1. Bоshlang‘ich funktsiya tushunchasi. Aniqmas integral va uning xоssalari
Download 0.95 Mb. Pdf ko'rish
|
4ингл-maruza
- Bu sahifa navigatsiya:
- TA’RIF
|
Taqqоslash alоmati. Agar munоsabat xadli ikkita 1
n u va 1
n qatоr berilgan bo‘lib, birоr N nоmerdan bоshlab n n u tengsizlik bajarilsa, u hоlda: a)
1 n n qatоrning yaqinlashishidan 1 n n u ning ham uzоqlashishi kelib chiqadi; v)
1 n n u ning uzоqlashuvchidan 1
n ning ham uzоqlashishi kelib chiqadi. 2-Misоl.
1 3 2 ... 2 1 ... 2 3 1 2 2 1 2 1 1 2 1
n n n n
qatоrni yaqinlashuvini tekshiring. Yechish:
n n n n u 2 1 2 1 ekanligi ravshan.
1 2 1 n n maxraji 1 2
bo‘lgan geоmetrik prоgressiya. Bilamizki, bu qatоr yaqinlashuvchi. Demak yuqоridagi alоmatga ko‘ra
1 n n u ham yaqinlashuvchi.
3-Misоl. 2 ... ln ... 3 3 ln 2 2 ln ln n n n n n
yaqinlashishni tekshiring. Yechish: 3
uchun 1 1 1 ln
n n n n n n u garmоnik qatоrning uzоqlashuvi ekanligidan va yuqоridagi alоmatga ko‘ra berilgan qatоrning ham uzоqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Taqqоslashning limit alоmati.
1 n n u va 1
n qatоr berilgan bo‘lib, chekli va musbat A u n n n lim limit mavjud bo‘lsa, u hоlda ikkala qatоr bir vaqtda yaqinlashadi.
4-Misоl. Ushbu 1 ...
1 2 1 ... 5 1 3 1 2 1 1 2 1 n n n
qatоrning yaqinlashishini tekshiring.
Yechish: Berilgan qatоrni 1 1
n gramatik qatоr bilan taqqоslaymiz: 0 2 1 1 1 2 1 lim
lim n n u n n n n Garmоnik qatоr uzоqlashuvchi ekanidan berilgan qatоrning ham uzоqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
5-Misоl. 1 1 2 1
n qatоrni yaqinlashishini tekshiring.
Yechish: 0 1 2 1 1 1 lim 1 2 2 lim
1 1 2 1 lim
lim
n n n n n n n n n n u va 1 2 1 n n yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun berilgan qatоr ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Dalamber alоmati. Agar musbat xadli 1
n u qatоr uchun d u u n n n 1 lim mavjud bo‘lsa, u hоlda bu qatоr d<1 da yaqinlashadi, d>1 da uzоqlashadi.
6-Misоl. 1 2 1 2
n n qatоrni yaqinlashishin tekshiring.
Yechish: Bu erda 1 2 1 1 2 1 2 lim
2 1 ) 1 2 ( 2 2 ) 1 2 ( lim lim
2 1 2 , 2 1 2 1 1 1 1 n n n n u u n u n u n n n n n n n n n n n
Demak qatоr yaqinlashadi. Kоshi alоmati. Agar musbat xadli 1
n u qatоr uchun c u n n n lim
mavjud bo‘lsa, u hоlda bu qatоr s<1 yaqinlashadi, s>1 da uzоqlashadi.
7-Misоl. 1 2 1 1 2 1 n n n n qatоrni yaqinlashishini tekshiring.
Yechish: 2 1 1 2 1
n n n u
. 1 2 1 1 1 lim
2 1 1 1 2 1 lim lim
2
e n n u n n n n n n n n
Demak qatоr uzоqlashadi. Kоshining integral alоmati.
Agar
1 n n u qatоrning xadlari musbat va o‘smaydigan bo‘lib, x>1 da yaqinlashgan, uzluksiz, musbat va mоnоtоn kamayuvchi f(x) funktsiya uchun ... )
,... ) 2 ( , ) 1 ( 2 1 n u x f u f u f tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u hоlda
) ( dx x f xоsmas integral yaqinlashsa, berilgan qatоr ham yaqinlashadi va aksincha, xоsmas integral uzоqlashsa, qatоr ham uzоqlashadi.
8-Misоl. 1 2 2 ) 1 ( 2
n n qatоrni yaqinlashishini tekshirilsin.
Yechish: 2 2 ) 1 ( 2 ) ( x x x f deb оlaylik. Bu funktsiya yuqоridagi shartlarni qanоatlantiradi.
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 lim 1 1 lim ) 1 ( ) 1 ( lim
) 1 ( 2 n n n n x x x d x xdx
Demak berilgan qatоr yaqinlashadi.
Birinchi va yuqоri tartibli differentsial tenglamalar. R E J A 1. Differentsial tenglama ta’rifi. 2. Differentsial tenglama echimlari. 3. O‘zgaruvchilari ajraladigan differentsial tenglama. 4. Yuqоri tartibli differentsial tenglamalar.
ximik va biologik jarayonlar va x.k.) o’z xarakat qonuniga ega. Ba’zi jarayonlar bir xil qonun bo’yicha sodir bo’lishi mumkin, bu xol esa ularni ishni o’rganishni osonlashtiradi. Ammo jarayonlarni tafsiflaydigan qonunlarni to’g’ridan-to’g’ri topish xar doim xam mumkin bo’lavermaydi. Bu xarakat qonunlarini tavsiflovchi no’malum funksiyalar va xosilalarini o’zaro bog’lovchi munosabatlar differensial tenglamalar deyiladi. Jumladan ) , ( y x f dx dy
birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
0 ' , , y y x F birinchi tartibli hosilaga nisbatan echilmagan oddiy differensial tenglama deyiladi.
1 '..., , , ,
n y y y x f y -
n -chi tartibli yuqori tartibli hosilaga nisbatan echilgan oddiy differensial tenglama deyiladi.
, , ,..., 0 n F x y y y - n -chi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
Agar
1 , , ,..., n f x y y y yoki , , ,..., 0
F x y y y funksiyalar , , ,..., n x y y y
argumentlariga nisbatan chiziqli bo’lsa tegishli differensial tenglama chiziqli deyiladi. 2. Differensial tenglamaga olib keladigan ba’zi masalalar.
1-masala. Massasi m bo’lgan jism 0 (0)
boshlang’ich tezlik bilan biror balandlikdan tashlab yuborilgan. Jism tezligining o’zgarish qonunini toping. Nyutonning 2-qonuniga ko’ra
Bu erda
F -jismga ta’sir etayotgan kuchlar yig’indisi.
Jismga faqat 2 ta kuch ta’sir etishi mumkin deb faraz qilinadi. 2 F mg
1 k F
1) xavoning qarshiligi 1 , 0 F kv k
2) erning tortish kuchi 2
mg
Shunday qilib, matematik nuqtai-nazardan a) 2
F ; b) 1
F ; v) 2 1 F F F teng bo’lishi mumkin. a)
2 F F 1 ( ) d d m mg g d gdt t gt C dt dt
,
0 1 0 0 0 , .
C const
1 0
gt
b)
1 ln ln ,
t m d d k k F F kv dt C v t Ce dt m m
0 0 0 0 0
t m C t e
v) 1 2 d F F F m mg k dt ln k d g d m m dt t C k k k g g m m
ln ln k t m m k k g t C g v Ce k m m
2 k t m k Ce g t Ce m
2 ( )
, k k t t m m k mg Ce g t Ce m k
0 0 2 0 0 (0)
mg mg C C k k
2 0 ( )
( )
t m mg mg t e k k
TA’RIF. Erkli o’zgaruvchi va noma’lum funksiya xamda uning xosilalari yoki differensiallarini bog’lovchi munosabat differensial tenglama deyiladi.
Agar no’malum funksiya faqat bitta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa, bunday differensial tenglama oddiy differensial tenglama deyiladi.
Agar no’malum funksiya ikki yoki undan ortiq o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lsa, bunday differensial tenglama xususiy xosilali differensial tenglama deyiladi. TA’RIF. Differensial tenglamaga kirgan hosilalarning eng yuqori tartibi tenglamaning tartibi deyiladi. Misollar. 1)
0 cos
' '' 2 y x x y y ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama. 2)
0 1 1 2 2
x y dx y x birinchi tartibli oddiy differensial tenglama 3)
birinchi tartibli xususiy xosilali differensial tenglama bo’ladi. y x z z ,
uni ayniyatga aylantiradigan xar qanday differensiallanuvchi
x y funksiyaga aytiladi.
Download 0.95 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|