Abstrakt algebra
Download 0.99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 1.1.2-misol.
- 1.1.3-misol.
- 1.1.4-misol.
1.1.1-ta’rif. Agar (S, ∗) algebraik sistemada ixtiyoriy a, b, c ∈ S elementlar uchun assosiativlik xossasi, ya’ni
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda (S, ∗) algebraik sistemaga yarim gruppa deyiladi. 1.1.2-misol.(N, +), (N, ·), (Z, ·) algebraik sistemalar yarim gruppa bo‘ladi. A to‘plamda olingan ixtiyoriy x, y elementlar uchun ∗ amali x ∗ y = x ko‘rinishda aniqlangan bo‘lsa, (A, ∗) algebraik sistema yarim gruppa bo‘ladi. 1.1.2-ta’rif. Agar (M, ∗) yarim gruppada shunday e ∈ M element mavjud bo‘lib, ixtiyoriy a ∈ M element uchun e ∗ a = a ∗ e = a tenglik bajarilsa, u holda (M, ∗) yarim gruppaga monoid deyiladi. Ushbu e ele- mentga esa birlik element deb ataladi. 1.1.3-misol.(Z, ·), (N, ·), (Z, +) algebraik sistemalar monoid tashkil qiladi. (Mn(R), +) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami, matritsalarni qo‘shish amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi. (Mn(R), ·) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami, matritsalarni ko‘paytirish amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi. Endi asosiy tushuncha hisoblangan gruppaning ta’rifini keltiramiz. 1.1.3-ta’rif. Agar (G, ∗) monoid berilgan bo‘lib, ixtiyoriy a ∈ G element uchun a−1 ∗ a = a ∗ a−1 = e ∈ ∗ tenglikni qanoatlantiruvchi a−1 G element mavjud bo‘lsa, u holda (G, ) algeb- raik sistemaga gruppa deyiladi. a−1 element esa a elementning teskari ele- menti deb ataladi. Demak, gruppa bu biror to‘plamda aniqlangan algebraik amalga nisbatan as- sosiativlik xossasi o‘rinli bo‘ladigan, birlik elementi mavjud bo‘lib, ixtiyoriy ele- menti teskarilanuvchi bo‘ladigan algebraik sistema ekan. Agar (G, ∗) gruppaning ixtiyoriy a, b ∈ G elementlari uchun a ∗ b = b ∗ a tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda (G, ∗) gruppa kommutativ gruppa yoki Abel gruppasi deyiladi. Kommutativ bo‘lmagan gruppa esa nokommutativ gruppa deyiladi. 1.1.4-misol.(Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) algebraik sistemalar kommutativ gruppa bo‘ladi. (Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·), (C \ {0}, ·) algebraik sistemalar kommutativ gruppa bo‘ladi. (Mn(R), +) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami, matritsalarni qo‘shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi. (GLn(R), ·) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lib, determinanti noldan farqli bo‘lgan n-tartibli matritsalar to‘plami, matritsalarni ko‘paytirish ama- liga nisbatan nokommutativ gruppa tashkil qiladi. (SLn(R), ·) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lib, determinanti 1 ga teng bo‘lgan n-tartibli matritsalar to‘plami, matritsalarni ko‘paytirish ama- liga nisbatan nokommutativ gruppa tashkil qiladi. Qiyudagi misolda X to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan P (X) oilani qarab, bu oila ikki to‘plamning birlashmasi, kesishmasi va simmetrik ayirmasi kabi amallarga nisbatan qanday algebraik sistema tashkil qilishini aniqlaymiz. 1.1.5-misol. Bo‘sh bo‘lmagan X to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan P (X) sistema uchun quyidagilar o‘rinli bo‘ladi: P (X) to‘plam birlashma ∪ amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi, lekin (P (X), ∪) gruppa emas. Haqiqatdan ham, birlashma amali binar amal bo‘lib, ushbu amal uchun assosiativlik xossasi o‘rinli bo‘ladi. Birlik element vazi- fasini e = ∅ bajarsa, bo‘sh to‘plamdan farqli bo‘lgan ixtiyoriy to‘plam teska- rilanuvchi emas. Shuning uchun (P (X), ∪) monoid bo‘lib, gruppa tashkil qilmaydi. P (X) to‘plam kesishma ∩ amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi, lekin (P (X), ∩) gruppa emas. Bu yerda ham aniqlangan amal binar amal bo‘lishi va assosiativlikning bajarilishi ravshan. Birlik element vazifasini e = X ba- jarsa, X dan farqli bo‘lgan ixtiyoriy to‘plam teskarilanuvchi emas. ∈ P (X) to‘plam simmetrik ayirma Δ amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi. Chunki, simmetrik ayirmaga nisbatan birlik element e = ∅ bo‘lib, ixtiyoriy A P (X) elementning teskarisi o‘ziga teng bo‘ladi, ya’ni A−1 = A. Bizga sonlar nazariyasidan ma’lumki, ixtiyoriy n natural son uchun Zn = {0, 1, . . . , n − 1} chegirmalar sinfini hosil qilish mumkin, hamda bu chegirmalar sinfida qo‘shish va ko‘paytirish amallari aniqlanadi. 1.1.6-misol. Zn = {0, 1, . . . , n − 1} chegirmalar sinfi uchun quyidagilar o‘rinli: (Zn, +n) kommutativ gruppa tashkil qiladi. (Zn, ·n) monoid tashkil qiladi, lekin gruppa bo‘lmaydi. 1.1.7-misol. (Zn, ·n) monoidning barcha teskarilanuvchi elementlari to‘plami Un = {a ∈ Zn \ {0} | (a, n) = 1} ko‘rinishida bo‘lib, bu to‘plam ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi. Ya’ni (Un, ·n) kommutativ gruppa. Endi gruppaning ba’zi sodda xossalarini o‘z ichiga olgan qiyudagi tasdiqni keltiramiz. 1.1.1-tasdiq. Ixtiyoriy (G, ∗) gruppa uchun quyidagilar o‘rinli: Gruppaning birlik elementi yagona. Ixtiyoriy a ∈ G element uchun yagona teskari element mavjud. Ixtiyoriy a ∈ G element uchun (a−1)−1 = a. Ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1. Isbot. 1) Faraz qilaylik (G, ∗) gruppada ikkita e1 va e2 birlik elementlar mavjud bo‘lsin. U holda e1 ∗ e2 ko‘paytmani qarasak, e1 element birlik element bo‘lganligi uchun e1 ∗ e2 = e2. Ikkinchi tomondan esa, e2 element birlik element bo‘lganligi uchun e1 ∗ e2 = e1. Demak, e1 = e2. Faraz qilaylik a ∈ G element uchun ikkita teskari element mavjud bo‘lsin, ya’ni shunday b, c ∈ G elementlar mavjud bo‘lib, a ∗ b = b ∗ a = e, a ∗ c = c ∗ a = e bo‘lsin. Quyidagi tengliklardan b va c elementlarning tengligini hosil qilamiz: b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ c) = (b ∗ a) ∗ c = e ∗ c = c. Demak, a elementga teskari element yagona. a ∈ G elementning teskarisi a−1 bo‘lganligi uchun a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e. Faraz qilaylik, b ∈ G element a−1 ga teskari element bo‘lsin. U holda b ∗ a−1 = a−1 ∗ b = e. Bu tengliklardan biz a va b elementlar a−1 ga teskari element ekanligini hosil qil- amiz. 2)-xossaga ko‘ra ixtiyoriy elementning teskari elementi yagona bo‘lganligi uchun b = a ekanligi kelib chiqadi. b element a−1 ning teskarisi ekanligidan (a−1)−1 = a bo‘ladi. Bizga a, b ∈ G elementlar berilgan bo‘lib, a−1 va b−1 elementlar ularning teskari elementlari bo‘lsin, ya’ni a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e, b ∗ b−1 = b−1 ∗ b = e. Quyidagi tengliklarni qaraymiz (a ∗ b) ∗ (b−1 ∗ a−1) = (a ∗ (b ∗ b−1)) ∗ a−1 = (a ∗ e) ∗ a−1 = a ∗ a−1 = e. (b−1 ∗ a−1) ∗ (a ∗ b) = (b−1 ∗ (a−1 ∗ a)) ∗ b = (b−1 ∗ e) ∗ b = b−1 ∗ b = e. Ushbu tengliklardan a ∗ b elementning teskarisi b−1 ∗ a−1 ekanligi kelib chiqadi, ya’ni (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1. Endi gruppaning tartibi va gruppa elementi tartibi tushunchalarini kiritamiz. Download 0.99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling