2 Как мы видели ранее, основной характеристикой последовательностей является разности соседних элементов, а значит необходимо определить понятие первых, вторых и т д. разностей и то, как они выражаются через элементы последовательности

Sⁿ=∑Xⁿ+Xⁿ+C (7)


2) a) Пусть Xⁿ=1, тогда ∑Xⁿ=n;
б) Пусть Xⁿ=n, тогда ∑Xⁿ= ; поскольку - =n;
в) Пусть Xⁿ=n², тогда ∑Xⁿ= - + ;поскольку - + =
= -n- =n²;
3) Рассмотрим ряд 1+9+25+49+…+(2n-1)²
а) Тогда Xⁿ=4n²-4n+1
б) ∑Xⁿ= - +n=
в) Sⁿ= ; 1=
г) Sⁿ=
4) Поиск же последовательности ∑Xⁿ в сущности схож с операцией интегрирования и требует значительного интуитивного подхода, поэтому мы не будем уделять ему много времени и сразу перейдём к методу нахождения суммы последовательности который работает во всех случаях которые только могут встретится.
№5 Формула Эйлера-Маклорена
1) Далее будет выведена одна из важнейших формул теории числовых рядов впервые полученная Леонардом Эйлером и позволяющая решительно в любых случаях, находить суммы рядов с любой точностью. Начнём мы с получения ряда Тейлора в несколько необычном виде, в нём поменяются местами роль переменной и постоянной.
По определению дифференциала функции имеем ,а так же и вообще или
далее положим что тогда будем иметь так как может быть конечно, то можно положить откуда а значит этот ряд по своей сути является рядом Тейлора
2) Рассмотрим последовательность в котором индексу соответствует элемент , тогда предшествующий элемент этой же последовательности можно выразить через положив в ранее полученной формуле , а значит будем иметь:
а)
далее, просуммировав обе части равенства а) получим, что б)
(Под символом подразумевается сумма x членов последовательности вида )

Также ясно, что в) где постоянная выбирается так, что бы при исчезала, а значит, объединяя формулы б) и в) получим:

г)
3) Теперь применим полученную формулу для нахождения суммы последовательности . Произведем в г) замену ; и.т.д.








и.т.д.
Далее нетрудно заметить, что в первом равенстве справа стоит искомая сумма плюс суммы вида , которые встречаются во всех нижеследующих равенствах. Тогда законно предположить, что где - некие числа подлежащие определению. Определить же эти числа можно подставляя найденные нами ранние выражения для
+
+

и.т.д.
откуда для определения имеем следующие уравнения

и вообще
или
Эти числа впервые были получены и использованы великим математиком Бернулли и носят его имя. Далее будут приведены первые 22 числа Бернулли, все числа с нечётными номерами это их свойство, как будет показано далее, проистекает из того, что они появляются в разложении чётноё функции: