Fan o’qtuvchisi; Usmonov Baxtiyor

TVCHDPI Fizika va Kimyo fakulteti Fizika va Astranomiya yunalishi talabasi Karimjonov Billoliddinning defrenseal tenhglamalar mavzusian tayyorlagan mustaqil ishi.
FAN o’qtuvchisi; Usmonov Baxtiyor.
Fan nomi; Defrenseal tenglamalar.
Tayyorladi; Karimjonov Billoliddin.
Tekislikda chiziqli avtanom sestemalar fazaviy portreti.
Ushbu yoki , (1)
sestemaning yechimlari tabiatini fazalar tekisligida o’rganamiz. Bunda koefentlar haqiqiy sonlar va datlab bu sestema yagona maxsus nuqtaga ega , yani deb faraz qilinadi.. Demak, (1) sestema bir dona muvozanat nuqtasiga ega .
matrisaning xos (xarakteristik) sonlari yoki tenglamadan topiladi.

• 
  xarakteristik sonlarni va sonlar bilan belgilaymiz bulgani uchun va
  
• 
  daslab xarakteristik sonlar haqiqiy bulgan holni qaraymiz. Bunda yoki buldi. Xos sonlar tuli bulsin. Malumki bu sonlarga mos keluvchi va xos vektorlar chiziqli erkli. Bu vektorlar kordinatalarni ustunlar buylab yozb , matrisani tuzaylik. va vektorlar chiziqli erkli bulgani uchun yani matrisa teskarilanuvchi. Ravshanki
  
• 
  .
  
• 
  Demak WS (2)
  
• 
  Yangi u ,v nomalumlarni (3), formula yordamida kiriteylik . BU chiziqli almashtitish natijasida (3.1) sestema yoki
  
• 
  (4) kurinishga o’tadi. Oxirgi (4) sestema yechimlari osongina topuladi. (5)
  
• 
  Bu formulalar fazaviy trekteryolarning parametrik trektoryalarini ifadalaydi ni yuqotib , trektoryalarning ushbu va bunda yoki o’shkor kurinishda bulganda ham yozish mumkin . (1 ) sestemaning umumiy yechimi formula bilan berladi. Dastlab xos sonlar bilan bir xil ishorali yani holni qaraylik. BU holda (0,00 maxsus nuqta tugin deb ataladi. trektoriyalar Ou o’qiga urinadi, bulganda esa ular OV uqiga urinadi.(3.3) chiziqli almashishinishda Ou oqi xos vektor , Ov oqi esa xos vektor orqali o’tgan uqa almashadi.
  
• 
  Demak ,Oxy tekisligda trektoryalar moduli buycha kichik xos mos kelgan xos vektorga urinadi/.
  
• 
  Agar xos sonlarning ikkalasi ham manfiy bulsa (3,5- yechimlarning (u,v) fazalar tekisligidagi tasviri 11.6 –rasmda kursatilgan tartibli buladi. Vaqt o’tishi bilan fazaviy nuqta kordintalar boshiga intiladi. , = =0 . BU (0.0) maxsus turg’in nuqta deb ataladi. Turg’in tugunga intiluvchi turt dona kordinata yarim yarim uqlardan iborat bulgan trektoriyalar ham mavjud.
  

• 
  
  
• 
  Agar ikkala xol xos ham musbat bulsa yechimlarning fazaviy tasviri 11/7 rasmda keltirilgan . Bu holda (0.0) maxsus nuqta noturg’in tugin deb ataladi. Noturg’in tuguna (t=- 0 chiquvchi tut dona kordiata yarim o’qlaridan iborat trektoryalar mavjud.
  

• 
  
  
• 
  Agar xos sonlar turli ishorali bulsa faz atasviri masalan. 11.8 rasmdagidek buladi. Bu holda (0.0) maxsus nuqta egar deb ataladi. Egardan chiquvchi yoki unga kiruvchi hamda trektoriyalar turt qiasmga ajaratuvchi turt dona trektoriya sepuratrisalar deb ataladi.
  

• 
  
  
• 
  Endi A matrisa karrali xos sonlarga ega bulgan = = r holni qaraymiz. Agar A matrisaning bu xos soninga ikki dona chiziqli erkli xos vektotlar mos kelsa , yani A matrisa diogannallashtiruvchi bulsa , bi xil ishorali turli xos sonlar holdagi fikr yuritishlar bu holda maxsus nuqtaga intiluvchi yoki undan chiquvchi nurlardan iborat buladi..
  

Endi A matrisa DIAGANALLASHTIRUVCHI BULMASIN DEYLIK. Bu holda, algebradan malumki, a 0 xos vektorgaa chiziqli bog’liq o’lmagan shunday b vektor topiladiki, uning cuchun Ab= b+ab buladi; E-2*2 o’lchamli birlik matrisa a va b vektorlar chiziqli erkli bulgani uchun ushbu S= ; matrisa teskarilanuvchi quydagilarga ega bulamiz

AS=A = = =S .

• 
  A= S
  
• 
  Endi (3.1) sestemada (3.3) almashtirishni bajarib , uni u’= u+v
  
• 
  v’= v kurinishiga keitramiz . Oxirgi sestemaning ychimini osongina topiladi. u=( + )
  
• 
  

v=
Qaralayotgan holdagi maxsus nuqta ayniagn tugun deb ataladi . Ouv tekisligda trektoriyalar Ou o’qiga , oxy tekisligida esa ular a xos vektorga urinadi. Fazaviy trektoriyalar 10- rasmda kursatlgan .

• 
  
  
• 
  
• 
  = = ,0 bulganda (0,0) maxsus nuqtada turgin aynigan tugindan = >0 bulganda esa u noturg’in aynigan tugundan iborat .
  
• 
  Endi xarakteristik sonlar kompileks bulgan holni qaraylik . A matrisa haqiqiy bo’lgani uchu uning va xos sonlari o’zaro qo’shma buladi. Mos xos vektorlar a (a, , 0; aniqlik uchin deb hisoblaymiz . Mos xos vektorlar a ib ham o’zaro qushma (a,b) o’zaro haqiqiy vektorlar.U holda
  
• 
  A(a-ib)=(a+i )(a-ib) yoki Aa= + b
  
• 
  Ab=-
  
• 
  Demak , agar a,b vektorlar kordinatalarini ustunlar buylab , T= matrisani tuzsak u holda
  
• 
  AT=A = = = =T buladi. Bundan T teskariluvchi bulgani uchun AT= (3.6) tenglik kelib chiqad.
  
• 
  Endi (3.1) sestemada
  
• 
  = yani =T (3.7) chiziqli almashtirishni bajarib
  
• 
  ’ yoki u’=au- (3.8)
  
• 
  v’ +av
  
• 
  sestemani hosil qlamiz fazalar tekisligida qutb kordinatalarini malum u=rcos , v=rsin formullalar bilan kirib (3.8) sestema ushbu
  

r’= r sodda kurinishga keltramiz. Bu sestema yechiladi;

• 
  Vaqt o’tishi bilan harakatlanuvchi nuqtanng qutib kordinatalari ortadi. Agar =Re bulsa (3,90 yechim spiriali deb ataluvchi trektoyalalarni aniqlaydi. Bu holda (0.0) mahsus nuqta fokus deb ataladi. a<0 bulganda bu spiralning radusi vaqt o’tishi bilan kamayadi. a>0 bulganda esa ortadi. 11-rasm.
  

• 
  
• 
  Agar a=0 yani xos sonlar sof mavhum bulsa , trektoriyalar markazlari O(0.0) nuqtada joylashga aylanalar oilasidan iborat bukadi.
  

• 
  
  
• 
  
• 
  Trektoriyalar buylab harakat yunalishi berilgan sestemaga bog;liq . Shunday qlib Oxy tekisligdagi trektoriyalar joylashishi , yani maxsus nuqtaning tipi A matrisaning , xos sonlar bilan aniqlanadi.
  
• 
  Biz yuqorida (3.1) sestemada detA 0 deb hisoblaymiz.