Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

 
yy

 
zz

 
xy

 
yz

 
zx

 
1. 
axy 
ay 
az
2
 
0 
0 
0 
2. 
0 
axy 
azx 
ax+by 
0 
0 
3. 
0 
0 
azx
2
 
axy 
ax
2
+by
2
 
0 
4. 
ax
2
+1 
ay+1 
0 
0 
ay
2
+az 
0 
5. 
bx+a 
ax
2
+2 
0 
ax+by 
0 
0 
6. 
x+a 
ax+b 
0 
0 
0 
ax+by 
7. 
a(x
2
+y
2
) 
bx
2
+a 
0 
0 
ax
2
+by 
0 
8. 
ay
2
 
0 
bx 
ay
2
+bx 
0 
0 
9. 
axy 
ay
2 
0 
axy 
0 
Axy 
10 
ax
2
+y 
ax+b 
axy 
bxy 
kxy 
0 
11 
0 
axy
2
 
0 
ax+bz
2
 
0 
0 
12 
0 
ax
2
y 
0 
az
2
+b 
0 
0 
13 
0 
ax+b 
azxy 
0 
axy 
0 
14 
0 
ay+0 
azx 
0 
azy 
0 
15 
axy
2
 
0 
azy 
0 
azx 
0 
16 
ax
2
y 
0 
0 
azxy 
0 
z
2
+y
2
 
17 
ax+b 
0 
0 
az
2
y 
0 
z
3
+1 
18 
ay+1 
0 
0 
azy
2
 
0 
z
3
y
2
 
19 
0 
ax+by 
ax+b 
0 
0 
az 
20 
0 
ay
2
 
ay
2
z 
0 
0 
ay 
21 
0 
ax
2
+1 
ay
3
 
0 
0 
az
2
 
22 
0 
ay
2
+1 
az
3
 
0 
0 
ay
2
 
23 
ax+by 
0 
0 
az+1 
zxy 
0 
24 
ay
2 
0 
0 
azx 
z
2
+1 
0 













0
2
0
2
0
2
0
b
a
b
az
ay
ax

 
125 
25 
ax
2
+1 
0 
0 
azy 
z
2
+y
2 
0 
 
Adabiyotlar: 
1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 
    2003 y. 
19. Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 
20. Timoshenko S.P., Gudyer Dj. Teoriya uprugosti. M., Mir, 1975. 
21. Aleksandrov  A.V.  Potapov  V.D  «Osnovы  teorii  uprugosti  i  plastichnosti» 
M.Vыs.shk. 1990g.  400st. 
22. V.I. Samul  «Osnovы teorii  uprugosti  i plastichnosti» M. Vыs.shk. 1982g. 264 
st. 
23. S.P.Rekach. Rukovodstvo k resheniyu zadach po teorii uprugosti. M. 1977 g. 
 
3- AMALIYOT 
DARSI 
Elastiklik nazariyasi sodda masalalari 
 
 
Elastiklik nazariyasi sodda masalalari mavzusining texnologik modeli 
Vaqt: 2 soat   
Talabalar soni: 15-30 ta 
O’quv mashg’ulot shakli  
Amaliy mashg’ulot 
O’quv mashg’ulot rejasi 
1.Elastiklik nazariyasining sodda masalalari 
2. Sen-Venan prinsipi. 
3. Jismning har tomonlama tekis siqilishi 
masalasi. 
4. Prizmatik brusning o‘qi bo‘ylab cho‘zilishi 
masalasi. 
O’quv mashg’ulot maqsadi: elastiklik nazariyasi soddamasalalari qo’yilishi 
hamda. Jismning har tomonlama tekis siqilishi masalasi, prizmatik brusning o‘qi 
bo‘ylab cho‘zilishiga doir masalalalar yechilishi bilan tanishish  
Pedagogik vazifalar: 
 - Jismning har tomonlama tekis 
siqilishi masalasi  
-Prizmatik  brusning  o‘qi  bo‘ylab 
cho‘zilishi masalasi 
O’quv faoliyat natijalari: 
 - Jismning har tomonlama tekis siqilishi 
masalasi  
-Prizmatik  brusning  o‘qi  bo‘ylab  cho‘zilishi 
masalasi tahlil qiladilar, xulosa chiqaradilar; 
Ta’lim  usullari 
Muammoli usul, suhbat, munozara, aqliy 
hujum 
Ta’limni tashkil etish  shakli 
Ommaviy, jamoaviy, guruhli, individual. 
Ta’lim vositalari 
Doska, masalalar to’plami, ma’ruza matni, 
tarqatma materiallar,  o’quv materiallar.   
Ta’lim berish sharoiti 
Guruhlarda ishlashga mo’ljallangan xona. 

