2 Как мы видели ранее, основной характеристикой последовательностей является разности соседних элементов, а значит необходимо определить понятие первых, вторых и т д. разностей и то, как они выражаются через элементы последовательности

№1 Разности
1) Основным объектом рассмотрения первой части работы являются последовательности чисел. Под последовательностью мы подразумеваем, совокупность упорядоченных чисел, каждому из которых ставится в соответствие его номер . Простейшей последовательностью является арифметическая прогрессия, к примеру: которая представляет просто ряд натуральных чисел. Очевидно, что номеру в такой последовательности соответствует точно такой же элемент последовательности . Но что если мы возьмём последовательность более сложного вида, например как видно её аналитическая форма , эту форму легко получить если заметить, что разность между соседними числами одна и та же, а значит, каждое последующее число получается из рекуррентного соотношения . Но как найти выражение -ного элемента в последовательности разность, в которой, соседних чисел различна, например: сразу видно, что разности между соседними числами не равны друг другу. Однако можно заметить, что полученные разности вновь образуют арифметическую прогрессию, то есть, одинаковы разности между соседними числами. Оказывается, что это свойство, сводится к постоянным разностям, имеют абсолютно все последовательности, стой лишь разницей, что зачастую приходить к этому они будут на бесконечном шаге нахождения разности между соседними числами. Но для последовательностей выраженных различными полиномами , как будет показано далее, всегда можно получить так называемые конечные (постоянные) разности, а найдя их можно будет построить формулу -ного элемента последовательности.
2) Как мы видели ранее, основной характеристикой последовательностей является разности соседних элементов, а значит необходимо определить понятие первых, вторых и т.д. разностей и то, как они выражаются через элементы последовательности. Пусть у нас имеется числовая последовательность: y¹, y², y³, y⁴,…: тогда первой разностью мы назовём величину Δy¹= y²- y¹, Δy²= y³- y², …; второй разностью Δ²y¹=Δ y²- Δy¹, Δ²y²=Δ y³- Δy², …; и вообще Δ^my¹=Δ^m-1 y²- Δ^m-1y¹. Далее непосредственно подстановкой убеждаемся, что Δ²y¹= y³-2y²+ y¹; Δ³y= y⁴-3y³+3y²- y¹;…
(1)