«Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanligi»

14-teorema.)(xf funksiya biror    0,  rrr oraliqda istalgan tartibdagi hosilaga ega bo‟lib, uning 0x nuqtadagi Teylor qatori
...
!
)0(
...

!2


)0(

!1
)0(

)0(
)(
2






 n
n
x
n
f
x
f
x
f
f (37)
bo‟lsin.
Bu qator  rr, oraliqda )(xf ga yaqinlashish uchun )(xf funksiya Teylor formulasi
)(
!
)0(
...
!2
)0(
!1
)0(
)0()(
)(
2xrx
n
f
x

f


x

f
fxfn
n
n






 (38)

ning qoldiq hadi barcha  rrx, da nolga intilishi  0lim 

xrn
n
zarur va yetarli.
Isbot.Zarurligi. Avvalo (37) qatorning koeffitsentlari bilan (38) Teylor formulasidagi koeffitsentlarning bir xil ekanini takidlaymiz. (37) qator yaqinlashuvchi bo‟lib, uning yig‟indisi )(xfgat eng bo‟lsin. U holda bu qatorning qismiy yig‟indisi
n
n
nx
n
f
x
f
x

f

fxS
!
)0(
...
!2
)0(

!1


)0(

)0()(
)(

2






uchun

)),(()()(lim rrxxfxSn
n


bo‟ladi. Undan esa  rrx, uchun
0)(lim)()(lim 



xrxSxfn
n
n
n bo‟lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi.  rrx, da 0)(lim 



xrn

n

bo‟lsin. U holda 0)()(lim 


xSxfn
n bo‟lib unda esa
)()(lim xfxSn

n





bo‟lishi kelib chiqadi. bu esa (37) qator  rr, yaqinlashuvchi bo‟lib, uning yig‟indisi )(xf ga teng bo‟lishini, yani
...
!
)0(
)0(
!1
)0(
)(
2




n

f

f

f
fxf (*) ekanligini bildiradi. Teorema isbot bo‟ldi.
Odatda (*) munosabat o‟rinli bo‟lsa, )(xf funksiya Teylor qatoriga yoyilgan deb ataldi.
15-teorema.Agar )(xf funksiya    0,  rrr oraliqda darajali qatorga yoyilgan bo‟lsa:
... )( 2210
n
nxaxaxaaxf, (39)
bu qator )(xf funksiyaning Teylor qatori bo‟ladi.
Isbot. 21-teorema va uning natijasiga ko‟ra (39) darajali qator  rr, oraliqda istalgan marta (hadlab) differensiyallanuvchi bo‟lib,

...

... ,)1...(321)(

...


...)2)(1(...321)(


...)1(...3221)(


... 321)(

)(
3
3
23

32

13
3

2

21
















n
n
n
n
n
n
n
n
nanxf

xannnaxf


xannxaaxf


xnaxaxaaxf

bo‟ladi. Keyingi tengliklarda 0x deb quyidagilarni topamiz:

,...
!
)0(
,...
!3
)0(
,
!2
)0(
,
!1
)0(
),0(
)(
3110
n
f
a
f
a
f

a

f
afa
n
n









natijada (24) qatorning ko‟rinishi quidagicha bo‟ladi.
...
!
)0(
...
!2
)0(

!1


)0(

)0()(
)(

2



 n
n
x
n
f
x
f

x

f
fxf
bu esa teoremani isbotlaydi.
Misol. Ushbu



























lsaboxagar

lsaboxagare

x

xf
'0,0
,'0,
1
)(
2
funksiyani qaraylik. Bu funksiya   , da barcha tartibdagi hosilalarga ega: a) 0x bo‟lganda
,

2

)(
2

1

3


x
e


x

xf
 
  ,
46 2
1
64
xe

xx

xf
















...

   ,
1 2
1
xne
x
pxf










...

bunda   uup ratsional funksiyasi. Bu
    ,...,2,1,
1 2
1















ne
x
pxfxn
munosabatning to‟g‟riligi matematik induksiya metodi yordamida ko‟rsatiladi. b) 0x bo‟lsin. Berilgan funksiya 0x nuqtada barcha tartibdagi hosilalarga ega bo‟lib, ular nolga teng bo‟ladi.     ,...2,100  nfn
haqiqatan ham,
     
  ,00,0
1

lim

0 lim0
2

1
00
  


fe

xx

fxf fx
xx
 
   
    ,00,0
21
lim
1
lim
0
lim0
2
1

2000









fe
xx
xf

xx

fxf
fx

xxx

...

  
     
  ,00,0
11
lim
0
lim0
2
1
0
11
0













fe
x
p

xx

fxf
fx
x
nn
x
n

...

Umumiy holda,     ,...2,100  nfn bo‟lishini matemarik induksiya metodi yordamida ko‟rsatish mumkin.
Demak, berilgan funksiyaning 0x nuqtadagi barcha tartibdagi hosilalari nolga teng ekan.
Bu funksiyaning 0x nuqtadagi Teylor qatori
...
!
0
...

!2


0

!1
0

0 2 nx
n

xx

bo‟lib, uning yig‟indisi nolga teng.

Keltirilgan misoldan ko‟rinadiki, biror oraliqda istalgan tartibdagi hosilaga ega bo‟lgan bazi funksiyalarning Teylor qatori shu oraliqda qaralayotgan funksiyaga yaqinlashmasligi mumkin ekan.
Quyidagi funksiyaning Teylor qatoriga yoyilishning yetarli shartini ifodalovchi teoremasini keltiramiz.
16-teorema. )(xf funksiya biror  rr, oraliqda istalgan tartibdagi hosilaga ega bo‟lsin. Agar shunday o‟zgarmas 0M soni mavjud bo‟lsaki, barcha
 rrx, hamda barcha ,...2,1n uchun
   Mxfn
tenglik bajarilsa, u holda  rr, oraliqda )(xf funksiya Teylor qatoriga yoyiladi, yani




)(
)0(
)(
n
f
Isbot. )(xf funksiya uchun Teylor formulasi
 xrx
n
f
x
f

x

f
fxfn
n
n








!
)0(
...
!2
)0(
!1
)0(
)0()(
)(
2
ni yozib, uning Lagranj ko‟rinishdagi qoldiq hadi
 
  
 
1
!1




 n

n

nx

n


xf

xr

 10 θ
ni olaylik. U holda
 
  
   
  rrx
n
r

Mx

n
xf
xr
n
n
n
n,

!1!1

1
1









bo‟ladi. Agar

 
0
!1

lim

1




n
rn
n
bo‟lishini etiborga olsak, u holda

   
rrxxr
n

n
,0lim 

ekanligini aniqlaymiz. Bu esa (39) munosabatning o‟rinli bo‟lishini bildiradi. Teorema isbot bo‟ldi.
2.Elementar funksiyalarning Teylor qatorlari.
1
o
.  xexf funksiyalarning Teylor qatori. Malumki.   xexf funksiyaning (ixtiyoriy chekli   )0(,  aaa orliqdagi) Teylor fo‟rmulasi
 xr
n

xxx

en
n
x
!
...

!2!1

1
2

bo‟lib, uning qoldiq hadi esa Lagranj ko‟rinishida quyidagicha bo‟ladi:
 
 
x

n

ne

n


x

xr
!1
1



 10 θ
har bir   )0(,  aaax da eex bo‟lishini etiborga olsak, unda
 
 
a
n
ne
n
a

xr

!1
1




ekanligi kelib chiqadi va n da no‟lga intiladi. Demak, ixtiyoriy chekli x da
...
!
...
!2!1

1

!
2

0


n
xxx
n
x
e
n
n
n
x
bo‟ladi.
2
o
.   xxfsin funksiyaning Teylor qatori. Malumki,   xxfsin funksiyaning (ixtiyoriy chekli   )0(,  aaa orliqdagi) Teylor fo‟rmulasi
 
 
 xr
n

xxx

xxn
n
n
2
12
1
53
!12
1...
!5!3
sin 







bo‟ladi. Bu formula qodiq hadining Lagranj ko‟rinishidan foydalanib
  )0(,  aaax uchun
 
  !12
12

2





n
a

xr

n

n

bo‟lishini topamiz. Undan

  0lim 2



xrn

n

bo‟lishi kelib chiqadi. demak, x uchun

 

 
 

 
...
!12
1
!5!3!12
1sin
12
1
53
1
12

1



















n

x
xx
x
n
x
x
n
n
n
n

n

bo‟ladi.

3
o
.   xxfcos funksiyaning Teylor qatori. Bu funksiyaning Teylor formulasi
 
 
 xr
n

xxxx

xn
n
n
2

2642

!2
1...

!6!4!2

1cos 

qoldiq hadining Lagranj ko‟rinishida foydalanib   )0(,  aaax uchun
 
 !22
22

2





n
a

xr

n

n

bo‟lishini topamiz. Undan

  0lim 2



xrn

n

bo‟lishi kelib chiqadi. Demak, x uchun

 

 

 
 

...
!2
1...
!4!2
1

!2

1cos
242

0

2




n
xxx

n

x
x
n
n
n

n

n
4
o
.    xxf 1ln funksiyalarning Teylor qatori. Malumki. funksiyaning Teylor fo‟rmulasi quyidagicha bo‟ladi:
     .1...

432

1ln
1

432

xr
n
xxxx
xxn
n
n




.

Bu formulada  1,0x da  xrn qoldiq hadini Lagranj ko‟rinishida quyidagicha yozib

 

 
  

,
11
1
1
1







n
nn
n
xn
x
xr
 uning uchun
 
1
1


n
xrn (40)
bo‟lishini,   )10(,  aaax bo‟lganda esa  xrn qoldiq hadini Koshi ko‟rinishida quyidagicha yozib
   
 
 
 ,10
1
1
1 11
1
11







n
n

nn

n
x
xxr
uning uchun
 
a
a

xr

n

n





1
1
(41)
bo‟lishini ko‟rgan edik. (40) va (41) munosabatlardan   0lim 


xr
n

n
bo‟lishini topamiz. Demak,
   
  ...1
...
32
11ln
1
32
1










n
x
xx
x
n
x
x
n
n
n

n

(42)
bo‟ladi.

Shuni takidlash lozimki,  x1ln funksiya  ,1 oraliqda berilgan bo‟lsa ham bu funksiyaning Teylor qatori-(42) munosabat  1,1 yarim intervalda o‟rinlidir.
5
o
.    axxf 1 funksiyaning teylor qatori. Bu funksiyaning Teylor formulasi
 
 
   
 xrx
n

naaa

x
aa
x

a

x
n
n
a








!
1...1

...
!2
1

!1

11 2

bo‟lib uning qoldiq hadi Koshi ko‟rinishda quyidagicha bo‟ladi:
 
   
     1011
!
...1 11

 

 n
nna
nxx
n
naaa
xr
uni ushbu
 
       
n
an

naaa















1
11...21 1 ko‟rinishda yozib olamiz.
Agar 11  x bo‟lganda birinchidan,         ,011...21
!
1
lim 

n
n
xnaaa
n chunki bu yaqinlashuvchi
   












1!
1...1
1

n

nx
n

naaa

qatorning umumiy hadi (bu qatorning yaqinlashuvchiligi Dalamber alomatiga

ko‟ra ko‟rsatiladi), ikkinchidan       111111  aaaxaxxaxxax va nixoyat
uchinchidan 1
1
1
1
1






xx
n




bo‟lganligidan   0lim 

xrn
n
bo‟lishi kelib chiqadi.
Demak, 1x da
 
 
   
...

!


1...1

...
!2

1
!1
11 2











n
a
x

n


naaa

x
aa
x
a
x
bo‟ladi.
XULOSA
Bu bitiruv malakaviy ishining 1-paragrafida asosiy tushunchalar, 2-paragrafida funksional qatorlarning yaqinlashishi, 3-paragrafida darajali qatorlar, 4-paragrafida darajali qatorlarning xossalari, o‟rganilgan.
Agar 11  x bo‟lganda birinchidan,         ,011...21
!
1
lim 

n
n
xnaaa
n chunki bu yaqinlashuvchi
   












1!
1...1
1

n

nx
n

naaa

qatorning umumiy hadi (bu qatorning yaqinlashuvchiligi Dalamber alomatiga ko‟ra ko‟rsatiladi), ikkinchidan       111111  aaaxaxxaxxax va nixoyat

uchinchidan 1
1
1
1
1






xx
n




bo‟lganligidan   0lim 

xrn
n
bo‟lishi kelib chiqadi.
X to`plamdan olingan x ning qiymatiga qarab {Sn(x)} ketma-ketlik turlicha bo`ladi. Binobarn, yuqorida eslatib o`tilgan limit ta`rifidagi N natural son olingan x ga ham bog`liq bo`ladi. Agar bordiyu ta`rifda N natural son faqat E ga bog`liq bo`lib, qaralayotgan x nuqtaga bog`liq bo`lmasa, u holda {Sn(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda S(x) ga tekis yaqinlashuvchi deyiladi.
Darajali qatoming yaqinlashish radiusi va yaqinlashish ora!ig„i. Darajali qator yaqinlashish radiusini topish uchun Dalamber formulasi. Darajali qator yaqinlashish formulasini topish uchun Koshi formulasi. Koshi-Adamar formulasi. Teylor qatori va Teylor teoremasi. Elementar funksiyalami Teylor qatoriga yoyish.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. S.X. Sirojiddinov, M.Maqsudov, M.S.Salohiddinov.
Kompeleks o`zgaruvchining funksiyalari nazaryasi-T,: O`qtuvchi, 1979 2. Sh. T. Maqsudov. Analitik funksiyalar nazaryasidan mashiqlar-T.: O`qtuvchi, 1978 3. I. I.Privalov. Vvedenie v teoriyu funksiy kompleksnogo peremennogo.-M.:
Nayka, 1977 4. A.I. Markushevich. Kratkiy kurs teorii analiticheskix funksiy-M Fizmatgiz - M1961 5. Ya. S. Bugrov, S.M.Nikolskiy. Funksii Komleksnogo peremennogo-M,: Nauka, 1981. 6. V.A. Kolеmaеv. i dr. “Tеoriya vеroyatnostеy i matеmatichеskaya statistika” .M: Vo`sshaya shkola, 1990g. 7. Gmurman V.Е. “Ehtimollar nazariyasi va matеmatik statistika”, Toshkеnt, O`qituvchi, 1978y. 8. S. Sirojdinnov , M.Mamatov. “Ehtimollar nazariyasi va matеmatik statistika”. Toshkеnt., “O`qituvchi”. 1982y. 9. Gmurman V.Е. “Ehtimollar nazariyasi va matеmatik statistika”dan masalalar yеchishga doir qo`llanma, Toshkеnt., “O`qituvchi”, 1980y. 10. www.ziyonet.uz 11. www.exponenta.ru