2 Как мы видели ранее, основной характеристикой последовательностей является разности соседних элементов, а значит необходимо определить понятие первых, вторых и т д. разностей и то, как они выражаются через элементы последовательности

3) Теперь перейдём к решению основной задачи, а именно выражению -ного элемента последовательности через первые, вторые, и т.д. разности. Для этого воспользуемся неполной индукцией и предположением что -ные разности постоянны. Действительно пусть известны разности Δy, Δ²y, Δ³y, Δ⁴y,…, Δ^my,…; тогда положив Δ^my=Δ^my²= Δ^my³=…, получим, что:
а) Δ^m-1yⁿ= Δ^m-1y+(n-1)Δ^my

действительно будем иметь Δ^m-1yⁿ⁺¹- Δ^m-1yⁿ=Δ^my; далее:

б) Δ^m-2yⁿ=Δ^m-2y+(n-1)Δ^m-1y+ Δ^my

поскольку Δ^m-2yⁿ⁺¹- Δ^m-2yⁿ= Δ^m-1y+ Δ^my= Δ^m-1y+(n-1)Δ^my и.т.д.

таким образом, получим, что:
в) yⁿ=y¹+(n-1)Δy+ Δ²y+ Δ³y+…

при этом мы полагаем n<=m так как в этом случае мы условно можем положить Δ^my=Δ^my¹=Δ^my²=… по причине того что коэффициенты (n-1)(n-2)(n-3)… при Δ^my, Δ^m+1y... равны нулю для n<=m. В итоге получим:

г) y^m=y¹+ (2)


4) Понятно, что задача поиска общего члена последовательности будет решена, если,
естественным образом, для некоторого m будет Δ^my=Δ^my²= Δ^my³=…, тогда для любого n



5) Подставив вместо Δy, Δ²y …их выражения через y¹, y² … будем иметь следующую формулу:
(4)
6) Очевидно, что если разности негде не становятся равными, то для получения формулы -ного элемента последовательности потребуется разностей, а значит в этом случае задача не будет решена. Можно также отметить тот факт, что из вида формулы (3) можно сделать вывод, что любой элемент последовательности выражаемый некоторым монотонно возрастающим полиномами может быть выражен формулой(3) и для этого будет достаточно найти разностей, если наибольшая степень выражения .

№2 Сумма последовательности

1) Перейдём теперь к вопросу о суммировании последовательности, при этом будем считать, что последовательность образует конечные разности. Пусть снова имеется числовая последовательность: y¹, y², y³, y⁴,… Тогда частными суммами мы назовём числа:
A¹=y¹;
A²=y¹+y²
A³= y¹+y²+y³
…
Очевидно, что A^m – сумма m членов предложенной последовательности. Найдём первые разности последовательности 0,A¹,A²,A³,… как видно они равны y¹, y², y³,…
Последовательность частных сумм имеет своей разностью саму исходную последовательность.
2)Если снова известны разности Δy, Δ²y, Δ³y, Δ⁴y,…, Δ^my,…; то задача нахождения суммы нечем не будет отличатся, от решаемой в предыдущем параграфе задачи о нахождении -ного элемента последовательности, а значит сразу напишем, что сумма n членов последовательности будет равна:





3) Если известно m при котором Δ^my=Δ^my²= Δ^my³=… то произвольная сумма выразится через первые m+1 суммы:
(6)
№3 Тригонометрические последовательности
1) Преступим к нахождению суммы последовательности имеющей следующий вид:
2) Возьмём данную сумму и умножим и разделим её на , тогда получим, что преобразуем данное выражение
таким образом получим что теперь подробнее рассмотрим сумму мы вновь умноножим и разделим эту сумму на и получим, что продолжая совершать подобные действия получим следующее преобразование тригонометрической последовательности
3) Таким образом, нахождение суммы тригонометрических последовательностей свелось к вычислению разностей, но в отличии от ранее рассматриваемых задач помимо разности в данном случае требуется найти и разность , а значит для вычисления суммы потребуется найти формулу -ного коэффициента
№3 Некоторые примеры
Теперь же преступим к рассмотрению отдельных примеров решаемых изложенных выше методов.