5 maruza massa (materiya)ning saqlanish qonuni reja

4. Saqlanish qonunlari va vaqt fazosining xossasi.
Integrallangan mexanik harakteristikalarning tahlili Gamilton tamoyili va uning har xil umumlashmasini ifodalay olmaydi. U mexanik tizimlarning boshqa fundamental (asosiy) xossalarini o’rnatish imkonini beradi. Potensial maydonda, nuqtalar tizimiga ta’sir etuvchi tashqi va ichki kuchlar harakatining potensial holatlari uchun, bu xossalardan birortasini keltiramiz. Buning uchun - o’lchovli fazoda yaxlit va chet (siniq) yo’llar majmuasiga nisbatan variatsion ta’sirni yanada umumlashgan holda hisoblashga to’g’ri keladi. Buni bir parametrik funksiyalar oilasida ko’rib chiqamiz:
, (17)
bu yerda - (rasm) egri chiziqni bir qiymatli ifodalovchi parametr, xususan - fazodagi egri chiziqning quyi va yuqoridagi chetki qismlari. Quyidagi (6.17) – egri chiziqlar dastasiga birorta chegara qo’yilmaydi, shuning uchun egri chiziqlar har xil va - vaqtlarda “boshlanishi” va “tugashi”, shuningdek boshlang’ich va oxirgi daqiqalarda o’zaro kesishishi mumkin va h.k.

t

q₂

q₁

0

₃ ₁ ₅ ₄ ₆ ₂

₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆

t₀()

t₁()



variatsion ta’sir (17) – egri chiziqlar dastasida joylashgan. Bu yerda ham (16) tenglikni hosil qilish uchun qo’llanilgan usullar to’la o’xshash, faqat mos hisob-kitoblar ancha murakkabroq, shuningdek ergi chiziqlar oilasining - fazodagi boshlang’ich va oxirgi holatlari - parametrga bog’liq bo’ladi. Shuning uchun so’nggi olingan natijani keltiramiz: - variatsion ta’sir (17) bir parametrli dasta bo’lgan holdagi umumiy formulasi quyidagicha:
. (18)
Bu yerda va funksiyalar ma’nosi quyida izohlab beriladi.
Ma’lumki, egri chiziqli dastalarning boshlang’ich va oxirgi nuqtalari ustma-ust tushsa, u holda bo’ladi va (18) – variatsion ta’sirdan (16) – variatsion ta’sir yoki Gamilton tamoyili kelib chiqadi.
va funksiyalar mos ravishda umumlashgan va gamiltonian tizimlari deb ataladi. - qiymat - tezlik bo’yicha lagranjlanning xususiy hosilasi sifatida keltiriladi, ya’ni
(19)
va oddiy xollarda nuqta harakatlari dekart koordinatalardagi standart potensial maydonda ( - funksiya vaqtga bog’liq emas) o’qlardagi harakat miqdorining aksi (proektsiya) bilan ustma-ust tushadi. Bu yerda (19) lagranjianning umumiy hal qilinmagan xossalari hal qilinishi mumkin, ya’ni: - Lagranj o’zgaruvchilaridan gamilton o’zgaruvchilariga o’tkazadigan o’zaro bir qiymatli o’tish mavjud. H – funksiya quyidagi tenglik yordamida aniqlanadi:
, (20)
bu yerda - Lagranjian va umumlashgan tezlik o’zgaruvchilar lokal ifodalangan. Gamiltonian potensial harakatni o’rganishda rol o’ynaydi, xususan (11) Lagranj tenglamasidan Gamilton ko’rinishidagi harakat tenglamasi (kanonik tenglama) olinadi:
(21)
va aksincha (4-mashq). H – funksiya aniq quyidagi mexanik ma’noga ega: agar (8) dastlabki tizim statsionar bo’lsa ( -bog’liq emas), u holda gamiltonian ixtiyoriy vaqtda to’la energiya tizimiga teng hisoblanadi:
.
Bunday yondashuvdan keyin mexanikada fazoning xossalari va vaqtlari bilan birga saqlanish qonunlari aloqasini o’rnatamiz. Bir parametrlik - sanoq tizimining almashishini qaraymiz:
. (22)
da u o’zaro teng va buning uchun teskari almashtirish mavjud.
Masalan, (22) almashtirishga nisbatan invariant bo’lgan, mexanik tizimda berilgan, potensial maydonda harakatlanuvchi lagranjian berilgan bo’lsin. Ya’ni, yangi - lagranjian - parametrga bog’liq bo’lmagan va - o’zgaruvchilar funksiyasi o’sha ko’rinishga ega va dastlabki lagranjian - o’zgaruvchilarning funksiyasidir. U holda shunday - o’zgaruvchilar funksiyasi:
(23)
topiladiki, aniq vaqt mobaynida to’g’ri (yaxlit) yo’lda o’z qiymatini o’zgartirmaydi (birinchi integral harakat). (23) tenglamadagi - funksiyalar mos ravishda - o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lgan (19) ning umumlashgan funksiyasi va (20) gamiltoniani.
Ta’riflangan (ifodalangan) tasdiq (Nyoter teoremasi)ning isbotlash sxemasi shunday ko’rinishga ega. - fazoda egri chiziq tanlab olinadi, unga ko’ra , ya’ni kesmadagi biror yaxlit yo’lni qisman ifodalaydi. (22) – sanoq tizimiga mos holda, bu egri chiziq - fazoda - egri chiziqlar oilasini hosil qiladi. Lagranjianning invariantligidan - parametrning barcha qiymatlarida harakatlar variatsiyasi nolga teng yoki (18) – formulaga ko’ra - fazoga qo’llanilib quyidagini hosil qilamiz:
. (24)
Agar (6.24) da deb faraz qilsak, ya’ni aynan teng almashtirish olinsa, u holda integral ostidagi ifoda nolga teng bo’lib, - koordinatalarda egri chiziq to’g’ri (yaxlit) yo’l va uchun (11) Lagranj tenglamasini qanoatlantiradi. Demak quyidagi ifoda bajarilishi lozim:
.
Bu yerda (22) – almashtirish xossalariga ko’ra va - qiymatlarni oson hisoblash mumkin va - parametr nolga intilganda (23) ifodani hosil qilamiz. Yo’l qanchalik to’g’ri (yaxlit) va - nuqtalar ixtiyoriy tanlab olinsa, u holda teorema ixtiyoriy to’g’ri yo’l tizimi (barcha aniq harakatlar) uchun shuncha o’rinlidir.
Nyoter teoremasidan xulosa qilib aytish mumkinki, tizimlar uchun to’la mexanik energiyaning saqlanish qonuni, Lagranjian (shuningdek gamiltonian) aniq vaqtga bog’liq emas yoki konservativ tizimlar uchun xaqiqatdan (22) – formula sifatida quyidagi
,
vaqt siljishini olsak, Lagranjianni invariantligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin va (23) dan

ni hosil qilamiz.
Yopiq tizimlar uchun (tashqi kuch harakati kuzatilmaydi) harakat miqdorining saqlanish qonuni va mexanikaning boshqa qonunlari shunga o’xshash quriladi. (5-mashq). Nafaqat bitta to’g’ri yo’lda, balki ajratilgan to’g’ri yo’llar to’plamida ko’rilgan harakat mexanik tizimning umumiyroq birinchi integrallari – integrallangan invariantlar bo’ladi. Bulardan birortasi asosiy mexanikada Gamilton tamoyiliga tushishi mumkin. Harakat tenglamalari, saqlanish qonunlari, variatsion tamoyillar va simmetriklik xossalari o’rtasidagi chuqur aloqa ekvivalent tarzda mexanik tizimlarning matematik modelini qurish uchun har xil usul (yondashish)lardan foydalanish imkonini beradi. Ma’lumki, ob’ektlarning invariant xossalari ko’pgina hodisalarning modelini nafaqat qurish uchun, balki tahlil qilish uchun ham samarali qo’llaniladi.


Nazorat savollari

1. 
   Nyuton shaklidagi mexanik tizimlarning harakat tenglamalariga izoh bering.
   
2. 
   Lagranj shaklidagi harakat tenglamalari qaysi qonunning qulay ko’rinishidir?
   
3. 
   Gamiltonning variatsion tamoyiliga misollar keltiring.
   
4. 
   Saqlanish qonunlari va vaqt fazosining xossasini tushuntirib bering.