5-ma’ruza Vektorlarning o‘qdagi proyeksiyasi. Vektorlarning skalyar, vektor va aralash ko’paytmalari. Ularning xossalari. Ikki vektorning kollinearlik va uch vektorning komplanarlik shartlari
Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi
Download 0.76 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Vektorlarning vektor ko‘paytmasi. 4-Ta’rif.
- Vektor ko‘paytmaning xossalari.
- Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning vektor ko‘paytmasi
- Vektorlarning aralash ko‘paytmasi. 5-Ta’rif
- Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning aralash ko‘paytmasi.
|
Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi
Vektorlarni ko„paytirishning bir necha turi mavjud. Ulardan birinchisining natijasida haqiqiy son, ya‟ni skalyar miqdor hosil bo„ladi.
⃗ va ⃗⃗ vektorlarning skalyar ko„paytmasi deb, bu vektorlar uzunliklarining ular orasidagi burchak kosinusiga ko„paytirilganiga teng | ⃗|| ⃗⃗| songa aytiladi.
⃗ va ⃗⃗ vektorlarning skalyar ko„paytmasini ⃗ ⃗⃗ ko„rinishda belgilaymiz. Ayrim adabiyotlarda bu ko„paytma ⃗ ⃗⃗ ko„rinishda ham belgilanadi. 1-Misol. Agar | ⃗| | ⃗| , hamda ⃗ va ⃗ vektorlar orasidagi burchak
►| ⃗| √ ⃗
bo„lganligi uchun, ⃗ vektorning skalyar kvadratini hisoblab ⃗
( ⃗ ⃗)( ⃗ ⃗) ⃗
⃗ ⃗ ⃗
| ⃗| | ⃗|| ⃗| | ⃗|
qiymatga ega bo„lamiz. Demak, | ⃗| √ ⃗
◄ ⃗ {
}, ⃗⃗ {
} vektorlar berilgan bo„lsin, ularni ⃗
⃗
⃗⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗
⃗⃗ yoyilma ko„rinishda yozib olamiz. Ular uchun skalyar ko„paytmani ⃗ ⃗⃗ skalyar ko„paytmani hisoblaymiz: ⃗ ⃗⃗ (
⃗ ⃗
⃗⃗)( ⃗
⃗
⃗⃗)
⃗ ⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗
Bu yerda ⃗, ⃗, ⃗⃗ vektorlarning o„zaro ortogonalligi tufayli, ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ va birlik vektorlarligi tufayli ⃗
⃗
⃗⃗
ekanligidan foydalanildi. Shunday qilib, ⃗ ⃗⃗
(1) Vektorlar skalyar ko‟paytmasining ta‟rifi va (1) formulaga ko„ra ⃗ va ⃗⃗ vektorlar perpendikulyarligining navbatdagi zaruriy va yetarli shartini hosil qilamiz:
(2)
Skalyar ko„paytmaning 1-Ta‟rifiga ko„ra ⃗ ⃗⃗ | ⃗|| ⃗⃗| ekanligini eslatib o„tamiz, bu yerda berilgan ⃗ va ⃗⃗ vektorlar orasidagi burchak. Vektorlarning skalyar ko„paytmasini va uzunligini ularning koordinatalari orqali ifodalashni bilgan holda, noldan farqli vektorlar orasidagi burchak kosinusini ham hisoblash mumkin. Haqiqattan ham,
⃗ ⃗⃗
| ⃗|| ⃗⃗|
tenglikdan
√
√
(3)
Tekislikda berilgan ⃗
⃗ ⃗
⃗⃗
⃗ ⃗
vektorlar uchun (1)-(3) formulalar quyidagi ko„rinishlarni oladi: skalyar ko„paytmani hisoblash ⃗ ⃗⃗
(4) ortogonallik sharti
⃗ va ⃗⃗ vektorlar orasidagi burchak kosinusi uchun ( ⃗ ⃗⃗ ̂ )
√
√
2-Misol. ⃗ { } vektorning ⃗⃗ { } vektor yo‟nalishidagi o‟qqdagi proyeksiyasini toping. ► ⃗ va ⃗⃗ vektorlar orasidagi burchak kosinusini (3) formulaga ko‟ra topamiz:
√
√
√
√
√
Shuning uchun
⃗⃗ ⃗ | ⃗| √
√
bo‟ladi.◄ 3-Misol. paramaetrning qanday qiymatida to„g„ri burchakli koordinatalar sistemasida berilgan ⃗ { } va ⃗⃗ { } vektorlar ortogonal bo„ladi. ►Vektorlarning ortogonalligining (2) zaruriy va yetarli shartidan foydalansak, paramaetrga nisbatan
tenglamaga ega bo„lamiz. Bu kvadrat tenglamani yechib, berilgan vektorlar paramaetrning va qiymatlarida ortogonal bo„ladi degan xulosaga kelamiz.◄
nuqtalar berilgan. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektorlarning uzunligini va burchakni toping. ► nuqtalar bo„yicha ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ va ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektorlarni topamiz: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ { } { }
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ { } { } U holda ularning uzunliklari |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗| √
√
| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| √
√
(3) formulaga ko„ra ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ va ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektorlar orasidagi burchak kosinusini topamiz:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗| | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
√ √
bundan esa
burchakni topamiz.◄ Vektorlarning vektor ko‘paytmasi. 4-Ta’rif. ⃗ va ⃗⃗ vektorlarning vektor ko‘paytmasi deb, ⃗ ⃗⃗ ko„rinishda belgilanuvchi shunday vektorga aytiladiki, bunda 1)
⃗ ⃗⃗ vektorning uzunligi | ⃗| | ⃗⃗| ga teng, bu yerda ana shu ⃗ va ⃗⃗ vektorlar orasidagi burchak; 2) ⃗ ⃗⃗ vektor ⃗ va ⃗⃗ vektorlarga perpendikulyar, ya‟ni bu vektorlar tekisligiga perprnedikulyar; 3) ⃗ ⃗⃗ vektor shundy yo„nalganki, uning uchidan kuzatilganda, ⃗ vektordan ⃗⃗ vektorga eng qisqa burilish, soat strelkasi harakatiga qarama-qarshi bo„ladi (3-rasm). Boshqacha qilib aytganda, ⃗, ⃗⃗ va ⃗ ⃗⃗ vektorlar o‘ng uchlikni tashkil qiladi, ya‟ni o„ng qo„lning bosh, ko„rsatkich va o„rta barmoqlari singari joylashishgan.
⃗ va ⃗⃗ vektorlar kollinear bo„lganda ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ deb hisoblaymiz. Ta‟rifga ko„ra vektor ko„paytma uzunligining | ⃗ ⃗⃗| | ⃗| | ⃗⃗| (5) qiymati
⃗ va ⃗⃗ vektorlardan qurilgan parallelogarmmning yuziga teng (4-rasm)
| ⃗ ⃗⃗| (6) Vektor ko‘paytmaning xossalari. 1) Vektor ko„paytma nol vektorga teng bo„lishi uchun ko„paytirilayotgan vektorlardan biri nol vektor yoki ular kollinear bo„lishi zarur va yetarli ( ⃗ va ⃗⃗ vektorlar kollinear vo„lsa, ular orasidagi burchak 0 yoki ga teng bo„ladi). ►Bu | ⃗ ⃗⃗| | ⃗| | ⃗⃗| tenglikdan kelib chiqadi.◄ Xususiy holda ⃗ ⃗ ⃗⃗ bo„ladi. 2) Vektor ko„paytmada ko„paytuvchilar o„rni almashsa, ko„paytma vektor yo„nalishini o„zgartiradi: ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ (7) 𝑎⃗ 𝑏⃗⃗ 𝑎⃗ 𝑏⃗⃗
𝜑
3-rasm 4-rasm 𝑎⃗
𝑏⃗⃗ 𝑆 ▱ ► ⃗ ⃗⃗ va ⃗⃗ ⃗ vektorlar bir xil uzunlikka ega va kollinear. Ularning yo„nalishlari esa qarama-qarshi, chunki ⃗ ⃗⃗ vektorning uchidan kuzatilganda, ⃗ vektordan ⃗⃗ vektorga eng qisqa burilish soat strelkasi harakatiga qarama-qarshi bo„ladi, ⃗⃗ ⃗ vektorning uchidan esa soat strelkasi harakati bo„ylab bo„ladi (5-rasm).◄ 1) Vektorlarni qo„shish va vektor ko„paytirish distributivlik xossasi bilan bog„langan: ( ⃗ ⃗⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗.
2) sonli ko„paytuvchiuni vektor ko„paytirish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin: ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗) ( ⃗ ⃗⃗). Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning vektor ko‘paytmasi. ⃗ va ⃗⃗ vektorlar ⃗ {
}, ⃗⃗ {
} to„g„ri burchakli dekart koordinatalari bilan berilgan bo„lsin. Vektor ko„paytmaning distributivlik xossasidan foydalanib ⃗ ⃗⃗ (
⃗
⃗
⃗⃗) ( ⃗
⃗
⃗⃗)
⃗ ⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗⃗ (8) Ortlar vektor ko„paytmasining koordinatalarini topamiz (6-rasm): ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗, ⃗ ⃗⃗ ⃗, ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗, ⃗⃗ ⃗ ⃗, ⃗ ⃗⃗ ⃗ Shuning uchun ⃗ va ⃗⃗ vektorlarning vektor ko„paytmasi
uchun (8) formuladan foydalanib ⃗ ⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗ ⃗
⃗
⃗⃗
|
| ⃗ |
| ⃗ |
| ⃗⃗ (9)
tenglikga ega bo„lamiz. (9) formulani 3-tartibli determinant yordamida ifodalash mumkin:
⃗ ⃗⃗ | ⃗ ⃗ ⃗⃗
| (10) Bu determinantni 1-satr elementlari bo„yicha yoysak (9) tenglik hosil bo„ladi. 5-Misol. ⃗ { } va ⃗⃗ { } vektorlardan qurilgan parallelogram yuzini hisoblang. ►Qidirilayotgan yuzani
| ⃗ ⃗⃗| formula bilan topamiz. Shuning uchun ⃗ ⃗⃗ | ⃗ ⃗ ⃗⃗
| ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ determinantni hisoblaymiz. Bundan esa 5-rasm 𝑎⃗ 𝑏⃗⃗ 𝑎⃗ 𝑏⃗⃗
𝜑
𝑏⃗⃗ 𝑎⃗ 𝑖⃗ 𝑘 ⃗⃗ 𝑗⃗ 6-rasm
√
√ √ ◄ 6-Misol. ⃗ { } va ⃗⃗ { } vektorlar berilgan. ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ vektor ko‟paytmaning koordinatalarini toping. ►Vektorni songa ko‟paytirish va vektorlarni qo‟shish formulasiga ko‟ra ⃗ ⃗⃗ { } { } bo‟ladi. U holda (10) formulaga ko‟ra ( ⃗ ⃗⃗) ⃗⃗ | ⃗ ⃗ ⃗⃗
| ⃗ ⃗ ⃗⃗ ya‟ni ( ⃗ ⃗⃗) ⃗⃗ { } ◄ Vektorlarning aralash ko‘paytmasi. 5-Ta’rif. ⃗, ⃗⃗, ⃗ vektorlarning aralash ko„paytmasi deb, ⃗ ⃗⃗ vektor ko„paytmaning ⃗ vektor bilan skalyar ko„paytmasiga aytiladi: ( ⃗ ⃗⃗) ⃗.
Aralash ko„paytma skalyar va vektor ko„paytmadan, birinchi navbatda ko„paytuvchilar soni ikkita emas uchtaligi bilan farq qiladi. ⃗, ⃗⃗, ⃗ vektorlarning aralash ko„paytmasi ⃗ ⃗⃗ ⃗ ko„rinishda belgilanadi. Shunday qilib, aralash ko„paytma ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗⃗) ⃗ tenglik bilan aniqlanar ekan.
Aralash ko„paytma oddiy geometrik ma‟noga ega: 3-Teorema. Uchta nokomplanar vektorlarning ⃗ ⃗⃗ ⃗ aralash ko„paytmasining absolyut qiymati bu vektorlardan qirralar sifatida qurilgan parallelepiped hajmiga teng. Bunda agar
⃗, ⃗⃗, ⃗ vektorlar o„ng uchlikni tashkil qilsa parallelepiped hajmi “+” ishora bilan, aks holda “ “ ishora bilan olinadi. 1) Aralash ko„paytma uchun siklik o„rin almashtirish qoidasi amal qiladi: ( ⃗ ⃗⃗) ⃗ ( ⃗⃗ ⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗) ⃗ ( ⃗ ⃗⃗) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ Mulohaza. Keltirilgan xossadan ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗⃗) ⃗ ⃗( ⃗⃗ ⃗) tenglikni yozish mumkin. 2) Uchta ⃗, ⃗⃗, ⃗ vektorlar komplanar bo„lishi uchun ularning aralash ko„paytmasi nolga teng bo„lishi zarur va yetarli. 3) Aralash ko„paytma vektorni songa ko„paytirish amaliga nisbatan assotsiativ: ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗⃗ ⃗). 4) Aralash ko„paytma vektorlarni qo„shish amaliga nisbatan distributivlik xossasiga ega: ⃗
⃗
⃗⃗ ⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗.
Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning aralash ko‘paytmasi. ⃗, ⃗⃗, ⃗ vektorlar ⃗ {
}, ⃗⃗ {
}, ⃗ {
} to„g„ri burchakli dekart koordinatalari bilan berilgan bo„lsin. Bu vektorlarning aralash ko„paytmasini topish uchun skalyar va vektor ko„paytmalarni hisoblash formulalaridan foydalanamiz: ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗( ⃗⃗ ⃗) ⃗ {|
| ⃗ |
| ⃗ |
| ⃗⃗} (11)
|
| |
| |
| |
|
Aralash ko‟paytmaning 3-xossasiga (11) formulani qo‟llab ⃗ {
},
⃗⃗ {
}, ⃗ {
} vektorlarning komplanarlik shartini |
|
ko‟rinishda yozish mumkin. 7-Misol. ⃗ { }, ⃗⃗ { }, ⃗ { } vektorlardan qirralar sifatida qurilgan piramidaning hajmini toping. ►Boshlari bitta nuqtaga joylashtirilgan uchta vektorga uchburchak piramidani ham, parallapipedni ham mos qo„yish mumkin. Bunda piramidaning hajmi ⃗ ⃗⃗ ⃗ aralash ko„paytma absolyut qiymatiga teng bo„lgan parallapipedning hajmidan 6 marta kichik bo„ladi. Shuning uchun dastlab ⃗ ⃗⃗ ⃗ aralash ko„paytmani (11) formula bo„yicha hisoblaymiz: ⃗ ⃗⃗ ⃗ |
| . U holda piramidaning hajmi | ⃗ ⃗⃗ ⃗| bo„ladi.◄
Download 0.76 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|