2 Как мы видели ранее, основной характеристикой последовательностей является разности соседних элементов, а значит необходимо определить понятие первых, вторых и т д. разностей и то, как они выражаются через элементы последовательности

4) Окончательно получим:
(8)
Формула (8) носит имя Эйлера-Маклорена.
5) Как видно данная формула даёт точное значение суммы последовательности, если общая формула которой имеет конечное количество производных, если же данная функция имеет бесконечное количество производных то точное значение будет выражаться функциональным рядом, исследование этого случая будет проведено во второй половине работы.
6) Как известно функция имеет производных а значит можно найти общей вид суммы :

Ввиду частой встречаемости задач по нахождению таких сумм приведём формулы сумм степеней до 12 включительно:
0) 1) 2) 3)
4) 5)
6) 7)
8)
9)
11)
12)
План


1 Разности
2 Сумма последовательности
3 Формула Эйлера-Маклорена

Литература
1) Курс интегрального дифференциального исчисления Г.М. Фихтенгольц
2) Дифференциальное исчисление Л. Эйлер (из.1755г)
3) Краткий курс математического анализа А.Ф. Бермант