Bu paragrafda ikkinchi tartibli egri chiziqlardan aylana, ellips, giperbola va parabolalar hamda ularga doir masalalarni keltiramiz

3.3 Giperbola
Har bir nuqtasidan ikkita va nuqtalargacha masofalar ayirmasining absolyut qiymati o’zgarmas soniga teng bo’lgan tekislikdagi nuqtalarning geometrik o’rniga giperbola deb ataladi. Bunda va nuqtalar giperbolaning fokuslari deb ataladi (1-chizma).

tenglamaga giperbolaning kanonik tenglamasi deyiladi.



Giperbola o’qini ikkita va nuqtalarda kesib o’tadi. Ular giprbolaning uchlari deyiladi. Ular orasidagi masofa giperbolaning haqiqiy o’qi deyiladi. va nuqtalar giperbolaning mavhum uchlari, ular orasidagi masofa esa giperbolaning mavhum o’qi deb ataladi. va sonlariga giperbolaning haqiqiy va mavhum yarim o’qlari deb ataladi. Giperbolaning o’qlari kesishadigan nuqta uning markazi deyiladi.

tenglamalar bilan aniqlangan chiziqlarga giperbolaning asimptotalari deb ataladi.
Giperbolaning fokuslari orasidagi masofani uning haqiqiy o’qi uzunligiga nisbati giperbolaning eksentrisiteti deyiladi va u bilan belgilanadi. Demak,

Giperbolaning nuqtasidan uning va fokuslarigacha bo’lgan masofalar shu nuqtaning fokal radiuslari deyiladi. Ular uchun
va
formulalar o’rinlidir.
Tenglamalari bo’lgan ikkita va vertikal to’g’ri chiziqlar giperbolaning direktrisalari deb ataladi. Ularning biri markaz bilan nuqta orasida, ikkinchisi esa markaz bilan nuqta orasida joylashgan bo’ladi.
Agar giperbolaning kanonik tenglamasida bo’lsa, u holda tenglama ko’rinishga keladi va u teng tomonli giperbola deyiladi.
Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1. tenglama bilan berilgan giperbolaning barcha xarakteristikalarini toping. Absissasi 8 ga teng va ordinatasi musbat bo’lgan nuqtaning fokal radiuslarini aniqlang.
Yechish: va lardan giperbolaning yarim o’qlari va larni topamiz.
bo’lib, undan ni topamiz. Demak, giperbolaning fokuslari va nuqtalarda joylashadi.
Berilgan giperbolaning asimptotalari
.
Eksentrisiteti ga teng va direktrisalarining tenglamalari bo’ladi.
Giperboladagi nuqtaning fokal radiuslari .
2. Tenglamasi bo’lgan giperbolaning eksentrisi- teti va asimptotalari topilsin.
Yechish: Berilgan tenglamani kanonik ko’rinishga keltiramiz: , , . Bundan va bo’lib, ulardan va lar kelib chiqadi. Bularni eksentrisitetni aniqlash va asimptotalar tenglamasini tuzish formulalariga qo’yamiz. Demak,
, x.
3. giperbola berilgan. nuqta giperbolaning biror asimtoasida yotish yoki yotmasligini aniqlang.
Yechish: Berilgan tenglamadan va larni topamiz. Demak, asimptotalarning tenglamalari
.
Shartga ko’ra, nuqta birinchi koordinata burchagida yotgani uchun, bu nuqta faqat tenglama bilan aniqlangan asimptotaga tegishli bo’lishi mumkin. Bu tenglamadagi va larning o’rniga nuqtaning koordinatalarini qo’yib, yoki ayniyatni hosil qilamiz. Demak, nuqta ko’rsatilgan asimptotada yotadi.
4. Uchlari ellipsning fokuslarida, fokuslari esa shu ellips- ning uchlarida bo’lgan giperbolaning tenglamasi tuzilsin.
Yechish: Giperbola tenglamasini tuzish uchun uning yarim o’qlari va larni topish kerak. Ellipsning tenglamasidan va larni ulardan esa va larni topamiz. Bundan tashqari munosabatdan ni topamiz. bo’lganligi uchun ellipsning fokal o’qi o’qi bilan ustma-ust tushadi. Bundan esa giperbolaning haqiqiy o’qi ham o’qi bilan ustma-ust tushishi kelib chiqadi. Giperbolaning izlnayotgan tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi.
Masalaning shartiga asosan, va Giperbola uchun bo’lganligidan yoki ni aniqlaymiz. Shunday qilib, giperbolaning izlanayotgan tenglamasi

bo’ladi.
5. Giperbolaning fokuslari koordinata boshiga nisbatan simmetrik va o’qida yotadi. Fokuslar orasidagi masofa 8 ga teng. Giperbolaning asimptotalaridan biri o’qi bilan li burchak hosil qiladi. Shu giperbolaning tenglamasi tuzilsin.
Yechish: Masalaning shartiga asosan bo’lib, undan . Giperbolada bo’lganligi uchun bo’ladi. Masalaning shartni qanoatlantiruvchi asimptota tenglamasi bo’lib, bu yerda . Demak, biz quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

Uni yechib, va larni topamiz. Shunday qilib giperbolaning izlanayotgan tenglamasi

dan iborat bo’ladi.