(z)
bo’lishini topamiz.
nuqtani L chiziq bo’ylab nuqta tomon siljita borib va yana yuqorida keltirilgan mulohazalarni takrorlab

bo’lishini topamiz.
nuqta D sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lganligi sababli, D sohada f(z)=g(z)
bo’ladi.