 
126 
Monitoring va baholash 
Yozma nazorat: masalalar yechish, test  
Og’zaki nazorat: tezkor-so’rov  
 
Elastiklik nazariyasi sodda masalalariga oid namunaviy masalalar yechish  
mavzusining texnologik xaritasi 
Ish 
bosqichlar
i va vaqti 
Faoliyat mazmuni 
 
ta’lim beruvchi 
ta’lim oluvchilar 
 
1-bosqich. 
O’quv 
mashg’ulo
tiga kirish 
(15 daq.) 
1.1.Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan 
natijalarni yetkazadi. 
1.2.Talabalar bilimini suhbat shaklida  
faollashtiradi (№2 ilova). Muammolarni yechish 
uchun talabalarning egallagan bilimlarini 
yetarliligini aniqlaydi 
 
Tinglaydilar, 
yozib oladilar 
 
2-bosqich. 
Asosiy 
(55 daq.)  
2.1.  Topshiriqni  o’qib  beradi  va  berilganlarni 
doskaga yozadi (№ 4ilova). 
2.2.  Muammoni  yechish  yo’llarini  izlashni  tashkil 
etadi:  birinchi  kichik  muammoni  ifodalaydi. 
Muammolarni 
yechish 
yo’llarini 
izlashni 
tashkillashtiradi. 
2.3. 
Muammoni 
yechish 
vaqtida 
to’g’ri 
yechimlarga  e’tibor  beradi,  xatolarni  ko’rsatadi. 
Talabalar  bilan  birgalikda  javoblar  to’liqligini 
baholaydi, savollarga javob beradi. 
Savollarga javob 
beradi. 
Muammoni 
yechish bo’yicha 
o’z fikrlari-ni 
beradi 
Munozara qila-
dilar, tahlil 
qiladilar, xulo-sa 
chiqaradilar. 
3 - bosqich. 
Yakuniy 
(10 daq.) 
3.1.Mavzu bo’yicha yakun qiladi, qilingan ishlarni 
kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega 
ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 
3.2. Uyda bajarish uchun topshiriq (№ ilova) beradi  
Tinglaydilar. 
Topshiriqni 
yozadilar 
Elastiklik nazariyasining sodda masalalari 
RYEJA: 
1.  Elastiklik nazariyasining sodda masalalari 
2. Sen-Venan prinsipi. 
3. Jismning har tomonlama tekis siqilishi masalasi. 
4. Prizmatik brusning o‘qi bo‘ylab cho‘zilishi masalasi. 
 
          Adabiyotlar: 1-5. 
 
Tayanch iboralar: 
Sen- Venan prinsipi, tekis siqilish, o’q bo’ylab cho’zilish 
Baholash mezoni: 
  Har bir savol javobiga                - 2 ball 

 
127 
  Har bir qo’shimcha fikrga          - 2 ball 
  Har bir javobni to’ldirishiga       - 1 ball 
2-ilova 
 
 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
3-ilova 
 Insert texnikasi bo’yicha jadvalni to’ldiring. 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
1. 
Hajmiy  kuchlar 
 
2. 
Statik ekvivalent kuchlar  
 
3. 
Brus  
 
4. 
Balka  
 
5. 
Sterjen   
 
 Insert jadvali qoidasi 
 
 
 
 
4-ilova 
Matn 
Elastiklik nazariyasining sodda masalalari 
 
1. Sodda masalalar. 
     O‘tgan IV va V  boblar doirasida kuchlanish tenzorini aniqlash masalasi statik aniqmas masala ekanligi ta’kidlangan 
edi. Boshqacha aytganda,  berilgan tashqi kuchlar bo‘yicha elastik jism nuqtalaridagi 
ij

 kuchlanishlarni aniqlash 
uchun  
.
0
,


i
j
ij
f


              
 
 
            (1) 
muvozanat tenglamalari yetarli emas. Shuning uchun deformatsiyalarning  uzviylik tenglamasini jalb qilishga to‘g‘ri 
keladi. Bundan keyin biz shu maqsadda bu tenglamalarni ularga deformatsiyalar o‘rniga kuchlanishlarni  almashtiramiz.  
     Endi 
ij

 kuchlanishlar chiziqli bo‘lgan xususiy holni, ya’ni ular jism nuqtasi koordinatalarining birinchi darajali 
funksiyalari bo‘lgan yoki o‘zgarmas bo‘lgan holni qaraymiz. Deformatsiyalar va kuchlanishlar orasidagi  formulalar 
asosida deformatsiyalarning ikkinchi tartibli hosilalari doimo kuchlanishlar ikkinchi tartibli hosilalarining chiziqli 
funksiyalari bo‘lishligini ko‘rish qiyin  emas, masalan: 
Mavzuni jonlashtirish uchun blits so’rov savollari 
 
1.  Sodda 
masalalar 
deganda 
qanday 
masalalarni  
tushunasiz? 
2.  Og’irlik kuchi hajm bo’yicha qanday taqsimlanadi ? 
3.  Tekis taqsimlangan kuch  qanday ta’sirga ega? 
V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - yangi ma’lumot 
? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) 

 
128 
3
1
23
2
3
1
23
2
2
3
33
2
2
2
22
2
2
2
11
2
2
2
11
2
1
;
1
дx
дx
д
дx
дx
д
дx
д
дx
д
v
дx
д
E
дx
д



























 
va h.k. 
      Biz qarayotgan holda hamma  
ij

 kuchlanishlar 
i
x
 koordinatalarning chiziqli funksiyalari bo‘lganliklari uchun, 
deformatsialarning hamma ikkinchi tartibli hosilalari nolga aylanadi. Demak, hamma shartlari bu holda aynan 
qanoatlantiriladi. Faqat muvozanat tenglamalarini va jism sirtida  
j
ij
nj
n
p


 
 
 
 
 
 
  
shartlarnigina qanoatlantirish qoladi.  
2. Sen-Venan prinsipi. 
     Uzun prizmatik bruslarning egilishi va buralishi haqidagi tadqiqotlarida Sen-Venan 1855-yilda o‘zining mashhur 
prinsipini e’lon qildi: “Prizmaning uchlarida kuchlarning qo‘yilish va taqsimot usulining uning qolgan qismlarida 
vujudga keluvchi effektlarga ta’siri bo‘lmaydi, ya’ni qo‘yilgan kuchlarni har doim xuddi o‘zlaridek bosh moment va 
teng ta’sir etuvchisiga ega bo‘lgan statik ekvivalent kuchlar bilan almashtirish mumkin.” 
 
Bunday prinsipning paydo bo‘lishiga quyidagi muammo sabab o‘lgan. Elastiklik nazariyasining to‘g‘ri 
masalasini  yechishda konkret chegaraviy shartlarni qanoatlantirish zaruriyati munosabati bilan katta matematik 
qiyinchiliklar yuzaga keladi. Shu bilan birga, fizik xarakterdagi mulohazalardan amalda jism 
s
 sirtining sirt kuchlari 
taqsimoti berilgan deb hisoblanuvchi ba’zi 
i
s
 qismlarida sirt kuchlarining aniq taqsimotini amalga oshirish mumkin 
bo‘lmaydi. Juda ko‘p masalalarda sirt kuchlari faqat umumiy holdagina, yoki bosh  vektor va bosh momentlar 
sifatidagina ma’lum, sirt kuchlarining taqsimot qonuni esa faqat taqriban ma’lum yoki umuman ma’lum emas. Shunday 
qilib, elastiklik nazariyasi chegaraviy masalalarini yechishda matematik qiyinchiliklardan tashqari, chegaraviy 
shartlarni aniq ifodalash (formulirovka) muammosi ham paydo bo‘ladi. Bu qiyinchiliklar yuqoridagi Sen-Venan prinsipi 
asosida ancha kamayadi. 
     Sen-Venan prinsipini boshqacharoq qilib quyidagicha ifodalash foydali: “Agar jism sirtining uncha katta bo‘lmagan 
qismiga bosh vektori va bosh momenti nolga teng kuchlar sistemasi qo‘yilgan bo‘lsa, u holda bunday kuchlar sistemasi, 
kuchlar qo‘yilgan qismdan uzoqlashib borish bilan juda tez kamayuvchi mahalliy (lokal) kuchlangan-
deformatsialangan holatni vujudga keltiriladi”. 
       Xuddi shu prinsip Sen-Veanandan o‘ttiz yil keyin 1885-yilda Bussinesk tomonidan ham taklif etilgan. Bussinesk 
o‘z prinsipini quyidagicha ifodalagan: “Elastik jismga qo‘yilgan muvozanatlashgan tashqi kuchlar sistemasi, 
sistemaning kuchlari qo‘yilgan nuqtalar biror sferaning ichida yotgan holda, sferadan hisobga olmaslik mumkin 
bo‘lgan, lekin sfera radiusiga nisbatan yetarli darajada katta masofalardagina, deformatsiyalarni yuzaga keltiradi”. 
     Sen-Venan prinsipini isbotlash uchun Bussinesk, to‘plangan kuchlar tekis chegarasiga perpendikulyar yo‘nalishda 
qo‘yilgan yarim cheksiz jismni qaragan. Sen-Venanning o‘zi esa bu prinsipni tasdiqlovchi o‘zining kauchukdan 
yasalgan sterjen bilan o‘tkazgan tajribalarini keltiradi. Lekin ta’kidlash lozimki, shu kungacha Sen-Venan prinsipining 
qat’iy isboti yo‘q. 
Ikki teng va qarama-qarshi yo‘nalgan kuchlarning kauchuk sterjenga ta’sir 
qilib, amalda faqat mahalliy deformatsiani yuzaga keltirishi va sterjenning qolgan 
qismlari amalda deformatsialanmasligi misoli 6.1- rasimda keltirilgan. 
Elastiklik nazariyasi masalalarini yechishda Sen-Venan prinsipiga tez-tez 
murojaat qiladilar. Tashqi yuk qo‘yilgan joyda kuchlanish tenzorini aniqlash 
masalasi elastiklik nazariyasining alohida masala-larini tashkil etadi  va kontakt 
masalalari yoki mahalliy kuchlanishlarni aniqlash masalalari deb ataladi. 
 
           Ikkita statik ekvivalent kuchlar sistemasi. 
 
Chizmada keltirilgan: birinchisi yarim cheksiz plastinka 
tekis chegarasiga perpendikulyar ravishda ta’sir     etuvchi      
                       
P

  
 
 
 
 
 
                 
P

 
 
               1-chizma. 
 
 

 
129 
p

 to‘plangan kuch ko‘rinishida; ikkinchisiteng ta’sir 
etuvchi  
plastinka tekis sirtiga perpendikulyar yo‘nalgan 
p

 kuchiga teng, lekin 
yarimsilindrik sirt bo‘yicha tekis taqsimlangan kuch ko‘rinishida. 
  
 
 
 
 
Kuchlar qo‘yilgan nuqtalardan etarli 
uzoqlikdagi  
 
 
 
 
 
 
nuqtalarda kuchlanish 
tenzori har ikkala holda ham  
 
 
 
 
 
amalda bir xil 
bo‘ladi. Konsol balkaning,    
 
 
 
 
 
 
kuchlanish tenzori kuchlarning qo‘yilish usuliga    
 
 
 
 
 
bo‘g‘liq bo‘lgan sohalari. 3-ramda keltirilgan va    
 
 
 
 
 
shtrixlangan holda tasvirlangan. 
Sen-Venan prinsipi chegaraviy shartlarni integral 
qanoatlantirishga,  ya’ni sirt kuchlari taqsimlanishining 
konkret qonunini emas, balki ularning bosh vektori va bosh 
momentini qanoatlantirishga imkon beradi.  
Aytilganlardan ko‘rinadiki, Sen-Venan prinsipi asosida chegaraviy shartlarni ancha 
yumshatish mumkin: elastik jismning uncha katta bo‘lmagan qismiga qo‘yilgan 
berilgan kuchlar sistemasi boshqa masalani yechish uchun qulay bo‘lgan, va jism 
sirtining oldingi kuchlar qo‘yilgan qismiga qo‘yilgan, statik ekvivalent kuchlar 
sistemasi bilan almashtiriladi. 
 
