12-Mavzu: Turg’unlik nazariyasi asoslari


Lyapunovning asimptotik turg’unlik haqidagi teoremasi


Download 34.89 Kb.
bet2/2
Sana19.06.2023
Hajmi34.89 Kb.
#1621044
1   2
Bog'liq
361972 (1)

Lyapunovning asimptotik turg’unlik haqidagi teoremasi.


Agar (1) differensial tenglamalar sistemasi uchun shunday musbat aniqlangan

funksiya topilib, bu funksiyaning (1) sistema yordamida hisoblangan 𝑑𝑉
𝑑𝑡
hosilasi manfiy

aniqlangan bo’lsa, (1) sistemaning trivial yechimi asiptotik turg’un bo’ladi.
  1. misol


𝑑𝑥1 = 𝑥



− 𝑥3 , 𝑑𝑥2 = −𝑥



− 𝑥3

𝑑𝑡
3 1 𝑑𝑡 1 2

Sistemani 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0 yechimni tekshiramiz.
𝑉(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥2+𝑥2 - musbat aniqlangan, sistemaga ko’ra hisoblangan hosilasi
1 2

𝑑𝑉 𝜕𝑉
=

𝑑𝑥1 + 𝜕𝑉
𝑑𝑥2 = −2(𝑥4 + 𝑥4) < 0

𝑑𝑡 𝜕𝑥1
𝑑𝑡 𝜕𝑥2
𝑑𝑡 1 2

𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0 yechim asimptotik turg’un bo’ladi.
  1. misol


𝑑𝑥1 = −𝑥

+ 𝑥


− 𝑥3,



𝑑𝑡
1 2 1

𝑑𝑥2 = −𝑥

− 𝑥


+ 𝑥3



𝑑𝑡
1 2 2

Sistemani 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0 yechimni tekshiramiz.
Lyapunov funksiyasi sifatida 𝑉 = 𝑥2 + 𝑥2 musbat aniqlangan funksiyani olamiz,
1 2
u holda sistemaga ko’ra hisoblangan hosilasi
𝑑𝑉 = −2(𝑥2 + 𝑥2 − 𝑥4 − 𝑥4),


𝑑𝑡
1 2 1 2

𝑥2 + 𝑥2 < 1 doirada manfiy aniqlanganligi sababli sistemaning trivial yechimi asiptotik
1 2
turg’un bo’ladi.

Takrorlash uchun savollar:


  1. Differensial tenglamalarning normal sistemasini yozing?

  2. Lyapunovning turg’unlik haqidagi teoremasini ayting.

  3. Lyapunovning asimptotik turg’unlik haqidagi teoremasini ayting.

4.
kerak?
y  (t)
harakat asimptotik turg’un bo’lishi uchun, qanday shartlar bajarilishi

  1. Nol yechim asimptotik turg’un bo’lishi uchun qanday shartlar bajarilishi kerak?

  2. Normal sistemaga mos bo’lgan birinchi yaqinlashish tenglamasi qanday tuziladi.



Mustaqil ishlash uchun misollar


Quyidagi misollarda berilgan yechimlarning turg’unligini, turg’unlik ta’rifidan foydalanib, tekshiring:

1. 𝑑𝑦 + 𝑦 = 0, 𝑦(𝑡

) = 𝑦0.

𝑑𝑥 0

2. 𝑑𝑦 + 𝑦 = 1, 𝑦(0) = 1.
𝑑𝑥

3. 𝑑𝑦 = 𝑎2𝑦, 𝑦(𝑡

) = 𝑦0, 𝑎 ≠ 0.

𝑑𝑥 0
Quyidagi tenglamalar sistemasining trivial yechimini turg’unligini tekshiring:

1. 𝑑𝑥1 = 𝑥
− 𝑥3, 𝑑𝑥2 = −𝑥
− 7𝑥3.

𝑑𝑡
2 1 𝑑𝑡 1 2

2. 𝑑𝑥1 = −2𝑥
− 𝑥
+ 2𝑥
𝑥3 − 3𝑥4,

𝑑𝑡
1 2 1 2 1

Berilgan Lyapunov funksiyadan foydalanib sistemani nol yechimini turg’unligini ko’rsating

1. 𝑑𝑥1 = −𝑥
𝑒𝑥1 − 𝑥 , 𝑑𝑥2 = 𝑥3, 𝑉 = 𝑥4 + 𝑥4.

𝑑𝑡 1
2 𝑑𝑡 1 1 2

2. 𝑑𝑥1 = −𝑓(𝑥 ) − 𝑥3, 𝑑𝑥2 = 𝑥3 − 𝜑(𝑥 ),

𝑑𝑡
1 2 𝑑𝑡 1 2

Birinchi yaqinlashishlar yordamida sistemaning 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0
muvozanat nuqtasining turg’unligini tekshiring:

1.𝑑𝑥1 = 2𝑒𝑥1 + 5𝑥
− 2 + 𝑥4 , 𝑑𝑥2 = 𝑥
+ 6 cos 𝑥
− 6 − 𝑥2.

𝑑𝑡
2 1 𝑑𝑡 1 2 2

2.𝑑𝑥1 = 10 sin 𝑥
− 29𝑥
+ 3𝑥3 , 𝑑𝑥2 = 5𝑥
− 14 sin 𝑥
+ 𝑥2.

𝑑𝑡
1 2 2
𝑑𝑡 1 2 2

3.𝑑𝑥1 = −4𝑥
− 𝑥3 , 𝑑𝑥2 = 3𝑥
− 𝑥3.

𝑑𝑡
2 1 𝑑𝑡 1 2

Download 34.89 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling