Gruppa tushunchasi

kelib chiqadi, chunki birinchi va ikkinchi ko`paytmalar mos ravishda

va

Ga teng bo`lib , bu elementlar xuddi bir biriga akslanadi . Demak,

4. musbat xaqiqiy sonlarning ko`paytirishga nisbatan gruppasi, barcha xaqiqiy sonlarning qo`shishga nisbatan gruppasi bo`lsin. elementga ni o`zaro bir qiymatli mos keltirsak, bu moslik elementlarni ko`paytirishda o`z kuchini saqlaydi. Xaqiqatdan , va bo`lsa kelib chiqadi. Shunday qilib,

5-teorema. (gomomorfizm xaqida teorema). gruppa ga izamorf akslansa , faktor gruppa gruppaga izamorf akslanadi. , bunda gomomorfizm yadrosi .

Isboti. gamomorfizm berilgan . nib u gomomorfizmning yadrosi bo`yicha sistemalarga yoysak , 3-teoremaga asosan



gruppa elementlari gruppa elementlariga o`zaro bir qiymatli akslanadi:. Bu akslanishlar elementlarni ko`paytirishda o`z kuchini saqlaydi. Xaqiqatdan ham, ni ning ixtiyoriyeementlari deb qarasak, shu bilan birga ni nazarda tutsak, gamomorfizmda dan

kelib chiqqanligi uchun, bo`ladi. Bu esa ni bildiradi.

Demak .