3-ma’ruza. Mavzu: Funksiya va uning berilish usullari, funksiyalarning juft-toqligi. Funksiyaning limiti, limitlar haqida teoremalar, ajoyib limitlar. Funksiya hosilasining ta’rifi

Misol-1: f(x)= funksiyaning x argument –1 ga intilgandagi limiti –6 ga teng ekanini isbotlang:

Misol-2:

y=f(x) funksiya X to’plamda berilgan bo’lib, nuqta X to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
Ta’rif. Agar f(x)=f( ) tenglik o’rinli bo’lsa, f(x) funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi. Boshqachasiga aytganda, agar o’rinli bo’lsa, f(x) funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
Quyidagilarni qaraymiz:
= x- - argumentorttirmasi; - funksiyaning nuqtadagi orttirmasi .
Agar funksiya da uzluksiz bo’lsa, u holda

Shunday qilib uzluksizlikka tengkuchli ta’rif berish mo’mkin:
Ta’rif. Agar tenglik o’rinli bo’lsa, f(x) funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
Agar X bo’lib, uning limit nuqtasi bo’lmasa, ya’ni yolg’iz nuqtasi bo’lsa, u holda f(x) funksiyaning nuqtada uzluksiz deb qabul qilamiz.
Ravshanki, agar va funksiyalar da uzluksiz bo’lsa, u holda , va (g(x)≠0, x X) funksiyalar ham da uzluksiz bo’ladi. Masalan, ning uzluksizligi
,
dan kelib chiqadi.
Teorema. u=g(x) funksiya da, y=f(u) funksiya esa da uzluksiz bo’lsa, murakkab funksiya ham nuqtada uzluksiz bo’ladi.
Isbot.
Misol. f(x)=cosx bo’lib, nuqta (-;+) oraliqning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin.
|y|=|cos( +x)-cos |= ;
Bundan ekanligi kelib chiqadi. Demak, y=0, ya’ni f(x)=cosx barcha (-;+) nuqtalarda uzluksiz bo’ladi.
Agar f(x) funksiya X to’plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, f(x) funksiya Xto’plamda uzluksiz deyiladi.
Deyarli barcha elementar funksiyalar o’z aniqlanish sohalarida uzluksiz bo’ladi.