Funksiyaning uzluksizligi

2. Leybnits, formulasi. n-tartibli hosilalarni topishda quyidagi qoidalar to‘g‘riligicha qoladi:
a) agar bo‘lsa, u holda

b) agar . bo‘lsa, u holda

Ikki u=u(x) va u=v(x) funksiyalar ko‘paytmasining n - tartibli hosilasini topish uchun ushbu formula o‘rinli:

Bu formula Leybnits formulasi deyiladi. Uni tuzish qoidasi
bunday:
ifodani Nyuton binomi bo‘yicha yoyish kerak:

Bu yoyilmada u va n daraja ko‘rsatkichini hosilaning mos tartibi bilan almashtirish kerak.
7-misol. (uv)" ni yozing. Yoyilmani tuzamiz:
,
bundan
8-misol. ni yozing: .
Bundan .
9-misol berilgan. ni toping.

SHunday qilib, _.
Yoki
3. Oshkormas funksnyaning yuqori tartibli hosilalari. tenglama x ga bog‘liq y funksiyani aniqlasin. Buning yuqori
tartibli xosilasani izlash uchun bu tenglamani, y va uning barcha
xosilalari erkli o‘zgaruvchi x ning funksiyasi ekanini unutmagan
xolda, tegishli son marta differensiallash kerak.
10-misol. tenglama bilan oshkormas holda berilgan y ning ikkinchi hosilasini toping.
Oldin y' ni topamiz. Tenglamani differensiyalaymiz:

Bundan
y" ga topilgan y' ni qo‘yamiz:

Ammo tenglamadan 2 ekani kelib chiqadi. SHu sababli y" ushbu ko‘rinishni oladi

va h. k, hosilalarni ham shunga o‘xshash topish mumkin.

4. 
   Parametrik berilgan funksiyalarning yuqori tartibli hosilalari x ning y funksiyasi
   

tenglamalar bilan parametrik berilgan bo‘lsin, bunda funksiya teskari funksiyaga ega. hosila (4) tenglik bilan aniqlanishi isbotlangan edi:
Ikkinchi hosila ni topish uchun (1) tenglikni x bo‘yicha differensiyalaymiz, bunda t funksiya x ning funksiyasi ekanini nazarda tutamiz:

SHunday qilib,

va h.k. hosilalarni xam shunga o‘xshash topish mumkin. Funksiyaning parametrik berilishidan mexanikada keng foydalaniladi, unda t parametr vaqtni bildiradi. Vaqt bo‘yicha hosilalar shgrixlar bilan emas, balki nuqtalar bilan belgilanadi:

deb belgilaymiz, u holda xosilalar formulasini bunday yozish mumkin:

11-misol. Ushbu

tenglamalar bilan parametrik berilgan, x ning funksiyasi bo‘lgan y ning va hosilalarini toping.