Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi

2 bosqich. Asosiy qism (60 daqiqa); 

      -          o’qituvchi  faoliyati:  mavzuni  kiritish,Matematik  fizika  tenglamalarini 

o’rganish  bilan  bog’liq    oldingi  mavzuni  eslashni  taklif  etish;  amaliy  mashg’ulotlar 

matnini  tarqatish;  qo’shimcha  adabiyotlarda  tushunchalar  berish;  ish  usullari  bilan 

tanishtirish;  mashg’ulotlar  tarqatish;  tushunarsiz  savollarni  aniqlab,  ularni  echimi 

182 

 

topishga 

yordamlash; 

gruppalarda 

ishlashni 

tashkillash; 

natijalarni 

muhokamalashtirish; 

      -          talaba  faoliyati:  oldingi  mavzu  bo’yicha  bilimlarni  mustahkamlash;  quloq 

solish,  yozib  olish;  tushunchalar  va  terminlarni  aytish;  savol  berishadi  va 

muhokamalashishadi,  aniqlashtirishadi;  gruppalarda  ishlashadi,  misol  va  masalalar 

ishlashadi; olingan natijalar muhokamasiga qatnashishadi 

-      qabul qilish shakli metodlari: og’zaki nazorat, grupalarda individual savol-javob; 

misol va masalalar echimlarini daftarga yozib olish 

 

3 bosqich. Yakuniy qism(10 daqiqa) 

      -         o’qituvchi  faoliyati:  mavzu  bo’yicha  xulosa  chiqarish;  talabalarni  fikrini  bir 

joyga  jamlash;  qilingan  ishlarning  muhimligini  aytib  o’tish;  javob  bergan  talabalarni 

ishini  baholash;  o’quv  darsning  maqsadiga  erishish  darajasini  baholash  va 

analizlashtirish; mustaqil ishlar topshiriqlari 

      -            talaba  faoliyati:  ish  analizi;  misol  va  masalalar  asosida  malaka  oshirish; 

o’zaro  baholash  o’tkazish;  yo’l  qo’yilgan  xatolarnini  aniqlash  va  analizlash;  berilgan 

mustaqil ishlarni yozib olishadi; 

         -    qabul qilish shakli metodlari: guruhda va individual ishlash; mustaqil ishlar 

uchun daftar tutish. 

 

 

 

 

1.3 O’quv-uslubiy qo’llanma 

O’quv mashg’ulotlar rejasi: 

- 

metodik qullanmalar va topshiriqlar bilan ishlash 

- 

Amaliy darslar uchun daftar tutish 

- 

o’quv topshiriqlar 

- 

amaliy ishlarni topshirish 

  

 

Misol va mashqlar namoishi 

2-chi tartibli hosilali defferensial tenglamalar klassfikasiasi (parabolic tip)  

Faraz qilaylik U=U(x,y)-ikkita x va y o’zgaruvchili noma’lum funksia bo’lsin. 

Uholda 2-chi tartibli tenglama deb quyidagicha aytamiz. 

0

)

,

,

,

,

(

)

,

(

)

,

(

2

)

,

(

2

2

2

2

2































y

u

x

u

u

y

x

f

y

u

y

x

c

x

y

u

y

x

b

x

u

y

x

a

   

(3.1) 

 

Tenglamani tepi 

∆=

−

     ga qarab aniqlanadi. 

Agar 

∆> 0 

 bo’lsa, tenglama giperbolik tipli  

Agar 

∆= 0 

 bo’lsa, tenglama parabolic tipli  

Agar 

∆< 0 

 bo’lsa, elliptik tipli 

(4)ni  kanonik  ko’rinishga  keltirish  uchun  uning  xarakteritek  tenglamasini  yozish 

kerak. 

183 

 



























.

0

)

(

,

0

)

(

2

2

dx

ac

b

b

ady

dx

ac

b

b

ady

                                            

 (3.2) 

So’ngra uning umumiy yechimini toppish kerak 

             

0

2



 ac

b

            Bo’lganda,tenglama  giperbolik  tipli  (3.2)-tenglama 

sestimasining umumiy integrallarini               

,

)

,

(

;

)

,

(

2

1

c

y

x

c

y

x









                  

                  Bilan  ifodalab,yangi     





,

      -o’zgaruvchilarni             

).

,

(

);

,

(

y

x

y

x













              

formula  bilan  kiritamiz.  U  holda  (3.1)  tenglama       

)

,

,

,

,

(

2





























u

u

u

F

u

     

kurinishini oladi .Bu gepirbolik tipdagi tenglamaning kanonik ko’rinishidir. 

   

0

2



 ac

b

 

Bo’lganda,  tenglama  parabolic  tipli  (3.2)  tenglamalar  sestimasini 

umumiy  integrallari     

c

y

x

~

)

,

(





        bilan  ustma-ust  tushadi  .Yani     





,

      -

o’zgaruvchilarni           

),

,

(

);

,

(

y

x

y

x













              formula    bilan  kiritamiz,bu  yerda 

)

,

(

y

x



     -funksia quydagi shartni qanoatlantiradi    

,

0



















y

y

x

x









   masalan    

.

x





              

U holda (3.1) tenglama           

0

)

,

,

,

,

(

2

2

2

2



































u

u

u

F

u

u

            ko’rinishni oladi 

bu parabolic  tipdagi tenglamaning kanonik ko;rinishidir. 

          

.

0

2



 ac

b

      Bo’lganda ,tenglama elliptic tipli (3.2) tenglamalar sestimasining 

umumiy integrallari quyidagicha       

c

y

x

i

y

x

~

)

,

(

)

,

(









        

Yangi 



va     

.



    -o’zgaruvchilarni     

).

,

(

);

,

(

y

x

y

x













    orqali  kiritamiz.U  holda 

(3.1) tenglama    

0

)

,

,

,

,

(

2

2

2

2



































u

u

u

F

u

u

    ko’rinishni oladiki,bu elliptic 

tipdagi tenglamalarni kanonik ko'rinishidir. 

1.Tenglamani kanonik ko’rinishiga keltiring     

.

0

2

2

2

2

2

2

2

2





















y

z

y

y

x

z

xy

x

z

x

 

Echish:Buyerda 

a= 

;

0

,

,

,

2

2

2

2

2

2

2















y

x

y

x

ac

b

y

c

xy

b

x

a

ya’ni 

tenglama 

parabolic  tipli.Xarakteristik  tenglamani  tuzamiz         

.

0

2

2

2

2

2







dx

y

xydxdy

dy

x

      Bu 

xolda  ikkita  xarakteristikalar  oilasi  ustma-ust  tushadi   

.

ydx

xdy 

 

tenglamani 

184 

 

qaraymiz.O’zgaruvchilarni ajratib uni integrallaymiz  

x

dx

y

dy



 yoki 

,

ln

ln

ln

C

x

y





 

.

C

x

y



.Yangi                       uzgaruvchilarni  kiritamiz . 

.

  ni shunday tanlaymizki      

.

0

























x

y

y

x









          shart  bajarilsin  .Yani 



va   

.

       uzgaruvchi  olib,u  holda 

berilgan tenglamani kanonik ko’rinishi quyidagicha 

.

0

2

2









z

 

 

2.misol; 2. 

0

9

9

2











y

x

yy

xy

xx

u

u

u

u

u

 

 

Xarakteristik tenglamani tuzamiz: 

1

1

1

22

12

11









a

a

a

 

0

)

1

(

0

1

2

2

2

















 

 

Bu  yerda 

1

2

,

1







  bulganligi  uchun  bu    parabolik  tipdagi  tenglama.  U  xolda 

kuyidagi almashtirish kiritamiz: 













x

x

y







   













x

x

y





 



























u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

yy

xy

xx

y

x



























2

 

 

Tenglama urniga kuyamiz: 

























u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

9

18

9

9

9

2

2

2























 

 

Demak, parabolik tipdagi tenglamamiz kanonik shakli kuyidagicha: 

0

9

18













u

u

u

 

  

3.misol:Tenglamani kanonik ko’rinishga keltiring  

.

0

2











y

x

yy

xy

xx

u

u

u

u

u

                        (3.3) 

185 

 

Xarakteristik tenglamani yechib        

,

0

1

2

2











 

1

2

1









   ga ega bulamiz. Yani, 

(3.3)  tenglama parabolic tipli. 

          

x

x

y











,

   Almashtirish kiritamiz,uholda 

.

)

(

)

(

,

)

(

)

(

,

2

)

(

)

(

)

(

)

(

,

,























































































u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

y

y

xy

y

y

yy

x

x

xx

y

y

y

x

x

x

























































 

Hosil bo’lgan ifodani (3.3) tenglamaga quyib ,o’xshash hadlarini ixchamlasak, 

.

0









u

u

 

Hosil  bo’ladi.Shuni  takidlaymizki,biz  bu  tenglamani  _parametriga  bog’likq  bo’lgan 

oddiy defrensial tenglamadik qarash mumkin.Uniyechsak: 

.

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

x

e

x

y

C

x

y

C

e

C

C

u























 

Teorema:Agar   

  funksia quyidagitenglamaning 

       (3.4) 

Yechim bo’lsa, uholda    

    (C-ixtiyoriy konstanta ) 

    (3.5) 

Umimiy integrali hisoblanadi.(bu yerda u

). 

     Teskarisi, agar 

 (3,5) tenglamaning umumiy integrali bo’lsa,u holda u             

  (3.4)  tenglamaning  yechimi  bo’ladi.Ikki  o’zgaruvchili  2-chi  tartibli 

xususiy xosilali chiziqli tenglama     

        funksiani ko’rinishi quyidagicha 

      (3.6) 

Bu yerda   

   f- x va y o’zgaruvchili funksia,bundan tashqari 

  larning  koefsentlari  orasida  noldan  farqli  bor.  X  va  y  –

o’zgaruvchili (3.6) tenglamada, ya’ni 

 -o’zgaruvchiga 

,           

formula orqali o’tamiz.Faraz qilaylik     

  ,       funksialar, D sohaning 

x  O  y  tekisligida  ikki  marta  differensialanuvchi  va  o’tish  yakobiani  noldan  farqli 

bo’lsin  

Sohaning har bir nuqtasida  

186 

 

 

 U holda quydagilar o’rinli: 

     

(3.7)   

 

 

 

 

 

  Bu  holda  F  bilan  U-funksianing  ikkinchi  tartibli  hosilasiga  bog’liq  bo’lmagan  ifoda 

belgilangan  

                   3.31        Masala.  Tenglamani  umumiy  yechimini  toping  va  uni  kanonib 

ko’rinishga keltiring . 