3. Jismning har tomonlama tekis siqilishi. 
 
Shakli ixtiyoriy va ichki bo‘shliqlari bo‘lmagan jism sirtiga tekis 
p
 bosim qo‘yilgan bo‘lsin, massaviy kuchlar 
esa bo‘lmasin. Bu holda jism har tomonlama siqiladi. Shuning uchun jismning hamma nuqtalari bir xil kuchlanganlik 
holatida bo‘ladi va bu kuchlanganlik holati 
ij
ij
p




 sharsimon tenzor bilan aniqlanadi, ya’ni  
,
0
;
31
23
12
33
22
11













p
 
deb faraz qilish mumkin. Haqiqatan ham, Beltrami tenglamalari va muvozanat tenglama-larini  kuchlanishlar aynan 
qanoatlantiradi. Chegaraviy shartlar esa 
.
;
;
3
3
33
2
2
22
1
1
11
n
p
n
n
p
n
n
p
n









 
ko‘rinishni oladi va masala shartiga mos keladi. Demak, jismning berilgan yuklanishida  yechim aniq yechimdan iborat 
bo‘ladi. 
Endi  






ij
ij
ij
v
v
E



)
1
(
1
 
formulaga asoslanib 
ij

 larni aniqlaymiz 


;
2
1
3
)
1
(
1
)
1
(
1
11
11
p
E
v
pv
p
v
E
v
v
E


















 
xuddi shunday 
 
                                      
P

 
 
 
    
 
                                      
P

        
 
 
                                      
P

 
                 6.3-chizma. 
           
P

 
 
 
 
 
2-chizma. 

 
130 
.
;
o
p
E
v







31
23
12
33
22
2
1





 
Faraz qilaylik jismning koordinatalar boshi bilan ustma-ust tushuvchi (agar boshqa 
nuqta qaraladigan bo‘lsa, umumiylikni kamaytirmasdan, koordinat boshini shu 
nuqtaga ko‘chirish mumkin) nuqtasi bikr ko‘chishlarga ega bo‘lmasin. U holda bu 
nuqta uchun  
0
3
2
1



x
x
x
 bo‘lganda 
0
0

i
u
 va 
0
0

j
i
u
,
 
u holda                   











1
0
0
,
1
,
1
1
,
0
,
,
33
3
,
3
22
2
,
2
11
1
,
1
3
2
1
)
(
;
;
;
dx
u
u
u
u
u
x
x
x
i
j
j
i
ij
j
i
j
i






    
 
  
3
0
,
3
,
3
3
,
2
0
0
,
2
,
2
2
,
3
3
2
)
(
)
(
dx
dx
x
i
j
j
i
ij
x
x
i
j
j
i
ij















 
formulalarga asosan 
;
,
,
,
p
E
v
u
u
u
2
1
3
3
2
2
1
1





 








1
3
2
0
1
0
1
,
21
2
,
11
1
,
12
0
2
,
1
2
,
1
)
(
x
x
x
dx
u
u



 






2
0
0
1
,
22
2
,
21
2
,
12
3
2
)
(
dx
x
x



 
0
3
0
1
23
2
13
3
12
3





dx
x
)
(
,
,
,



chunki  

 
131 
0

k
ij ,

 va 
,
,
€
0

k
i
i

 chunki 
.
cos
€
nt
i
i


 
xuddi shunga o‘xshash 
.
0
2
,
3
1
,
3
3
,
2
1
,
2
3
,
1
2
,
1






u
u
u
u
u
u
 
Olingan natijalarga ko‘ra bizga ma’lum 










1
2
3
3
3
2
0
0
0
3
3
2
0
2
1
0
0
x
x
x
i
x
i
x
x
i
i
dx
u
dx
u
dx
u
u
)
(
)
(
,
,
 
formulaga asosan ixtiyoriy nuqta ko‘chishlarini aniqlaymiz: 









1
2
3
3
2
0
0
2
0
2
,
1
0
1
,
1
0
1
1
)
(
)
(
x
x
x
i
x
x
dx
u
dx
u
u
u
 
.
1
2
1
)
(
3
1
0
0
1
1
3
3
,










x
x
i
px
E
v
dx
p
E
v
dx
u
 
Xuddi shunday 
;
;
;
3
3
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
x
E
v
u
x
E
v
u
x
E
v
u









 
Endi bu tenglamalarini mos ravishda 
3
2
1
э
э
э



,
,
 bazis vektorlariga ko‘paytirib 
qo‘shib hamda  
i
i
э
x
r



 
ekanligini hisobga olib, 
r
p
E
v
u


2
1 


 

 
132 
ifodaga ega bo‘lamiz. Ushbu oxirgi formuladan ko‘rinadiki, jism ixtiyoriy 
nuqtasining ko‘chishi shu nuqtaning 
r

 radius-vektori yo‘nalishida sodir bo‘ladi.