Yechish

                                                                             

gaega  bo’lamiz.Demak  butun  x  O  y  tekislikida  gipirbolik  tipli  tenglama  (3.8) 

tenglamaning xarakteristik tenglamasi quyidagicha       

  

 

deb, 

 

 

kvadrat 

tenglamaga 

kelamiz.Uning 

yecimlari   

(turli  haqiqiy  yechimlar),   

  ga  qaytib,  ikkita  1-chi  tartibli  oddiy 

defglamaga ega bo’lamiz:  

     va 

          Bularni echamiz  

187 

 

 

Xarakteristik 

metodga 

asosan 

yani 

 

 

 

 

- 

o’zgaruvchilarni      

                          formula  orqali  kirirtamiz  xususiy  hosilalarni 

hisoblaymiz 

 

       hosilalarni (3.8) ga quysak: 

 

(3.3) ga 

  larni qo’ysak,u holda  

 

O’xshash hadlarni ixchamlab,tenglamaning kanonik shaklini hosil qilamiz  

:

 yoki 

 

Bu  tenglamani  yechish  uchun  uni   

yoki 

ko’rinishga 

yozamiz.Bu  yerdan,  bu  yerda

 

-ixtiyoriy  faqat   

    bog’liq  funksia   

    -

o’zgaruvchi bo’yicha integrallab  

    

Bu yerda 

 g-funksia bo’lsa,faqat 

  dan bog’liq.Ya’ni (3.2) tenglamani 

umumiy  yechimi 

  Bu  yerda  f  va  g  ixtiyoriy  ikki 

marta defferensialanuvchifunksia  

           2.Faraz  qilamizki    sohada 

    ya’ni  (3.7)  tenglama, 

parabolic  tipli  bo’lsin  Xarateristik  tenglama  faqat  bitta 

    faraz  kilaylik 

   uning umumiy integrali 

deb olamiz  

    funksia 

sifatida 

ixtiyoriy 

shunday 

funksiani 

olamizki                                        

bo’lsa.U  holda  (3.7)  tenglama 

ko’rinishga 

ega  

2.31 Masala Tenglamaning umumiy yechimini toping  

188 

 

 

Yechish:  Bu  yerda 

          ,                              

Tenglama parabolic tipli.Xarakteristik tenglamasi: 

 

  Bu  tenglamaning  diskriminanti  nolga  teng.

 

                                                                               

Faqat bir guruh xarakteristikalar.

 

 

           Deb  olamiz     

        funksiani  ixtiyoriy  tanlaymiz     

              (biroq   

shartni 

tekshiramiz 

).xususiy 

hosilalarni 

topamiz 

 

Va bularni (3.8) formulaga quyamiz,u holda  

 

    

  larni (3.12) tenglamaga quysak  

 

Qavslarni ochib,o’xshash hadlarni ixchamlasak,kanonik shakldagi tenglamaga kelamiz  

  yoki  

    

Xar  bir    £  uchun,  bu  2-chi  tartibli  o’zgarmas  koefsentli  chiziqli  bir  jinsli 

tenglamadir:uning  xarakteristik  tenglamalari  esa       

          yoki  

                   

 Shuning  uchun  umumiy  yechim  quydagicha 

  bu 

yerda           

va

O’zgaruvchiga  bog’liq  ixtiyoriy  funksia.Eski 

o’zgaruvchilarga qaytib, 

       

  Bu yerda  

- Ikki marta differensialanuvchi funksiada  

189 

 

Faraz  qilaylik 

  (3.7)  tenglama  elliptic  tipli  bo’lsin,uning 

xarakteristik  tenglamasi  2-ta  turli  kompleks  tenglamalardan  iborat.Bulardan  faqat 

bittasini  qaraymiz,faraz  qilamiz                           

uning  umumiy  integrali  

deb  olamiz  (

-haqiqiy  qism, 

-esa       

        

funksianing mavhum qismi )U holda (3.7) tenglama    

ko’rinishi oladi . 

- 

1.1Misol.Tenglamani kanonik ko’rinishga keltiring  

 

       Yechish.Xarakteristik 

tenglamasi

belgilash 

olib,                

kvadrat 

tenglamani 

hosil 

qilamiz.Uning 

yechimi                                                          

-kompleks sonlar.Uholda 

Faqat bitta tenglamani 

qaraymiz     

  uning  umumiy  yechimi       

yoki 

                      

         Buyerda 

 

 

 

 

 

 

, 

  Deb  olamiz  hosilalarni  topamiz 

, 

ikkinchi tartibli hosilalar nolga teng (3.8) formulaga asosan  

 

(1.13)  qo’ysak